离散型随机变量、连续型随机变量.ppt

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1、 一维随机变量一维随机变量定义定义设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间 的每一个样本点的每一个样本点 均有唯一的实数均有唯一的实数与之对应，称与之对应，称 为为 上的上的一维随机变量一维随机变量。如：掷骰子一颗，观察其点数。如：掷骰子一颗，观察其点数。样本点样本点表示表示“点数为点数为 ”令令 与之对应，则与之对应，则是一维随机变量。是一维随机变量。又如：观察一电子元件的寿命。又如：观察一电子元件的寿命。样本点样本点 表示表示“寿命为寿命为 小时小时”令令 与之对应，则与之对应，则也是一维随机变量。也是一维随机变量。一维随机变量一维随机变量引入随机变量之后，事件可用引入随机变量之后，事件可

2、用“随机变量属于某个数集随机变量属于某个数集”去表示。去表示。如：掷骰子一颗，观察其点数。如：掷骰子一颗，观察其点数。表示表示“点数为点数为 2，3，4。”又如：观察一电子元件的寿命。又如：观察一电子元件的寿命。表示表示“元件寿命不大于元件寿命不大于 1500 小时小时”表示表示“元件寿命在元件寿命在 100 小时以上但不超出小时以上但不超出 1500 小时小时”随机变量的分布随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。反映了随机事件出现的可能性的大小。对任意的数集对任意的数集反映了随机变量的取值规律。反映了随机变量的取值规律。称为称为 随机变量的分布。随机变量的分布。一维随机变量的分布函

3、数一维随机变量的分布函数欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。一般来讲，要对任意的数集一般来讲，要对任意的数集 都求出都求出 是不实际的。是不实际的。称为称为 随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。考察特殊的数集考察特殊的数集记作记作随机变量的分布函数随机变量的分布函数有以下重要性质：有以下重要性质：（单调非降）（单调非降）记为记为记为记为是左连续的是左连续的随机变量的分布函数随机变量的分布函数有以下重要性质：有以下重要性质：例例1：设在一个箱中有：设在一个箱中有10件产品，其中件产品，其中2件次品，件次品，8件正件正品。

4、现随机取三件，写出品。现随机取三件，写出“抽出次品数抽出次品数”的分布列与分的分布列与分布函数。布函数。一维一维离散型随机变量离散型随机变量的分布的分布 若离散型随机变量若离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为ai，而，而X取值取值ai的概的概率为率为pi，即，即如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之为为离散型随机变量离散型随机变量。称为随机变量称为随机变量 的的分布密度分布密度或或分布律分布律或或概率分布概率分布或或概率函数。概率函数。一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：或：或：几

5、种常见的一维离散型随机变量的分布律几种常见的一维离散型随机变量的分布律n二点分布二点分布 (0-1分布分布)定义：定义：定义：定义：若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为:1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布背景背景：样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况,都可都可以用两点分布来以用两点分布来 计算。计算。如：抛硬币一次。如：抛硬币一次。设在一次试验中事件出现的概率为设在一次试验中事件出现的概率为X 表示在表示在 次贝努里试验中出现的次数，次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：的分布律为：此分布称为此分布

6、称为二项分布。二项分布。记作记作n二项分布二项分布例例2 2 从一批由从一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品组成的产品中件次品组成的产品中,有放回有放回地抽取地抽取5 5次次,每次抽一件每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率求恰好抽到两次次品的概率.解：有放回地抽取解：有放回地抽取5 5件件,可视为可视为5 5重重BernoulliBernoulli实验实验记记X X为共抽到的次品数，则为共抽到的次品数，则A=“A=“一次实验中抽到次品一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12P(A)=3/12n=5 n=5，p p=1/4=1/4一级品数一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰

7、有的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例例3 一大批零件的一级品率是一大批零件的一级品率是 。从中任取。从中任取 4 个，求取出的个，求取出的解：由于零件数目很多，故可将取解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作个零件视作 4 次贝努里试验。次贝努里试验。即即一个一级品的概率。一个一级品的概率。故故所求概率为所求概率为若随机变量若随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：则称则称 X 服从服从泊松分布，泊松分布，记作记作泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。其中参数其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即

