电路课件电路07一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt

《电路课件电路07一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电路课件电路07一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt（81页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7-1-7-82第7章一阶电路和二阶电路的时域分析第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析本章重点本章重点动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.6一阶电路和二阶电路阶跃响应一阶电路和二阶电路阶跃响应7.7一阶电路和二阶电路冲激响应一阶电路和二阶电路冲激响应7.83第7章一阶电路和二阶电路的时域分析第七章 一阶

2、电路和二阶电路的时域分析内容提要本章讨论用微分方程描述电路，主要是RCRC和RLRL电路电路。介绍一阶电路经典法，及一阶电路时间常数概念。在一阶电路基础上用经典法分析二阶电路。还介绍下列重要概念：零输入响应 零状态响应 全响应 瞬态分量 稳态分量 阶跃响应 冲激响应4第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路：动态电路：含动态元件电容和电感电路。动态电路方程：动态电路方程：以电流和电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶电路：一阶电路：电路仅一个动态元件，可把动态元件以外电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换，建立一阶常微分方程。含2或n个动态元件，方程为2或n阶微

3、分方程。动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化时(如电路中电源或无源元件断开或接入，信号突然注入等)，可能使电路改变原来工作状态，转变到另一工作状态，需经历一个过程，工程上称过渡过程过渡过程。电路结构或参数变化统称“换路换路”，t=0时刻进行。换路前最终时刻记为t=0=0-，换路后最初时刻记为t=0=0+，换路经历时间为0-到0+。5第7章一阶电路和二阶电路的时域分析经典法分析动态电路过渡过程方法之一：根据KCL、KVL和支路VCR建立描述电路方程，以时间为自变量的线性常微分方程，求解常微分方程，得电路所求变量(电压或电流)。称经典法经典法，是一种在时间域时间域进行的分析方法。经典法求

4、解常微分方程时，必须根据电路初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶，初始条件指电路中变量(电压或电流)及其(n-1)阶导数在t=0+时的值，也称初始值初始值。电容uc和电感iL初始值，即uc c(0(0+)和iL L(0(0+)称独立独立初始条件初始条件，其余称非独立初始条件非独立初始条件。7-1动态电路方程及初始条件6第7章一阶电路和二阶电路的时域分析线性电容换路瞬间情况线性电容在任意时刻t，其电荷、电压与电流关系：q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t00-，t=0+得：从上2式可见，换路前后，即0-到0+瞬间，电流ic(t)为有限值，则式2式右方积分项为

5、零，电容上电荷和电压不发生跃变，即：q q(0(0+)q q(0(0-)(7-2a)uc c(0(0+)uc c(0(0-)(7-2b)一个在t0-储存电荷为q(0-)，电压uc(0-)U0电容，换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=U0，可见在换路瞬间，电容可视为电压值为U U0 0电压源电压源。一个在t=0-不带电荷电容，换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=0，换路瞬间电容相当于短路短路。7-1动态电路方程及初始条件7第7章一阶电路和二阶电路的时域分析线性电感换路瞬间情况线性电感磁通链与电流关系：令t00-，t0+有：从0-到0+瞬间，电压uL(t)为有限值，式中

6、右方积分项将为零，电感中磁通链和电流不发生跃变，即：L L(0(0+)L L(0(0-)(7-4a)iL L(0(0+)iL L(0(0-)(7-4b)对t0-时电流为I0电感，换路瞬间不发生跃变，有iL(0+)iL(0-)I0，在换路瞬间可视为I I0 0电流源电流源。对t0-时电流为零电感，换路瞬间不发生跃变有iL(0+)iL(0-)0，在换路瞬间相当于开路开路。7-1动态电路方程及初始条件8第7章一阶电路和二阶电路的时域分析初始条件 q q(0(0+)q q(0(0-)(6-2a)(6-2a)uc c(0(0+)uc c(0(0-)(6-2b)(6-2b)L L(0(0+)L L(0(0

7、-)(6-4a)(6-4a)iL L(0(0+)iL L(0(0-)(6-4b)(6-4b)分别说明换路前后电容电流和电感电压为有限值条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。称换路定则换路定则。动态电路独立初始条件动态电路独立初始条件：电容uc(0+)和电感iL(0+)，一般可根据在t=0-时值(即电路发生换路前状态)uc(0-)和iL(0-)确定。该电路非独立初始条件非独立初始条件，即电阻电压或电流、电容电流、电感电压等需通过已知独立初始条件求得。7-1动态电路方程及初始条件9第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-1图6-1直流电压源U0。电

