矩阵特征值与特征向量的计算1-3节.ppt

《矩阵特征值与特征向量的计算1-3节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵特征值与特征向量的计算1-3节.ppt（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、计算方法课件：计算方法课件：由何满喜、尚绪凤制作由何满喜、尚绪凤制作中国计量学院理学院数学系中国计量学院理学院数学系第八章第八章矩阵特征值特征向矩阵特征值特征向量的计算量的计算8.1 引言8.4 反幂法8.3 幂法的加速与降价8.2 幂法在本章，你将学到8.1 引言8.2 幂法8.3 幂法的加速与降价8.4 反幂法8.5 计算对称矩阵特征值和特征向量的对分法8.6 雅可比方法8.5 计算对称矩阵特征值和 特征向量的对分法8.6 雅可比方法第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算8.1 8.1 引言引言定定义1 1 设A是n阶实对称矩阵，对于任一非零向量，数称为向量x的瑞

2、利商瑞利商，其中 是向量x的内积。(8.1)(8.2)定理定理1 1 设A是n阶实对称矩阵，其特征值为是对应的正交特征向量,即第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算则 其中是向量x的瑞利商瑞利商.证 设是对应于特征值的正交特征向量，是任一向量,则即第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算和和所以由可得和由此可得由于当向量x分别取和时,就有于是有第八章第八章定理定理3 3称为盖尔圆盘定理盖尔圆盘定理,(8.3)称为盖尔圆盘盖尔圆盘.矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算定理定理3 3 设则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中：(8

3、.3)定理定理2 2 设是矩阵的特征值，则有 第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算解解 先计算盖尔圆盘:即矩即矩阵A的特征值的特征值都都满足足。例例1 1 设有矩阵 试估计矩阵A的特征值的特征值的范围.第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1 1 幂法幂法8.2 8.2 幂法幂法幂法的基本思想是：幂法的基本思想是：若要求某个n阶矩阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始向量，构造如下向量序列：式(8.5)就称为幂法的迭代公式法的迭代公式，向量序列称为幂法的迭代向量迭代向量或迭代序列迭代序列。当k增大时，分析这一序列的极限，即可求出按模最大的特

4、征值和对应的特征向量。第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算例例2 2 设有矩阵试用幂法来计算按模最大的特征值。解解 矩阵A的两个特征值为,用公式(8.5)产生向量,计算结果列于表8.1.计算出向量序列的同时还计算相邻两个向量相应分量之比和(见书表8.1)，由表8.1得：用幂法,取初始向量序列第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算从上面计算出的相应分量之比看出，两个相邻向量1.179339,并且这个值恰好就是矩阵A的按模最大的特征值。相应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定值问题：为什么这个比例值就是矩阵按模最大的特问题：为什么这个比例值就

5、是矩阵按模最大的特征值？征值？第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(8.9)(8.10)设矩阵A的n个特征值按模的大小排列如下其对应的线性无关的特征向量组设为假定这些向量已按其长度为1或其最大模元素为1进行了归一化。(8.6)取 利用迭代公式(8.5)来构造迭代序列，则有第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算其中若由于,故k充分大时是可以忽略的无穷小量，即当(8.12)(1)如果矩阵A的按模最大的特征值满足即按模最大的特征值是单实根,则(8.10)式可写成(8.11)时有第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(8.

6、13)这说明与特征向量相差一个常数因子。即使,由于计算过程的舍入误差,必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程相同。的进展而逐渐成为主导,其收敛情况最终也将与因此当时由(8.13)得(8.14)这说明当矩阵A的n个特征值满足(8.11)时，第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算矩阵A的按模最大的特征值是向量与的比例，即有(8.15)从以上分析看出,幂法的收敛速率虽然与初始向量的选择有关,但主要还是依赖于比值比值愈,收敛愈快,当比值接近于1时,收敛比较慢.的大小.（2）如果矩阵A的按模最大的特征值满足(8.16)第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与

7、特征向量的计算即按模最大的特征值是2重实根或共轭复数根,此时（8.10）式可写成(8.17)其中由于，故k充分大时无穷小量，即当时有是可以忽略的第八章第八章(8.18)(8.19)(8.20)矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算于是可得(8.21)记(8.22)则(8.21)可写成(8.23)所以A的特征值满足(8.16)时，用公式(8.5)来构造 第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算若(8.23)式成立,则此时矩阵A的按模最大的特征值由公式(8.24)得到。又利用(8.18)(8.20)可得第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量

