矢量磁位方程、边值问题-zyw.ppt

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1、欢迎学习欢迎学习欢迎学习欢迎学习四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心朱英伟朱英伟教案邮箱：教案邮箱：教案邮箱：教案邮箱：142536142536第三章 恒定磁场恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件序磁感应强度磁通连续性原理安培环路定律磁矢位及边值问题磁位及边值问题镜像法电感磁场能量与力磁路3.4.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Potential A)由于 称 A 为矢量磁位，或 磁矢位。3.4 磁矢位及其边值

2、问题Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem已知矢量旋度的散度恒为零。已知矢量旋度的散度恒为零。引入一个矢量函数引入一个矢量函数 A，使得，使得引入矢量磁位的目的是：方便磁场的计算引入矢量磁位的目的是：方便磁场的计算3.4.2 磁矢位 A 的泛定问题1.微分方程及其特解（矢量）泊松方程 从基本方程出发矢量运算取库仑规范 一般，已知电流密度一般，已知电流密度 J，则可以先求得矢量磁位，则可以先求得矢量磁位 A，再求磁感应强度再求磁感应强度 B，从而进行磁场的分析。，从而进行磁场的分析。矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，时间矛盾的普遍

3、性寓于矛盾的特殊性之中，时间的长河无边无际，要度量时间，必须截断。的长河无边无际，要度量时间，必须截断。令无限远处 A=0（参考磁矢位），方程特解为矢量合成后，得 在直角坐标系下，可展开为因此，线电流元引起的磁矢位为这里事实是给了一种计算磁场的积分方法，先求矢量磁位关于电流这里事实是给了一种计算磁场的积分方法，先求矢量磁位关于电流的积分，再对磁位的积分，再对磁位 A 求旋度可得磁场求旋度可得磁场 B。例1 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生的磁场。解:定性分析场分布，磁感应强度长直载流细导线的磁场 解:由上例计算结果,两导线在 P 点的磁矢位例 2 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。总

4、的磁矢位磁感应强度圆截面双线输电线考虑分界面上 A 的切向和法向连续性a)围绕 P点作一矩形回路，考虑回路面上的磁通量，则当 时,磁矢位 A 的衔接条件(1)有与对比，3.4.3 矢量磁位的边界条件矢量磁位的边界条件一种计算磁通的方法：一种计算磁通的方法：b)围绕 P点作一扁圆柱，则表明：媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。从式(1)、(2)得当 时，(2)(1)图3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件由 有恒定磁场定解问题描述为：对于平行平面场，如长直电流产生的磁场，其矢量磁位为另外，另外，实际磁场问题变成了求解矢量磁位实际磁场问题变成了求解矢量磁位A的泊松方程的定解问题。的泊松方程的定解问题。O

5、D1D2xyzIaP(,)J00长直载流圆导线的磁场长直载流圆导线的磁场 例3-9 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。解解 如图所示，选圆柱坐标系，则如图所示，选圆柱坐标系，则 JJez，故矢量磁位，故矢量磁位 AAz()ez z 仅有仅有z向分量，且由场的对称性可知向分量，且由场的对称性可知 Az z 仅为坐标仅为坐标 的函数，其边值问题为的函数，其边值问题为 直接积分两次，得通解直接积分两次，得通解 同理可得同理可得 由定解条件，可解得上述四个待定积分常数为由定解条件，可解得上述四个待定积分常数为 故故 由由 BA 得得 标量磁位 A

6、（安培）3.5 标量磁位及其边值问题3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )无电流区磁位 仅适合于无自由电流区域;已知标量梯度的旋度恒为零。已知标量梯度的旋度恒为零。引入一个标量函数引入一个标量函数 ，使得，使得定义定义:磁场中两点之间的磁压磁场中两点之间的磁压UmAB：在直角坐标系中2.分界面上的衔接条件由（仅适用于无电流区域）1.微分方程03.5.2 磁位 的边值问题定定解解问问题题各向同性各向同性 求解恒定磁场问题，归结为求解满足给定边值条件的泊求解恒定磁场问题，归结为求解满足给定边值条件的泊松方程或拉普拉斯方程问题。松方程或拉普拉斯方程问题。矢

