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1、几类序同态及其性质探讨答辩人：钱 健导 师：徐罗山教授答辩汇报提纲研究的背景与概况研究的背景与概况1.2.撰文的想法与动机撰文的想法与动机主要的方法与结果主要的方法与结果4.文章的框架与结构文章的框架与结构3.研究的背景与概况 Fuzzy格间的序同态概念，一方面保持Fuzzy点的高度不变，同时又保留了把分子映成分子的性质.后来王国俊教授舍弃了Fuzzy格上逆序对合对应的条件，在完全分配格之间提出了广义序同态。研究的背景与概况 近年来，偏序集与格的理论在离散数学，组合数学，Fuzzy数学，理论计算机科学，模糊数学，甚至社会科学中都有广泛的应用3，推动自身进一步的发展同时，成为数学和理论计算机科学

2、的重要研究对象4,24,.在上世纪30年代末，格论的方法就开始用于研究拓扑空间7,8,13，到上世纪50年代这一领域成果已相当的丰富。研究的背景与概况 在Zadeh引入fuzzy集24概念后不久，C.L.Chang于1968年提出Fuzzy拓扑空间2的概念，王国俊教授在23中提出了Fuzzy格，并且在Fuzzy格间定义序同态，刘应明教授在15，17中也提出Fuzzy序同态，并且均给出了Fuzzy函数成为Zadeh型函数的充要条件，并用来研究Fuzzy拓扑空间的性质。研究的背景与概况 蒲保明教授和刘应明教授为了Fuzzy拓扑空间中的Fuzzy点与集更具有一般性，打破传统邻域概念，在文献20，21

3、中引入了重域，随后王国俊教授将其推广为远域.后来王国俊教授又于22，24，25中定义了完全分配格见的广义序同态并得到很多性质。研究的背景与概况 这就为我想摆脱Fuzzy格，完全分配格这些前提条件来研究更广泛的广义序同态提供理论基础。同时将广义序同态逐步推广到完备格，连续格，domain和拟domain上而探讨各类广义序同态就显得很重要。本文在前人研究成果的基础之上，来探讨了不同的代数系统间的序同态问题，并得到了一些初步的结果。撰文的想法与动机对不同代数系统的序同态的研究主要基于以下方面：本文主要考虑更为一般的代数系统间的广义序同态，目的是建立这些代数系统间更多的关系.我们将广义序同态逐步推广，

4、即从最初的具有逆序对合对应的Fuzzy格，分子格开始；推广到完备格上的伪广义序同态，并且在完备格上又分化为两个分支：一，一般的完备格伪广义序同态；二，连续格上的伪广义序同态.接着将条件进一步弱化，将其推广到domain上，在domain上我们又进一步分成三部分：撰文的想法与动机一、domain间的Scott广义序同态二、代数domain间加强的Scott广义序同态的性 质；三、拟连续domain上的类Scott广义序同态。撰文的想法与动机 这些问题在本文中均得到一些好的研究结果.我们知道相同类型的代数系统之间存在非常好的性质，而本文就Fuzzy格的广义序同态入手，定义几类弱于Fuzzy格的几类

5、特殊序之间的广义序同态并探讨以上所具有的性质.并且仿照极小集定义，合理的提出了d-极小集，拟极小集，极小集，为广义序同态的推广及其性质的研究提供帮助。文章的框架与结构本文共四章：本文共四章：第一章第一章 预备，重点介绍偏序，格，分子格，完备格，domain，广义序同态等相关概念及其性质。文章的框架与结构第二章第二章 进一步研究完全分配格间的广义序同态性质，探讨了f和f-1之间存在的联系，并得到(f-1)-1=f的等价条件。文章的框架与结构第三章第三章 在完备格上定义伪广义序同态，并定义完备格上的素上集概念，得出完备格间映射是伪广义序同态的充要条件；定义极小集，证明连续格成为完备链当且仅当定向集