8、压和电流恒定时打开S。求uc(0+)、iL(0+)、ic(0+)、uL(0+)和uR2(0+)。解 根据t0-计算uc(0-)和uL(0-)。开关打开前，电压和电流恒定不变，有：电容电流和电感电压均为零(icCduc/dt，uLLdiL/dt)，即电容相当于开路，电感相当于短路：换路时，iL和uc不会跃变，uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。为求t=0+其他初始值，把已知uc(0+)和iL(0-)分别以电压源和电流源替代，得t=0+时等效电路图7-1b。求出：7-1动态电路方程及初始条件10第7章一阶电路和二阶电路的时域分析确定初始值的步骤确定初始值的步骤:（1）由换路前电

9、路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；（2）由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。（3）画0+等效电路（初始值等效电路）：换路后，电容用电压源、电感用电流源替代。激励用us(0+)、is(0+)的直流源替代。由0+电路求所需各变量的0+值。7-1动态电路方程及初始条件11第7章一阶电路和二阶电路的时域分析-一阶电路的零输入响应零输入响应：动态电路在没有外施激励时，由电路中动态元件初始储能引起的响应。12第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路零输入响应-图-2，RC电路，开关S闭合前C已充电，uc=U0。S闭合后，电容储能通过电阻以热能形式释放。把S动作时刻取为计时起点(t=0)。开

10、关闭合后，即t0+时，根据KVL得 uR-uc=0而uR=Ri，将 代入，有一阶齐次微分方程，初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0，令通通解解uc c=A Ae eptpt，代入有(RCp+1)Aept=0相应特征方程特征方程：RCp+1=0 特征根：uc(0+)=uc(0-)=U0代入uc=Aept，积分常数 A=uc(0+)=U0求得满足初始值微分方程的解为放电过程中电容电压uc表达式。7-2一阶电路的零输入响应13第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路零输入响应-2电路中电流电阻上电压从上式可见，电压uc、uR及电流i按同样指数规律衰减。衰减快慢取决于指数中 大小。由于 是电路特

11、征方程的特征根，仅取决于电路结构和元件参数。当电阻为，电容为F时，乘积乘积RCRC单位为s，称RCRC电路时间常电路时间常数数，用表示。引入，电容uc和电流i分别表示为：大小反映一阶电路过渡过程进展速度，是反映过渡过程特性的一个重要量。可计算得：t0时，uc(0)U0e0U0 t=时，uc()=U0e-10.368U07-2一阶电路的零输入响应14第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路零输入响应-3零输入响应在任一时刻t0值，经一个可表示为即经过一个时间常数后，衰减了63.8，或为原值36.8。t=2，t3，t4，时刻电容电压值列于表7-1。从表可见，理论上要经无限长时间uc才衰减为零值。

12、但工程上一般认为换路后，经过3-5时间过渡过程即告结束。7-2一阶电路的零输入响应t02345uc(t)U00.368 U00.135U00.05U00.018U00.006U0015第7章一阶电路和二阶电路的时域分析uc、uR和i随时间变化曲线图7-3为uc、uR和i随时间变化曲线。时间常数，可从uc或ic曲线用几何方法求得。图7-4，取uc曲线任意一点A，过A点作切线AC，图中次切距：即在时间坐标上次切距长度等于时间常数在时间坐标上次切距长度等于时间常数。说明曲线上任意一点，如以该点斜率为固定变化率衰减，经过时间为零值。7-2一阶电路的零输入响应16第7章一阶电路和二阶电路的时域分析的几何

13、意义放电过程中，电容放出能量为电阻消耗；最后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。即7-2一阶电路的零输入响应17第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RL电路零输入响应-1图7-5a开关S动作前电压和电流已恒定，电感中电流I0=U0/R0=i(0-)。t=0时开关由1合到2，有初始电流I0的电感L和电阻R连接，构成闭合回路，如图b。t0，根据KVL有 uR+uL=0而uR=Ri，uL=Ldi/dt，电路微分方程：一阶齐次微分方程。令iAept，得相应特征方程：Lp+R0特征根：电流为：根据i(0+)i(0-)I0，代入上式可求得Ai(0+)I0，有7-2一阶电路的零输入响应18

