离散型随机变量的方差课件(人教A版选修2-3).ppt

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1、【课标要求课标要求】2.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差理解取有限个理解取有限个值值的离散型随机的离散型随机变变量的方差及量的方差及标标准差的概念准差的概念和和计计算算能能计计算算简单简单离散型随机离散型随机变变量的方差，并能解决一些量的方差，并能解决一些实际问实际问题题掌握方差的性掌握方差的性质质，以及两点分布、二，以及两点分布、二项项分布的方差的求法，分布的方差的求法，会利用公式求它会利用公式求它们们的方差的方差123离散型随机离散型随机变变量的方差与量的方差与标标准差的概念和准差的概念和计计算算(难点难点)离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值意意义义与方差意与方差意义

2、义的区的区别别与与联联系系(易混点易混点)两点分布、二两点分布、二项项分布的方差的求法分布的方差的求法【核心扫描核心扫描】123离散型随机变量的方差、标准差离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的分布列为的分布列为自学导引自学导引1Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)意意义义：随机：随机变变量的方差和均量的方差和均值值都反映了随机都反映了随机变变量取量取值值偏偏离于离于_的平均程度方差或的平均程度方差或标标准差越小，准差越小，则则随机随机变变量偏量偏离于均离于均值值的的_(3)离散型随机离散型随机变变量方差的性量方差的性质质设设a，b为为常数，常

3、数，则则D(aXb)_(xiE(X)2均均值值平均程度越小平均程度越小a2D(X)想一想想一想：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗随机变量方差的计算公式吗？服从两点分布与二项分布的随机变量的方差服从两点分布与二项分布的随机变量的方差2XX服从两点分布服从两点分布XB(n、p)D(X)_(p为为成功概率成功概率)_p(1p)np(1p)对随机变量对随机变量X的方差、标准差的理解的方差、标准差的理解(1)随机变量随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的同的(2)随机变量随机

4、变量X的方差和标准差都反映了随机变量的方差和标准差都反映了随机变量X取值的取值的稳定性和波动、集中与离散程度稳定性和波动、集中与离散程度(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小越小，稳定性越高，波动越小(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛中应用更广泛名师点睛名师点睛1数学期望与方差的关系数学期望与方差的关系(1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征数学数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机

5、变量所取的值相对于数学期望的集中与而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度离散的程度(2)E(X)是一个实数，即是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而作为随机变量是可变的，而E(X)是是不变的，它描述不变的，它描述X的取值的平均水平，的取值的平均水平，D(X)表示随机变量表示随机变量X对对E(X)的平均偏离程度，的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，越大表明平均偏离程度越大，说明说明X的取值越分散，反之，的取值越分散，反之，D(X)越小，越小，X的取值越集中的取值越集中(3)D(X)与与E(X)一样也是一个实数，由一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定的分布列

6、唯一确定(当然方差是建立在数学期望这一概念上的当然方差是建立在数学期望这一概念上的)2方差的性质方差的性质当当a，b均为常数时，随机变量函数均为常数时，随机变量函数ab的方差的方差D()D(ab)a2D()特别地：特别地：(1)当当a0时，时，D(b)0，即常数的方差等于，即常数的方差等于0；(2)当当a1时，时，D(b)D()，即随机变量与常数之和的，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当当b0时，时，D(a)a2D()，即随机变量与常数之积的方，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积差，等于这个常数的平

7、方与这个随机变量方差的乘积3题型一题型一求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差 袋中有袋中有20个大小相同的球，其中个大小相同的球，其中记记上上0号的有号的有10个，个，记记上上n号的有号的有n个个(n1，2，3，4)现现从袋中任取一球从袋中任取一球表示表示所取球的所取球的标标号号(1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差；(2)若若ab，E()1，D()11，试试求求a，b的的值值思路探索思路探索(1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解再利用均值，方差公式求解(2)运用运用E()aE()b，D()a2D()