8、事件出现的正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的平均数）。所以它的一个重要应用是平均数）。所以它的一个重要应用是则近似地，有则近似地，有若若且且 较大较大,（），），较小较小,（）即：即：，其中：，其中：例例4 一台仪器平均在一台仪器平均在1000个工作小时内发生一次故障，个工作小时内发生一次故障，试求该仪器工作试求该仪器工作100个小时而无故障的概率。个小时而无故障的概率。解：设解：设 A 表示表示“仪器在一小时内出故障仪器在一小时内出故障”，则，则令令 X 表示表示“100 个小时内个小时内 A 出现的次数出现的次数”，则，则近似近似所求概率为：所求概率为：由此可假设仪器在一小时内不

9、会出两次及以上故障。由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故障。例例5 5 某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街,出事故率为出事故率为0.020.02，独立重复上街，独立重复上街400400次，次，求出事故至少两次的概率。求出事故至少两次的概率。解：解：解：解：400400400400次上街次上街次上街次上街400400400400重重重重BernouliiBernouliiBernouliiBernoulii实验实验实验实验记记记记X X X X为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则=1-=1-=1-=1-e e e e-8-8-8-8-8e-8e-8e-8e

10、-8-8-8-8 0.99720.99720.99720.9972 P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)n 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！会发生的！=1-0.98=1-0.98=1-0.98=1-0.98 400 400 400 400-400-400-400-400（0.02)(0.980.02)(0.980.02)(0.980.02)(0.98 399 399 399 399)0.99700.99700

11、.99700.9970 泊松定理泊松定理解：由解：由故故 X 的分布律是：的分布律是：当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，例例6 设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，求的分布律如下，求 及及 X 的分布函数。的分布函数。.综上所述，综上所述，一维连续型随机变量一维连续型随机变量若随机变量的所有取值不是有限或可数的，则无法将若随机变量的所有取值不是有限或可数的，则无法将它的每一取值相应的概率罗列出来，那么如何描述它的分布呢？它的每一取值相应的概率罗列出来，那么如何描述它的分布呢？我们来考察一种重要且常见的随机变量我们来考察一种重要且常见的随机变量连续型随机变量连续型随机变

12、量 连续型随机变量的一个特点是可用区间连续型随机变量的一个特点是可用区间 上的上的曲边梯曲边梯形的面积表示随机变量落在形的面积表示随机变量落在 上的概率。即：上的概率。即：（其中（其中 I 是某一区间。）是某一区间。）一维连续型随机变量一维连续型随机变量定义定义若存在一非负函数若存在一非负函数 ，使随机变量，使随机变量 的分布函数的分布函数则称则称 为为连续型随机变量，连续型随机变量，称为称为 的的（概率）密度函数（概率）密度函数或或分布密度。分布密度。一维连续型随机变量的分布函数及密度函数的性质：一维连续型随机变量的分布函数及密度函数的性质：设连续型随机变量设连续型随机变量 的分布函数为的分

13、布函数为 密度函数为密度函数为X X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分当当 是是 的连续点时，有的连续点时，有是连续函数。是连续函数。当当x1时时01 2 3 4 5f(x)xx当当1 x 5 时时例例7 7：已知密度函数求分布函数：已知密度函数求分布函数已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求 X X 的分布函数的分布函数当当x 5时时所以所以0 1 51n Step1:利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a例例8 8：已知密度函数求概率：已知密度函数求概率n Step2:密度函数在区间的积分得到此区间

14、的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率例例9 9：已知分布函数求密度函数：已知分布函数求密度函数（2)X2)X 的密度函数的密度函数（2 2）密度函数为）密度函数为均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间（a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U(a,b)Uniform Distributionn定义定义n分布函数分布函数 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的中任意等长度的子区间内的

15、可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。子区间的长度而与子区间的位置无关。0 a bx（）c d n意义意义例例10 10210 102电车每电车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，在任一时刻 某一乘某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过客到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。解：设随机变量解：设随机变量X X为候车时间，为候车时间，X X 服从（服从（0 0，5 5）上的均匀分布）上的均匀分布X XU U（0 0，5 5）指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X X服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。记为记为 X XE(E()。Exponential Distributionn定义定义n分布函数分布函数例例11 11 设设X X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的概率密度的指数分布，求它的概率密度及及和和解解X X的概率密度的概率密度