14、第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RL电路零输入响应-2电阻和电感电压分别为：与RC电路类似，令 称RL电路时间常数，上述各式写为：图7-6分别为i、uL和uR随时间变化曲线。7-2一阶电路的零输入响应19第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-2-1图7-7一台300kW汽轮发电机励磁回路。已知励磁绕组电阻R=0.189，电感L0.398H，直流电压U35V。电压表量程为50V，内阻Rv5k。开关未断时，电路中电流已恒定不变。t0断开开关。求：(1)电阻、电感回路时间常数；(2)电流i的初始值和开关断开后电流i的最终值；(3)电流i和电压表处的电压uv；(4)开关刚断开时，电压表处的电压。

15、7-2一阶电路的零输入响应20第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-2-2解(1)时间常数(2)开关断开前，电流恒定不变，电感L两端电压为零，故 电感中电流不能跃变，电流初始值i(0+)i(0-)185.2A。(3)按 可得 i185.2e-12560t A 电压表处的电压 uv-Rvi-5103185.2e-12560t V=-926e-12560t kV(4)开关刚断开时，电压表处的电压 uv(0+)-926 kV此时电压表要承受很高电压，绝对值将远大于直流电源电压U，且初始瞬间电流很大，可能损坏电压表。可见，切断电感电流时必须考虑释放磁场能量。如磁场能量较大，而又必须在短时间内完成切

16、断电流，则必须考虑如何熄灭电弧(一般出现在开关处)问题。7-2一阶电路的零输入响应21第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-3-1图7-8a开关S原在位置1电路已稳态。t=0时开关由1合向2，求t0+时电流i(t)。解 S位置1得uc(0-)=uc(0+)=6V等效电阻Req用外施电源法求，图b。u=6i2+2ii2代入u=6i2+2i得：时间常数所以：7-2一阶电路的零输入响应求i(t)另一方法略22第7章一阶电路和二阶电路的时域分析习 题P 191 题7-47-2一阶电路的零输入响应23第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-3 一阶电路的零状态响应零状态响应零状态响应：电路在零初始状态下

17、(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。图7-10，RC串联，S闭合前电路处于零初始状态，uc(0-)=0。t=0时刻，S闭合，接入直流电压源Us。根据KVL有 uR+ucUsuRRi，代入，得电路微分方程为一阶线性非齐次方程。24第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路的零状态响应-1解由两个分量组成，非齐次方程特解uc和对应齐次方程通解u”c,即 uc=uc+u”c不难求得特解 uc=Us齐次方程 通解其中=RC。因此代入初始值，得 A-Us而：uc和i波形如图7-11。电压uc两 个分量uc和uc”示于该图。7-3一阶电路的零状态响应25第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路

18、的零状态响应-2uc以指数形式趋近于最终恒定值Us，到该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。电路达稳定状态稳定状态(简简称稳态称稳态)，在这种情况下，特解uc(=Us)称稳态分量稳态分量。同时可看出uc与外施激励变化规律有关，又称强制分量强制分量。非齐次方程通解uc”由于变化规律取决于特征根而与外施激励无关，称自由分量自由分量。自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，所以又称瞬态分量瞬态分量。对电流电流i i可作类似解释可作类似解释。7-3一阶电路的零状态响应26第7章一阶电路和二阶电路的时域分析对电容充电过程RC电路接通直流电压源过程即是电源通过电阻对电容充电过程。在充电过程中，

19、电源供给能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗，电阻消耗电能为从上式可见，不论电路中电容C和电阻R数值为多少，充电过程中，电源提供能量只有一半转变成电场能量储存于电容中，另一半为电阻所消耗，就是说，充电效率只有50。7-3一阶电路的零状态响应27第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RL电路的零状态响应图7-12为RL电路，直流电流源电流Is，开关打开前电感电流为零。开关打开后iL(0+)=iL(0-)=0，电路的响应为零状态响应。换路后电路微分方程为初始条件iL(0+)=0。电流iL的 通解为 为时间常数。特解iL=Is，积分常数A=-iL(0+)-Is。所以7-3一阶