8、的计算(8.25)因此所以A的特征值对应的特征若则对应的特征向量是时矩阵A的特征值向量是同理可得 时A的特征值对应的特征向,若,则所以A的特征值对应的特征向量是(8.26)因此量是第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算例例3 3 用幂法求矩阵按模最大的特征值与对应的特征向量。解：解：用公式(8.5)可写出迭代公式取初始向量得到表8.2的结果。，用以上迭代公式计算第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算表中，即相邻两个向量分量的比例，从表中计算结果可看出，所以有对应的特征向量可取为第

9、八章第八章2 2 改进的幂法改进的幂法矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算在实际计算时为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，“归一化”，即用的分量来除归一化的向量，即实际计算时所用公式为对幂法做这样的“归一化”处理,就称为改改进的的幂法法.（8.27）将向量序列的绝对值最大的各个分量，从而得出第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算如果按模最大的特征值满足(8.11),那么当k充分大时有（8.28）即向量序列的按模最大的分量将收敛于按模的符号可根据向量序列的前后两个向量的分量符号来确定，当前后两个此时归一化后的向量就是对应

10、的特征向量.最大的特征值向量的分量符号相同时的符号取正,否则取负.第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算例例4 4 用归一化的幂法求矩阵按模最大的特征值与对应的特征向量。解解 取初始向量计算得到表8.3的结果.从表中计算结果可看出且向量序列前后两个向量的符号相同,所以有对应的特征向量取为,用以上迭代公式(8.27)第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算第八章第八章1 1 幂法的加速幂法的加速幂法的收敛速度依赖于按模最大特征值和按模次大特征值之比,当这个比值很小时则只需迭代较少的几次就可求出按模最大特征值的一个很好的近似值.矩阵特征值与特征向量

11、的计算矩阵特征值与特征向量的计算8.3 8.3 幂法的加速与降价幂法的加速与降价应该考虑对矩阵进行适当的变换,使得变换后的这个矩阵有一个按模较大的特征值,并且变换后的新矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比要比原矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比更大.这样对变换后的新矩阵利用以上方法求其第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(8.29)先取一个常数对A做平移变换：,即用来代替A进行迭代,因为A与之间除了与有关系且相应的特征向量不改变,因此有按模最大的特征值,则其收敛速度将得到加快.对角元素以外,其他元素都相同,它们之间的特征值为了加速迭代过程的收敛速度,适当选

12、取第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算所以用此方法选取有一定的困难.,再在计算机上作些模拟计算,考察使所取对迭代过程是否有明显加速,然后再进行计算.比更小，如对于对称正定矩阵可以这时就有这就是幂法加速的原点平移法原点平移法.因特征值的分布情况预先不知道,对矩阵的特征值分布大致有个了解后,粗略估计一个常用方法是可以用盖尔圆盘定理使选取第八章第八章2 2 幂法的降阶幂法的降阶矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算基本思想：对原矩阵A进行变换，使变换后得到的矩阵其按模最大的特征值是原矩阵A的按模次大按模次大的特征值，这时对又可以用幂法进行计算，大的特征值求得

13、其按模最大的特征值，从而求得A的按模次如果矩如果矩阵A的特征值满足的特征值满足(8.30)(8.30)那么在已那么在已经求出求出和和以后，如何以后，如何进一步一步计算算 第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算根据根据对称矩称矩阵的性的性质有有,所以所以以以代替代替进行迭代即可求得行迭代即可求得和和这就是就是幂法的降法的降阶法。法。(8.32)(8.32)假定已求得矩假定已求得矩阵A的按模最大特征值的按模最大特征值和相和相应的的,现构造构造（8.318.31）特征向量特征向量，并令，并令及及呢？呢？第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算注意注意：用：用这种方法求出的种方法求出的和和，精度已，精度已较和和差，若在差，若在继续使用此方法，后面求得的使用此方法，后面求得的和和精度将更差。精度将更差。因此，因此，实际上只能用少数几次，用来求矩上只能用少数几次，用来求矩阵前几前几个特征个特征值和特征向量。和特征向量。