7、量磁位矢量磁位 A、标量磁位、标量磁位 m 与电位与电位 的比较的比较3.6 3.6 镜像法镜像法(叠加思想，同方程同边界同解叠加思想，同方程同边界同解)联立求解，得联立求解，得由由 得得由由 得得 例例 3-6-1 3-6-1 图示一载流导体图示一载流导体 I 置于磁导率为置于磁导率为 的无限大导板上方的无限大导板上方 h 处，为求媒质处，为求媒质1 1与媒质与媒质2 2中的中的 B 与与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？的分布，试确定镜像电流的大小与位置？解解:根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与与

8、 。图图3-21 3-21 两种不同磁介质的镜像两种不同磁介质的镜像 例例3.6 3.6 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气位于空气 中，试求磁场分布。中，试求磁场分布。空气中空气中铁磁中铁磁中 空气中空气中 B 线垂直于铁磁平板，表线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。明铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流镜像电流解：解：图图3.6.2 3.6.2 线电流线电流 I I 位于无限大铁板上方的镜像位于无限大铁板上方的镜像 自感磁链内磁链外磁链自感磁链内磁链外磁链互感磁链：在回路互感磁链：在回路1 1中通以电流，回路中通以电流，回路2

9、2所环绕的磁链所环绕的磁链3.7 3.7 电电 感感磁通：磁通：磁链：磁链：磁链：与磁链：与电流电流回路回路铰链铰链的的磁通磁通总和。总和。内磁链：磁力线穿过电流导体内部，内磁链：磁力线穿过电流导体内部，与导体的部分电流交链的磁通。与导体的部分电流交链的磁通。外磁链：磁力线不穿过电流导体，与外磁链：磁力线不穿过电流导体，与导体的全部电流交链的磁通。导体的全部电流交链的磁通。3.7.1 自感（Self-Inductance）回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。H（亨利）L=内自感 Li+外自感 L0求自感的一般步骤：设A图3.7.1 内磁链与外磁链内外磁链之和内外磁链之和导线回路内自感远

10、小于外自感，可忽略。导线回路内自感远小于外自感，可忽略。3.7.2 互感（Mutual Inductance）互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。计算互感的一般步骤：设A可以证明H（亨利）图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链3.7.3 诺依曼公式（Neumanns Formula）1.求两导线回路的互感 互感设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为穿过回路 2 的磁通为图3.7.11 两个细导线电流回路(由磁失位计算电感的一般表达式)3.8.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）3.8 磁场

11、能量与力Magnetic Energy and Force静电场中存储有电能，恒定磁场中存储有磁能。磁场来源于电流，磁场能量的存储过程，就是电流建立的过程。对于对于n个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为：个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为：自有能互有能 是回路是回路k k 独存在时的能量，称为自有能量。自独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。有能量始终大于零。与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。为负。对于单一回路

12、对于单一回路由矢量恒等式3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 (Energy Distribution and Energy Density)得第一项为 0由于所以时，J（焦耳）磁能密度磁场能量是以场密度形式储存在空间中。空间存储的磁场能量为：空间存储的磁场能量为：单位体积内的单位体积内的能量密度能量密度即为即为力密度力密度。磁力密度（磁力密度（磁压磁压）1.安培力解:定性分析场分布B 板的磁场A A 板受力例 试求载流导板间的相互作用力。图3.8.2 两平行导板间的磁力3.8.3 磁场力(Magnetic Field Force)2.虚位移法电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功1）

13、常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。n 个载流回路中，当仅有一个广义坐标发生位移dg，系统的功能守恒是广义力即2）常磁链系统 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量广义力 取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。两种假设的结果相同，即3.法拉第观点法拉第观点（B 管管）法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂直方向受到侧压力,其量值都等于 N/m2图3.8.7 载流导体位于铁板上方图3.8.5 向量管受力图3.8.6 电磁铁磁力总是由磁导率大的指向磁导率小的。磁力总是由磁导率大的指向磁导率小的。作作 业业3-1-1(a、b)3-1-33-2-23-3-23-4-33-5-23-6-1 Thanks！