20、电路的零状态响应28第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RL电路-1以RL电路为例，讨论正弦电压激励下零状态响应正弦电压激励下零状态响应。图7-13a,RL串联电路，外施激励为正弦电压us=Umcos(t+u)，其中u为接通电路时外施电压初相角，又称接入相位角接入相位角或合闸角合闸角。接通后电路方程通解ii+i”，自由分量 为时间常数。i应为特解，设特解为 iImcos(t+)代入上列微分方程，有 RImcos(t+)-LImsin(t+)=Umcos(t+u)7-3一阶电路的零状态响应29第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RL电路-2用待定系数法确定用待定系数法确定I

21、Im m和和。引入 有：再令 上式左方可写为得 Im|Z|cos(t+)Umcos(t+u)因此可求得待定常数：Im|Z|Um +u或7-3一阶电路的零状态响应30第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RL电路-3特解i方程通解代入初始条件，i(0+)i(0-)0，有于是电流i电阻上电压电感上电压7-3一阶电路的零状态响应31第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RL电路-4由上可见，方程特解或强制分量与外施正弦激励按同频率正弦规律变化，自由分量随时间增长趋于零。最终只剩下强制分量。这种电路需经一个过渡过程，然后达稳定状态经一个过渡过程，然后达稳定状态。自由分量与开关闭合时刻有

22、关。开关闭合时，若有 则所以：故开关闭合后，电路中不 发生过渡过程而立即进入 稳定状态，i波形图7-13b。7-3一阶电路的零状态响应32第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RL电路-5如开关闭合时 ，则有即：电流i波形图7-13c。从上式和波形图中看出，当电路时间常数很大，则i”衰减极其缓慢。接通电路后，约经半个周约经半个周期期时间，电流最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流振幅的两倍电流振幅的两倍。日光灯原理日光灯原理7-3一阶电路的零状态响应33第7章一阶电路和二阶电路的时域分析正弦激励下的RC电路分析方法相同：换路后无过渡过程，立即进入稳定状态。换路

23、后约经半个周期，电容电压最大瞬时值的绝对值将接近稳态电压振幅的两倍。可见，RC或RL串联电路与正弦电压接通后，在初始值一定条件下，电路过渡过程与开电路过渡过程与开关动作时刻有关关动作时刻有关。7-3一阶电路的零状态响应34第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-4 一阶电路的全响应非零初始状态一阶电路受到激励时，响应称全响应全响应。图7-14已充电电容经电阻接直流Us。设电容原有电压U0，开关S闭合后，根据KVL有初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0方程通解 uc=uc+uc”换路后稳定状态电容电压为特解：uc=Us uc为方程对应齐次方程通解=RC为电路时间常数，有根据初始条件uc(0+

24、)=uc(0-)=U0，得积分常数 A=U0-Us电容电压是电容压在电容压在t t00时全响应时全响应。35第7章一阶电路和二阶电路的时域分析三要素法-1式(7-5)改写成右边第一项电路零输入响应，右边第二项电路零状态响应，说明一阶电路中，全响应是零输入响应和零状态响应的叠加：全响应全响应(零输入响应零输入响应)+()+(零状态响应零状态响应)式(7-5)又可见，右边第一项是特解，与激励相同，称强制分量，第二项是通解，变化规律取决于电路参数，称自由分量。全响应全响应(强制分量强制分量)+()+(自由分量自由分量)直流或正弦激励一阶电路，换路后稳态作特解，自由分量随时间增长按指数规律逐渐衰减为零

25、。又可以表示为 全响应全响应(稳态分量稳态分量)+()+(瞬态分量瞬态分量)7-4一阶电路的全响应36第7章一阶电路和二阶电路的时域分析三要素法-2上述分法不同，但全响应是由初始值、特解和全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定时间常数三个要素决定。在直流电源激励下，若初始值为f(0+)，特解为稳态解f()，时间常数为，则全响应f(t)可写为只要知道f(0+)、f()和这三个要素，就可根据式(7-6)直接写出直流激励下一阶电路的全响应，称三要素法。7-4一阶电路的全响应37第7章一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路在正弦电源激励下的响应一阶电路在正弦电源激励下，电路特解f(t)是时间的正弦

26、函数，上述公式可写为 其中f(t)是特解为稳态响应，f(0+)是t0+时稳态响应初始值，f(0+)与的含义与前述相同。如电路仅含一个储能元件(L或C)，其他部分由电阻和独立电源或受控源连接，仍是一阶电路。求解时，把储能元件以外部分，用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然后求得储能元件上电压和电流。如还要求其他支路电压和电流，按变换前原电路进行。7-4一阶电路的全响应38第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-4图7-15a，Us=10V，Is=2A，R=2，L=4H。求S闭合后电路中电流iL和i。解 戴维宁等效图b，其中：Uoc=Us-RIs=(10-22)V=6V Req=R=2 iL(0