6、小映射保定向并，得到连续格称为完全分配格的一个充分条件。文章的框架与结构第四章第四章 在domain上定义Scott广义序同态，给出Scott广义序同态的刻画和其性质；并得到代数domain紧元之间的映射成为Scott广义序同态的充分条件；在拟连续domain中定义拟定向极小集得到拟连续domain成为类Scott广义序同态的若干等价条件。文章的框架与结构最后对本文接下的工作作出展望最后对本文接下的工作作出展望.主要的方法与结果 完全分配格之间广义序同态与其逆的逆相等的若干条件完全分配格之间广义序同态与其逆的逆相等的若干条件 完备格间的伪广义序同态的刻画完备格间的伪广义序同态的刻画 定义了极小

7、集，证明了连续格成为完全分配格的充分条件定义了极小集，证明了连续格成为完全分配格的充分条件 给出了给出了domaindomain间间ScottScott广义序同态的充要条件及相关性质广义序同态的充要条件及相关性质 提出了代数提出了代数domaindomain紧元间映射构成的紧元间映射构成的ScottScott广义序同态成为广义序同态成为单射和满射的若干等价条件单射和满射的若干等价条件 通过定义拟定向极小集得到了类通过定义拟定向极小集得到了类ScottScott广义序同态的概念和广义序同态的概念和刻画刻画 解决的问题解决的问题主要的方法与结果我的做法：设 与 是fuzzy格,映射 叫序同态，若满

8、足（1）（2）是保并映射；（3）是保并映射,这里 有 在此基础上，本文探讨其以及完全分配格上定义得广义序同态的性质，及其在其他代数系统上的推广。主要研究四类问题.第一类不具有逆序对合对应的广义序同态的研究；第二类完备格和连续格上伪广义序同态的研究；第三类基于Scott连续，以及way-below关系下的domain间Scott广义序同态的研究，并延伸到拟连续domain上 主要的方法与结果定理定理1 设f：L1 L2是GOH，下列条件等价：（1）f是双射；（2）f-1是双射；（3）(f-1)-1=f.定理定理2 2 设映射设映射f f：L L1 1 L L2 2，如，如f f是伪序同态当且仅是

9、伪序同态当且仅当当f f保任意并且保任意并且f f保保.定定理理3 3 设映射f：L1 L2，则f是ScottScott广广义义序序同同态态当且仅当f关于Scott连续，并且f保.主要的结果主要的结果主要的方法与结果 定理定理4 4 L1是连续格,f：L1 L2保有限并，f-1：L2 L1保有限并，则下列条件等价：(1)f保极小集;(2)任意a L1,f(a)是f(a)的极小集；(3)f是伪广义序同态.定定理理5 5 设映射f：L1 L2，f是Scott广义序同态，则a L1，f把a在L1 中的d极小集映成f(a)在L2的d-极小集.主要的方法与结果定理定理6 6 设L1和L2是代数domai

10、n，设映射f:K(L1)K(L2)是Scott广义序同态，则下条件等价，（1）f-1f=Id1；（Id1是L1上的恒等变换）（2）f是单射；（3）f是保反射序.定理定理7 7 设L1和L2是代数domain，设映射f:K(L1)K(L2)是Scott广义序同态，则下条件等价，（1）f f-1=Id2；（Id2是L2上的恒等变换）（2）f是满射；（3）f-1是保反射序.主要的方法与结果定理定理8 8 设L,M是拟连续domain，x属于L，N包含于L，F包含于M，f：L M是单调的，且NNwb(x)，下列条件等价：（1）f保拟定向极小集；（2）任意的x L，f(NNwb(x)为f(x)的拟定向极

