离散系统的z域分析.ppt
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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-1页电子教案电子教案第六章第六章 离散系统离散系统z z域分析域分析 6.1 z 6.1 z 变换变换一、从拉普拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z变换变换二、收敛域二、收敛域6.2 z 6.2 z 变换的性质变换的性质6.3 6.3 逆逆z z变换变换6.4 z 6.4 z 域分析域分析一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解二、系统的二、系统的z域框图域框图三、三、s域与域与z域的关系域的关系四、系统的频率响应四、系统的频率响应五、借助五、借助DTFT求离散系统的频率响应求离散系统的频率响应点击目录点击目录 ，进入
2、相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-2页电子教案电子教案第第六六章章 离散系离散系统统z z域分析域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。程转换为代数方程。6.1 z6.1 z变换变换一、从拉普拉斯到一、从拉普拉斯到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散
3、信号。对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 第六章第六章 离散系统离散系统z z域分析域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-3页电子教案电子教案令令z=esT，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT)f(k)，得，得称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换称为序列称为序列f(k)的的单单边边z z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的
4、情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z)6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-4页电子教案电子教案6.1 z6.1 z变换变换二、收敛域二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即数收敛，即时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分条件充分条件。收敛域的定义收敛域的定义：对于
5、序列对于序列f(k)，满足，满足 所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-5页电子教案电子教案（1）整个）整个z平面收敛；平面收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-6页电子教案电子教案6.1 z6.1 z变换变换例例1 求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换 (1)f1(k)=(k)k=0 (2)f2(k)=1,2,3,2,1 解解(1)可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与
6、z 无关，所以无关，所以其收敛域为其收敛域为整个整个z 平面平面。(2)f(k)的双边的双边z 变换为变换为 F(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2 收敛域收敛域为为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z，有时它，有时它在在0或或/和和也收敛。也收敛。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-7页电子教案电子教案（2）部分）部分z平面收敛；平面收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-8页电子教案电子教案例例2 求求因果序列因果序列 的的z
7、变换（式中变换（式中a为常数）。为常数）。解：解：代入定义代入定义 可见，仅当可见，仅当 az-1 a 时，其时，其z变换存在。变换存在。收敛域收敛域为为|z|z|a|6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-9页电子教案电子教案例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z变换。变换。解解:可见，可见，b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在，收敛域收敛域为为|z|z|b|6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-10页电子教案电子教案例例4 双边
8、序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解:的的z变换。变换。可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b a b 6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-11页电子教案电子教案（3）整个）整个z平面均不收敛；平面均不收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-12页电子教案电子教案例例5 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解:的的z变换。变换。a b z 2,z 1，z 0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电
9、路与系统教研中心第6-16页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换。变换。例例1：一、线性一、线性 设设则则:注：注：其收敛域至少是其收敛域至少是F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-17页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质解：解：例例2：，求，求 的双边的双边z变换变换 。信号与系统信
10、号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-18页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！单边、双边差别大！双边双边z变换的移位：变换的移位：若若 f(k)F(z),z 0，则，则 证明：证明：单边单边z变换的移位：变换的移位：若若 f(k)F(z),|z|，且有整数，且有整数m0,则则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-19页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质证明（右移）：证明（右移）：上式第二项令上式第二项令k m=n，则：，
11、则：特例：特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则即：即：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-20页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 的的z变换。变换。解解:z 1例例2：求求f(k)=k(k)的单边的单边z变换变换F(z).解解:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-21页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质三、序列乘三、序列乘 （a可为实数、虚数、可为实数、虚数、复数复数）(z z域尺度变换
12、域尺度变换)则则证明：证明：设设,且有常数且有常数a若若a=-1，有，有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-22页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例例1：解解:例例2：解解:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-23页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质四、卷积性质：四、卷积性质：设设则则证明：证明：对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列注：注：其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。信号与系统信号与系统信
13、号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-24页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例：例：，求，求 的双边的双边 变换变换 。解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-25页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分域微分）设设则则证明：证明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-26页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质令令则则即：即：解：解：例：例：求求 的双边的双边 变换变换 。信号与系统信
14、号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-27页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质六、序列除六、序列除(k+m)(k+m)(z z域积分域积分）则则若若，设有整数，设有整数m，且，且k+m0证明：证明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-28页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例例：求序列求序列 的的z变换。变换。解：解：若若m=0,且且k0，则，则 即即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-29页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的
15、性质变换的性质设设则则证明：证明：七、七、k域反转域反转(仅适用双边仅适用双边z变换变换）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-30页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质利用齐次性，利用齐次性，k域和域和z域同时乘以域同时乘以a得得 例例2：已知已知，求，求 的的z变换。变换。解：解：例例1：求求解：解：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-31页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质八、部分和八、部分和 若若 f(k)F(z),z ，则，则,max(,1)z max(|a
16、|,1)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-32页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理适用于初值定理适用于右边序列右边序列，即适用于，即适用于kM(M为整数为整数)时时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),而不必求得原序列。而不必求得原序列。初值定理初值定理：如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k)F(z)，z 则序列的初值则序列的初值对因果序列对
17、因果序列f(k)，信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-33页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质证明：证明：两边乘两边乘zM，得，得上式取上式取z，得，得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-34页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质终值定理：终值定理：终值定理适用于终值定理适用于右边序列右边序列，用于由象函数直接求，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。得序列的终值，而不必求得原序列。如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象
18、函数的关系为 f(k)F(z)，z 且且01 则序列的终值则序列的终值 含单位圆含单位圆或或 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-35页电子教案电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质证明：证明：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-36页电子教案电子教案设设 上式两边乘以上式两边乘以 ，为整数，在为整数，在 的收敛域的收敛域内作围线积分：内作围线积分：柯西公式柯西公式：6.3 6.3 逆逆z变换变换6.3 6.3 逆逆z变换变换一、逆一、逆z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科
19、技大学电路与系统教研中心第6-37页电子教案电子教案令令 ，得：，得：上式称为上式称为 F(z)的逆的逆z变换变换.Z Z逆变换的计算方法：逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法）幂级数展开法；（3）部分分式展开法；）部分分式展开法；（4）用）用 z 变换性质求逆变换性质求逆 z 变换。变换。6.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-38页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换双边双边Fb(z)+收敛域收敛域f(k)一一对应一一对应单边单边F(z)一一对应一一对应
20、 f(k)一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和和反因果序列反因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 其中其中相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-39页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换 已知象函数已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由时，根据给定的收敛域不难由F(z)求求得得F1(z)和和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和和f2(k)，根据线性性质，将两者相加得到，根据线性性
21、质，将两者相加得到F(z)所对应的所对应的原序列原序列f(k)。二、幂级数展开法二、幂级数展开法 根据根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是分别是z-1和和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。的幂级数。其系数就是相应的序列值。例例：已知象函数已知象函数 其收敛域如下，分别求其相对应的原序列其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-40页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换解解:（1）由于）由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为2的圆外，故
22、的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将为因果序列。用长除法将F(z)展开为展开为z-1的幂级数：的幂级数：于是，得原序列：于是，得原序列：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第6-41页电子教案电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换（2）由于）由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为1的圆内，故的圆内，故f(k)为为反因果序列。用长除法将反因果序列。用长除法将F(z)（其分子、分母按（其分子、分母按z 的的升幂排列）展开为升幂排列）展开为z 的幂级数如下：的幂级数如下：于是，得原序列：于是，得原序列：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电
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