27、+)=iL(0-)=-2 A特解：按式(7-6)得iL随时间变化曲线图c。电流i根据KCL得7-4一阶电路的全响应39第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-5-1图7-16，开关闭合前达稳定状态。t=0时S闭合，求t0时uc零状态、零输入和全响应。解 求uc(0-)电路图7-17a，S闭合前稳态，电容开路。换路后，用戴维宁等效 图7-17b、c。u1=0.5V uoc=3.5V 7-17(a)7-17(b)7-4一阶电路的全响应40第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-5-2外施电源求Req，端口加i，u1=0，受控源开路。u=4i Req=4=ReqC=(40.5)s=2s零状态响应

28、：零输入响应：全响应：可按式7-6得：7-4一阶电路的全响应41第7章一阶电路和二阶电路的时域分析习 题P192 题 7-542第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。初始条件有两个，由储能元件初始值决定；RLC串联电路和GLC并联电路是最简二阶电路。图7-18为RLC串联，设电容已充电，电压U0，电感初始电流I0。t=0时S闭合，电路放电过程是二阶电路零输入响应。根据KVL得 -uc+uR+uL=0代入上式，得以uc为未知量微分方程。线性常系数二阶齐次微分方程线性常系数二阶齐次微分方程。解方程时，设uc=Aept，再确定其

29、中p和A。43第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RLC串联电路零输入响应-1将uc=Aept代入式(7-8)，得特征方程特征方程 LCpLCp2 2+RCpRCp+1=0+1=0 解出特征根特征根p有正负两个值。为兼顾这两个值，电压uc可写成其中从式(7-10)可见，特征根p1和p2仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。7-5 二阶电路零输入响应44第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RLC串联电路零输入响应-2初始条件为uc(0+)=uc(0-)=U0和i(0+)=i(0-)=I0。由于 有 根据初始条件和式(7-9)得解式(7-11)得常数A1和A2。讨论U00而I0=0情况，即已

30、充电C通过R、L放电。此时解得：将A1、A2代入式(7-9)得RLC串联电路零输入响应表达式。7-5 二阶电路零输入响应45第7章一阶电路和二阶电路的时域分析特征根的3种情况由于电路中R、L、C参数不同，特征根可能是 (a)两个不等的负实根；(b)一对实部为负的共轭复根；(c)一对相等的负实根。分3种情况讨论。7-5 二阶电路零输入响应46第7章一阶电路和二阶电路的时域分析1 非振荡放电过程特征根p1和p2是两个不等负实数，电容电压为电流 上式利用 关系。电感电压7-5 二阶电路零输入响应47第7章一阶电路和二阶电路的时域分析非振荡放电图7-19：uc、i、uL随时间变化曲线。uc、i始终不改

31、变方向，且有uc0，i0，表明电容整个过程中一直释放储存电能，称非振荡放非振荡放电电，又称过阻尼放电过阻尼放电。t=0+时，i(0+)=0，t时放电过程结束，i()=0，放电过程中电流经从小到大再趋于零的变化。电流达最大值时刻tm由di/dt=0定ttm，电感吸收能量，建磁场；ttm，电感释放能量，磁场逐渐衰减,趋向消失。t=tm，电感电压过零点。7-5 二阶电路零输入响应48第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-6-1图7-20，Us=10V,C=1F,R=4k,L=1H，S原闭合在触点1，t=0时S由1接至触点2。求：(1)uc、uR、i和uL；(2)imax。解(1)已知R=4k，而

32、 放电过程非振荡。且uc(0+)=U0=Us 特征根7-5 二阶电路零输入响应49第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-6-2根据式(7-12)、(7-13)和(7-14)，得电容电压 uc=(10.77e-268t-0.773e-3732t)V电流 i=2.89(e-268t-e-3732t)mA电阻电压 uRRi11.56(e-268t-e-3732t)V电感电压(2)电流最大值发生在tm时刻，即7-5 二阶电路零输入响应50第7章一阶电路和二阶电路的时域分析2 振荡放电过程特征根p1和p2一对共扼复数。令：则 有：p1=-+j，p2=-j令 (图7-21)有=0cos,=0sin,根

