第一节--初等函数课件.ppt

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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、两个常用不等式二、两个常用不等式 三、函数三、函数 一、邻域一、邻域第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数四、初等函数四、初等函数一、一、邻域邻域1.邻域邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 以点 a 为中心的开区间 称为点点 a 的的邻域邻域，记为 点 a 称为这邻域的中心中心，称为这邻域的半径半径.表示与点 a 距离小于的点的集合，即 一、一、邻域邻域2.去心邻域去心邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 a 的邻域 去掉中心 a 后，称为点点 a 的去心的去心邻域邻域，记作

2、即开区间 称为点点 a 的左的左邻域邻域，开区间 称为点点 a 的右的右邻域邻域.三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义1.设非空数集若存在某一确定的法则 f，机动 目录 上页 下页 返回 结束 使得对于每一个，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 为定义在实数集合 D上的一元一元函数函数（简称函数函数），记做 定义域自变量因变量函数值的全体构成的集合 称为函数 f 的值域值域（通常记为 或）.机动 目录 上页 下页 返回 结束 决定一个函数有三个因素三个因素：定义域，对应法则及值域.函数的定义域通常由自然定义域自然定义域或实际定义域实际定义域决定.自然定义域自然定义

3、域指的是由抽象算式表示的函数使这一算式有意义的自变量取值范围.实际定义域实际定义域 则指由问题的实际背景所限定的自变量取值范围.两个函数相等函数相等，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.机动 目录 上页 下页 返回 结束 在平面直角坐标系中，以自变量 x 为横坐标，的函数值 为纵坐标，就得到平面上一个点，以对应这种点全体构成的点集称为函数 的图形图形.函数的表示法主要有三种：解析法解析法（公式法公式法）、图示法图示法和表格法表格法.例例1 绝对值函数 Oxy例例4 狄利克雷狄利克雷（Dirichlet）函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 设，求 解解 当 时，当 x 为无理数

4、.当 x 为有理数.，则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 时，则 因此，2.函数的一些性质函数的一些性质设函数且有区间(1)有界性有界性使称 为D上的机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如，在 内有界，而函数 在任何有限区间内都是有界的，但在 内却无界.有界函数有界函数.否则称 为D上的无界函数.事先给定的正数 M 多么大，也即不管总存在一个，使得(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 易知，偶函数

5、的图形关于 y 轴对称，而奇函数的图形关于原点中心对称.例例7 判定下列函数的奇偶性（1）（2），其中 为偶函数.解解（1）所以，为奇函数.(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 T 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数与其反函数

6、的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:例例5.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业 P21 6(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20 2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动 目录 上页 下页 返回 结束