8、求求a，b.【例例1】解解(1)的分布列为：的分布列为：01234P规律方法规律方法求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果同时还能正确求出每一个结果出现的概率出现的结果同时还能正确求出每一个结果出现的概率 已知已知X的分布列的分布列为为【变式变式1】X101P求：求：(1)E(X)，D(X)；(2)设设Y2X3，求，求E(Y)，D(Y)思路探索思路探索 判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，是利用公式是

9、利用公式E()np，D()np(1p)的先决条件的先决条件 题型题型二二两点分布与二项分布的方差两点分布与二项分布的方差【例例2】0123456P规律方法规律方法记准方差的性质：记准方差的性质：D(ab)a2D()若若服从服从两点分布，则两点分布，则D()p(1p)若若B(n，p)，则，则D()np(1p)设设一次一次试验试验的成功率的成功率为为p，进进行行100次独立重复次独立重复试验试验，求当求当p为为何何值时值时，成功次数的，成功次数的标标准差的准差的值值最大？并求其最最大？并求其最大大值值【变式变式2】A，B两个投两个投资项资项目的利目的利润润率分率分别为别为随机随机变变量量X1和和X

10、2.根据市根据市场场分析，分析，X1和和X2的分布列分的分布列分别为别为题型题型三三均值与方差的综合应用均值与方差的综合应用【例例3】X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在在A，B两个两个项项目上各投目上各投资资100万元，万元，Y1和和Y2分分别别表示投表示投资项资项目目A和和B所所获获得的利得的利润润，求方差，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将将x(0 x100)万元投万元投资资A项项目，目，100 x万元投万元投资资B项项目，目，f(x)表示投表示投资资A项项目所得利目所得利润润的方差与投的方差与投资资B项项目所得利目所得利润润的方差的和求的方差的

11、和求f(x)的最小的最小值值，并指出，并指出x为为何何值时值时，f(x)取取得最小得最小值值(注：注：D(aXb)a2D(X)规范解答规范解答(1)由由题设题设可知可知Y1和和Y2的分布列分的分布列分别为别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3(2分分)E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24.(4分分)E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(6分分)【题后反思题后反思】解均值与方差的综合问题时的注意事项解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均

12、值和方差是三个紧密联系离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算若随机变量免一些复杂的计算若随机变量X

13、服从两点分布、二项分服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解布可直接利用对应公式求解从从4名男生和名男生和2名女生中任名女生中任选选3人参加演人参加演讲讲比比赛赛，设设随机随机变变量量X表示所表示所选选3人中女生的人数人中女生的人数(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求X的均的均值值与方差；与方差；(3)求求“所所选选3人中女生人数人中女生人数X1”的概率的概率【变式变式3】X012P 某某农农科院科院对对两个两个优优良品种甲、乙在相同的条件下良品种甲、乙在相同的条件下进进行行对对比比实验实验，100公公顷顷的的产产量列表如下：量列表如下：甲：甲：误区警示误区警示忽略对方差的比较致误忽

14、略对方差的比较致误【示示例例】每公每公顷产顷产量量(吨吨)9.49.59.810.2公公顷顷数数11324215乙：乙：每公每公顷产顷产量量(吨吨)9.29.51011公公顷顷数数35203510试试判断判断这这两个品种哪一个两个品种哪一个较较好？好？错解错解 设设甲品种每公甲品种每公顷产顷产量量为为X，则则X的概率分布的概率分布为为：X9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表可得由上表可得E(X)甲甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以同理可以计计算出算出E(X)乙乙9.20.359.50.2100.35110.19.72.由

15、由E(X)甲甲E(X)乙乙，可知甲、乙两个品种的，可知甲、乙两个品种的质质量相同量相同 对于如何评价两个品种的质量的标准只是停对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察正解正解 由由错错解知：解知：E(X)甲甲E(X)乙乙9.72，D(X)甲甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.D(X)乙乙(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，D(X)甲甲D(X)乙乙所以甲品种所以甲品种质质量更好一点量更好一点 对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较行分析比较