33、据 可得：7-5 二阶电路零输入响应51第7章一阶电路和二阶电路的时域分析振荡放电过程根据 或用式 (7-13)可得i为而电感电压从uc、i和uL表达式可见，波形将呈衰减振荡状态，整个过程中，周期性改变方向，储能元件也周期性交换能量。7-5 二阶电路零输入响应52第7章一阶电路和二阶电路的时域分析元件之间能量转换、吸收概况 根据上述各式，还可得出：1 t=k，k=0,1,2,3为电流i过零点，即uc极值点；2 t=k+，k=O,1,2,3为电感电压uL过零点，即电流i极值点；3 t=k-，k=O,1,2,3为电容电压uc过零点。根据上述零点划分时域可看出元件间能量转换、吸收概况，见表7-2。7

34、-5 二阶电路零输入响应0t t-t电感吸收释放释放电容释放释放吸收电阻消耗消耗消耗53第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-2在受控热核研究中，需强大脉冲磁场，靠强大脉冲电流产生，由RLC放电电路产生。已知U0=15kV，C=1700 F，R=610-4，L=610-9H，问：(1)i(t)为多少?(2)i(t)何时达极大值?求imax。解 根据参数：即特征根为共轭复数，属振荡放电。(1)电流i为 (2)当t=，即t=/=4.56s时电流i达极大值最大放电电流达6.36106A，比较可观数值。7-5 二阶电路零输入响应54第7章一阶电路和二阶电路的时域分析等幅振荡放电过程R=0时,=0，

35、则 uc、i、uL表达式为：uc、i、uL诸量都是正弦函数，振幅不衰减，是等幅振荡放电过程。尽管实际振荡电路都有损耗，但若仅关心在很短时间间隔内发生过程时，按等幅振荡处理不会带来显著误差。7-5 二阶电路零输入响应55第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-8-1为试验油开关熄灭电弧能力，需在开关中通以数十千安，频率50Hz正弦电流。工程中采用LC放电电路作试验电源，图7-23。工作情况：先打开S2，接通S1，使电容器充电至U0；然后打开S1，接通S2，电容器对电感线圈放电。选择L和C大小及U0数值，可得试验所需正弦电流。在开关闭合后适当时间，借助于自动装置把被试开关触头A拉开，便可以试验高

36、压开关灭弧能力。本例中，C=3800F，U0=14.14kV，若线圈用很粗导线绕制，在近似估算中可忽略其电阻，求：(1)为产生试验所需50Hz电流，线圈电感L等于多少?(2)振荡电路电流i(t)及电容电压uc(t)。7-5 二阶电路零输入响应56第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例 7-8-2解 (1)试验所需电流频率为50Hz，即0=2f=314rad/s，根据 可求出电感L大小(2)根据可得电流i(t)为 i(t)16.9103sin(314t)A 可见，放电电流峰值可达16.9kA。电容电压为7-5 二阶电路零输入响应57第7章一阶电路和二阶电路的时域分析3 临界情况在 条件下，特征方程

37、具有重根微分方程式(7-8)通解 uc=(A1+A2t)e-t根据初始条件得：A1=U0 A2=U0 所以：从以上诸式可看出uc、i、uL有非振荡性质，波形与图7-19相似。是振荡与非振荡分界线，过渡过程称临界临界非振荡过程非振荡过程，电阻称临界电阻临界电阻，并称电阻大于临界电阻电路过阻尼电路过阻尼电路，小于临界电阻电路欠阻尼电路欠阻尼电路。临界情况下过渡过程计算公式，可通过前两种非临界情况下公式取极限导出。7-5 二阶电路零输入响应58第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 二阶电路初始储能为零,即uC(0-)=0，iL(0_ _)=0，仅由外施激励引起响应称

38、二二阶阶电电路路零零状状态态响应响应。图7-24为GCL并联，uC(0-)=0，iL(0-)=0，t=0时S打开。根据KVL有 iC+iG+iL=iS以iL为待求量，可得59第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程，由特特解解和对应奇次方程通解通解组成，即 iL=iL+iL”取稳态解i为特解，通解i”与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，得全解。如二阶电路具有初始储能，又接外施激励，电路响应称全响应。全全响响应应：零输入响应和零状态响应的叠加。可通过求解二阶非齐次方程方法求得。7-6二阶电路零状态和全响应响应 60第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例