11、小集；（3）f保定向并，且任意的x属于L，f(NNwb(x)包含于双下集f(x);（4）f保定向并和；（5）f类Scott序同态.主要的方法与结果结论结论：结论二结论二在对任意在对任意aL，a存在极小集的完备格中，一般伪广义序同态即存在极小集的完备格中，一般伪广义序同态即为连续格上的伪广义序同态为连续格上的伪广义序同态.结论一结论一GOH一定是一般（连续格上）伪广义序同态，也是一定是一般（连续格上）伪广义序同态，也是Scott广义广义序同态序同态.结论三结论三 Scott连续映射为双射，即为连续映射为双射，即为Scott广义序同态广义序同态.结论四结论四 Scott广义序同态一定是广义序同态一

12、定是Scott连续映射；反之不然连续映射；反之不然 结论五结论五连续格（完备格）间的伪广义序同态，若它们均满足推论连续格（完备格）间的伪广义序同态，若它们均满足推论3.3.1，则为广义序同态，则为广义序同态.主要的方法与结果意义意义：第二章中我们将进一步来探讨分子格上GOH的性质，以及它之间的一些关系，并得到f和f-1之间存在的联系。第三章中我们去掉分子格的要求引入并探讨完备格上的伪广义序同态.该章分为三节，分别从完备格和连续格上来探讨伪广义序同态问题，通过定义极小集得到连续格成为完全分配格的一个充分条件。第四章中进一步弱化广义序同态条件，定义domain间的Scott广义序同态，探讨其性质，

13、并将Scott广义序同态问题和拓扑，Galois联络联系起来。最后，我们以图表的形式给出了他们之间的关系。主要的方法与结果诸序同态之间关系的总结：序同态序同态广义序同态广义序同态伪广义序同态伪广义序同态ScottScott广义序同态广义序同态类类scottscott广义序同态广义序同态 展望展望 展望：本文主要探讨相同类型的代数系统间的广义序同态问题，在以后的研究中将尝试探讨完全分配格和完备格（连续格）之间，完全分配格和domain之间，完备格（连续格）和domain之间的映射来寻求找出满足上述定义中的某类广义序同态，并讨论其性质及它们之间的联系和区别.参考文献参考文献参考文献参考文献2 Ch

14、ang C L.Fuzzy topological spaces.J.Math.Anal.Appl.1968,24:182-1903 陈德刚，张文修.粗糙集与拓扑空间J.西安交通大学学报,2001,35(12)：1313-1315.4 崔宏斌，郑崇友.保层fuzzy序同态的结构和fuzzy同肧的另一定义J.科学通报,1987,10(4)：7-11.7 Gierz G,Lawson J D.Generalize continous and hypercontinous latticesJ.Rocky Mountain J,1981,11:271-296.8 Gottwald S,Novak V.

15、on the consistency of fuzzy theoriesC.proc 7th IFSA word Congress.Academia Prague,1997:168-171.参考文献参考文献13 Luoshan Xu.Continuty of poset via fuzzy topology.Topology and Its ApplicationsJ.2005,7(3)1-6.15 刘应明.fuzzy序同态的构造J.四川大学学报.1985,21(4)：27-31.17 刘应明.fuzzy序同态与Zadeh型函数J.研究通信,1984,9(2)：153.20 蒲保明,刘应明.F

16、uzzy topology IJ.J.Math.Anal.Appl.,1980,76：571-599.参考文献21 蒲保明,刘应明.Fuzzy topology IIJ.J.Math.Anal.Appl.,1980,77：20-37.23 王国俊.完全分配格上的点式拓扑J.陕西师范大学学报,1985,2：1-15.22 Rosser J B,Turquette A R.Many_LogicalM.Amsterdam.North-Holland.1952,10.24 王国俊.计算智能词语计算与fuzzy集M.第二版.北京：科学出版社,2008.25 王国俊.完全分配格上的序同态J.数学进展,1987,16(1)：55-60.致谢感谢这三年来徐罗山老师给予我的辛勤指导和无私帮助！感谢这三年来徐罗山老师给予我的辛勤指导和无私帮助！感谢在座的各位评委老师！感谢在座的各位评委老师！感谢一路走过来的同门和同学对我的帮助！感谢一路走过来的同门和同学对我的帮助！致谢