39、7-9-1图7-24，uC(0-)=0，iL(0-)=0，G=210-3S，C=1F，L=1H，iS=1A，t=0时S打开，求iL、uC和iC。解 S动作后电路微分方程：特征方程：代入数值求特征根：p1=p2=p=-103 7-6二阶电路零状态和全响应响应 61第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-9-2因p1、p2是重根，临界阻尼，解为：iL=iL+iL”iL为特解（强制分量）：iL=1AiL”为对应齐次方程解：iL”=（A1+A2t）ept A通解：t=0+时初始值：iL(0+)=iL(0-)=0代入初始条件得：1+A1+0=0；-103A1+A2=0解得：A1=-1，A2=-1037-

40、6二阶电路零状态和全响应响应 62第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-9-3求得零状态响应：过渡过程是临界阻尼情况，非振荡性质，波形见图7-25。7-6二阶电路零状态和全响应响应 63第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-10-1图7-26，开关t=0时闭合，uc(0-)=0,iL(0-)=2A，求开关闭合后iL(t)。解 原有iL(0-)=2A，又接电压源，为全响应。（1）列微分方程，对结点1用KCL：整理：代入已知数：设全响应为 iL=iL+iL”7-6二阶电路零状态和全响应响应 64第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-10-2(2)特解(3)求通解，二阶微分方程特征方程 p2+

41、200p+20000=0特征根 p=-100j100 共轭复根，欠阻尼性质，即 i”L=Ae-100tsin(100t+)全响应：iL(t)=iL+i”L=1+Ae-100tsin(100t+)初始条件：iL(0+)=iL(0-)=2A有：1+Asin=2 100Acos-100Asin=0 解得：iL的全响应：7-6二阶电路零状态和全响应响应 65第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应：对单位阶跃函数输入的零状态响应。单位阶跃函数单位阶跃函数：奇异函数图6-27a，定义：t=0不连续，可描述图b开关动作，t=0时把电路接到单位直流电压。

42、阶跃函数可作开关数学模型，称开关函数开关函数。定义任一时刻t0起始阶跃函数为(t-t0)可看作把(t)在时间轴移动t0，图7-28，延延迟单位阶跃函数迟单位阶跃函数。假设把电路在t=t0时接通到电流为2A的直流电流源，则外施电流可写为2(t-t0)A。66第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 单位阶跃函数“起始”任意一个f(t)设f(t)对所有t有定义的任意函数，则 波形图7-29。对图7-30a幅度为1矩形脉冲，看作由两个阶跃函数组成，图7-30b，即 f(t)(t)-(t-t0)同理，对图7-30c矩形脉冲，可写为 f(t)(t-1)-(t-2)7-7一阶和二阶电路阶跃响应67第7章一阶电路

43、和二阶电路的时域分析 当电路激励为单位阶跃(t)V或(t)A时，相当于将电路在t=0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。单位阶跃响应与直流激励响应相同。用s(t)表示单位阶跃响应。已知电路s(t)，如果该电路恒定激励为us(t)=U0(t)或is(t)=I0(t)，则电路零状态响应为U0s(t)或I0s(t)。7-7一阶和二阶电路阶跃响应68第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-11-1图7-31，S位置1时电路达稳定状态。t=0时，开关由1合向位置2，在t=RC时又由2合向位置1，求t0时电容电压uc(t)。解 可用两种方法求解。(1)将电路工作过程分段求解 0t区间

44、RC电路零状态响应：uc(0+)=uc(0-)=0 t区间为RC电路的零输入响应:7-7一阶和二阶电路阶跃响应69第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-11-2(2)用阶跃函数表示激励，求阶跃响应根据开关动作，激励us(t)图7-32a矩形脉冲表示，按图b写为 us(t)=Us(t)-Us(t-)RC电路单位阶跃响应为故其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟阶跃响应。uc(t)波形图c。7-7一阶和二阶电路阶跃响应70第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-12-1图7-33，uc(0-)=0,iL(0-)=0,R=0.2,L=0.25H,C=2F,is(t)=(t)A，求单位阶跃响应iL(t)

45、。解 列KCL方程 iR+iC+iL-0.5iC=iS iR+0.5iC+iL=(t)其中代入数据得即二阶线性非齐次方程，解为 iL=i+i”7-7一阶和二阶电路阶跃响应71第7章一阶电路和二阶电路的时域分析例7-12-2特解 i=1通解特征方程 p2+5p+4=0特征根 p1=-1，p2=-4iL=1+A1e-t+A2e-4t初始条件iL(0+)=iL(0-)=0，uc(0+)=uc(0-)=0代入1+A1+A2=0 -A1-4A2=0解得阶跃响应为动态过程是过阻尼性质。7-7一阶和二阶电路阶跃响应72第7章一阶电路和二阶电路的时域分析7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应单位冲激响应单位冲激响

46、应：对单位冲激函数激励的零状态响应。单位冲激函数是奇异函数：又称函数函数。在t0处为零，在t=0处为奇异。(t)可看作单位脉冲函数极限情况。图7-34a为单位矩形脉冲函数p(t)波形。高1/，宽，保持面积1/=1不变，宽0时，高1/，就是单位冲激函数(t)，记为73第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 单位冲激函数波形图7-34b，有时箭头旁注“1”。强度为K冲激函数图7-34c，箭头旁边注K。同在时间上延迟出现单位阶跃函数一样，把发生在t=t0时单位冲激函数写为(t-t0)，还可用K(t-t0)表示强度为K，发生在t0时刻冲激函数。7-8一阶和二阶电路冲激响应冲激函数74第7章一阶电路和二阶电

47、路的时域分析冲激函数两个主要性质 (1)单位冲激函数(t)对时间积分等于单位阶跃函数(t)，即反之，阶跃函数(t)对时间一阶导数等于冲激函数(t)，即 (2)单位冲激函数的“筛分性质”由于t0时，(t)=0，对任意在t=0时连续函数f(t)，有 f(t)(t)f(0)(t)因此同理，对任意一个t=t0时连续函数f(t)，有即冲激函数有把一个函数在某一时刻值“筛”出来的本领，称“筛分筛分”性质性质，又称取样性质取样性质。7-8一阶和二阶电路冲激响应75第7章一阶电路和二阶电路的时域分析冲激函数作用原理单位冲激电流i(t)(单位A)加到初始电压为零且C=1F电容，电容电压 单位冲激电流瞬时把电荷转

48、移到电容，电容电压从零跃变到1V。单位冲激电压u(t)(单位V)加到初始电流为零且L=1H电感，电感电流 单位冲激电压瞬时在电感内建立1A电流，即电感电流从零值跃变到1A。冲激函数作用于零状态一阶RC或RL电路，在t=0-到0+区间内使电容电压或电感电流发生跃变。t0+时，冲激函数为零，但uc(0+)或iL(0+)不为零，电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。一阶电路冲激响应求解，在于计算在冲激函数作用下uc(0+)或iL(0+)值。7-8一阶和二阶电路冲激响应76第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RC电路的冲激响应图7-35a单位冲激电流i(t)激励下RC电路。求零状态响应。根据KCL

49、 而uc(0-)=0。为求uc(0+)，在0-与0+积分左方第二个积分仅在uc为冲激函数时才不为零，应为零。从而得 Cuc(0+)-uc(0-)1 或 uc(0+)1/Ct0+时，冲激电流源相当于开路，图7-35b求t0+电容电压=RC，RC电路时间常数。7-8一阶和二阶电路冲激响应77第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RL电路的冲激响应用相同分析方法，可得图7-36RL电路在单位冲激电压u(t)激励下零状态响应 =L/R为时间常数。电感电流发生了跃变，电压uL为iL、uL的波形见图7-37a、b，注意t=0-到0+的冲激和跃变情况。7-8一阶和二阶电路冲激响应78第7章一阶电路和二阶电路的时

50、域分析RLC串联电路的冲激响应-1 图7-38零状态RLC串联，t=0时与冲激电压(t)接通。uC为变量，KVL：(t)在t0为0，t=0时获得能量，t0+放电，有关键求uC(0+)和i(0+)，上式在0-到0+积分：7-8一阶和二阶电路冲激响应79第7章一阶电路和二阶电路的时域分析RLC串联电路的冲激响应-2零状态条件：u C(0-)=0，iL(0-)=0，uC不可能是阶跃函数或冲激函数，仅duC/dt可能跃变，有：即 意意义义：冲激电压源在t=0-到0+间隔内使电感电流跃变，跃变后i(0+)=1/L，电感中储存一定磁场能量，冲激响应是磁场能量引起变化过程。t0+时为零输入解，通解仍写为 u