电气工程及自动化第七章.ppt

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1、第七章第七章 一阶电路和二阶电路的一阶电路和二阶电路的时域分析时域分析2.2.一阶电路及二阶电路的零输入响应、零状一阶电路及二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；态响应和全响应求解；l 重点重点 4.4.阶跃响应和冲激响应的概念阶跃响应和冲激响应的概念;3.3.稳态分量、暂态分量求解；稳态分量、暂态分量求解；1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；5.5.状态方程。状态方程。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点：特点：1.动态电路动态电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其

2、初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路），电路当动态电路状态发生改变时（换路），电路需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。这个变化过程称为电路的过渡过程。例例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i=0 ,uC=0i=0 ,uC=UsK+uCUsRCi(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi(t)前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡

3、状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期有一过渡期电容电路电容电路K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i=0 ,uC=0i=0 ,uC=UsK动作动作后很长时间，电容放电完毕，后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态电路达到新的稳定状态前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态第二个稳定状态第二个稳定状态t1USuct0i有一过渡期有一过渡期第三个稳定状态第三个稳定状态+uCUsRCi(t 0)2.动态电路的方程动态电路的方程上式两边对上式两边对t 求导：求导：+uLus（t）RLi(t 0)有源有源电阻电阻电路电路一个一个动态动态元件元件一阶一阶电

4、路电路应用应用KVL和电感的和电感的VCR得：得：若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：+uLuS（t）RLi(t 0)CuC二阶电路二阶电路若以电流为变量：若以电流为变量：一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。（1 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：结论：（2 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件,描述电描述电路的方程是二阶线

5、性微分方程。路的方程是二阶线性微分方程。高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法动态电路的分析方法（1）根据根据KVL、KCL和元件的和元件的VCR建立微分方程建立微分方程复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法 （2 2）求解微分方程）求解微分方程经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。(1)t=0与与t=0

6、的概念的概念认为换路在认为换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3 3.电电路路的的初初始始条条件件电路的初始条件是指电路的初始条件是指 t=0时时u，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值000tf(t)t=0+时刻时刻当当i()为有限值时为有限值时iucC+-q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)(2)电容的初始条件电容的初始条件0q=C uC电荷电荷守恒守恒结结论论当当u为有限值时为有限值时

7、 L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)iuL+-L(3)(3)电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0磁链磁链守恒守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论 L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qC(0+)=qC(0)uC(0+)=uC(0)4.4.换路定律换路定律（1 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换

8、路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2 2）换路定律反映了能量不能跃变。）换路定律反映了能量不能跃变。5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路(1)由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0

9、+)+-10ViiC+uC-k10k40k电电容容开开路路电容用电容用电电压源压源替代替代求初始值的步骤求初始值的步骤:1.1.由由0-电路电路换路前电路（一般为稳定状态，直流稳态电路换路前电路（一般为稳定状态，直流稳态电路中中L相当于短路，相当于短路，C相当于开路）求出相当于开路）求出uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+等效等效电路求所需各变量的电路求所需各变量的初始初始值。值。b.b.电容用电压源替代，电容用电压源替代，电感用电流源替代电感用电流源替代。（取。（取0 0+时刻值，时刻

10、值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。a.a.换路换路（开关已动作）（开关已动作）后的电路后的电路c.c.独立源取独立源取t=0=0+时刻值。时刻值。iL(0+)=iL(0)=2A例例 2t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)iL+uL-L10VK1 4+uL-10V1 4 0+电路电路2A先求先求由换路定律由换路定律:电感用电感用电电流源流源替代替代10V1 4 解解电电感感短短路路iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=-RIS求求 iC(0+),uL(0+)例例3K(t=0)+uLiLC+

11、uCLRISiC解解0+电路电路uL+iCRISR IS+0电路电路RIS由由0 0电路得：电路得：由由0 0电路得：电路得：例例4iL+uL-LK2+-48V3 2 C求求K闭合瞬间各支路电流和电感电压。闭合瞬间各支路电流和电感电压。解解由由0 0电路得：电路得：12A24V+-48V3 2+-iiC+-uL由由0 0+电路得：电路得：iL2+-48V3 2+uC例例5求求K闭合瞬间流过它的电流值及闭合瞬间流过它的电流值及 。iL+200V-LK100+uC100 100 C解解（1 1）确定）确定0 0值值（2 2）给出）给出0 0等效电路等效电路1A+200V-100+100V100 1

12、00+uLiC7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。始储能所产生的电压和电流。1.1.RC电路的零输入响电路的零输入响应应已知已知 uC(0)=U0特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0则则 uR=Ri零输入响应零输入响应iK(t=0)+uRC+uCR代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。答的必需条件。tU0uC0I0ti0令令 =RC ,称称 为一阶电路的时间常数

13、为一阶电路的时间常数 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（C一定）一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大

14、（R一定）一定）W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义工程上认为工程上认为,经过经过 3 5,过渡过程结束。过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。t2t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于U0tuc0 t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 次切距的长度次切距的长度（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uC(0+)=U

15、0电容放出能量：电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+C例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC电路电路零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：i2K3+uC2 6 5Fi3i1+uC4 5Fi1t 0等效电路等效电路分流得：分流得：2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)US

16、L+uLRR1t 0iL+uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；令令 =L/R ,称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数L大大 W=Li2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含

17、义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =L/R电流初值电流初值i(0)一定：一定：（3 3）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+uLRiL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时,打开开关打开开关K，求，求uv。现象现象：电压表坏了：电压表坏了电压表量程：电压表量程：50V解解iLLR10ViLK(t=0)+uVL=4H

18、R=10 VRV10k 10V例例2t=0时时,开关开关K由由12，求电感电压和电流及开关两求电感电压和电流及开关两端电压端电压u12。解解iLK(t=0)+24V6H3 4 4 6+uL2 12t 0iL+uLR小结小结4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比。一阶电路的零输入响应和初始值成正比。1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的2.2.响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R R为与动态

19、元件相连的一端口电路的等效电阻或输入电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻或输入电阻。3.3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路电路ISRaRbC例例1 求求 的简便方法：的简便方法：uSLR2R1例例2 R等等LCR等等（1）独立电源置零。独立电源置零。（2）从从L或或 C两端求入端等效电阻，则两端求入端等效电阻，则 动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电路中电路中外外加输入激励（电源）作用所产生的响应。加输入激励（电源）作用所产生的响应。列方程：列方程：iK

20、(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=07.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 一阶非齐次线性常微分方程一阶非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应齐次方程通解齐次方程通解非齐非齐次方次方程特程特解解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由初始条件由初始条件 uC(0+)=0 确定积分常数确定积分常数 A的通解的通解通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量

21、）特解（强制分量，稳态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解的特解-USuCuC“USti0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+（2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，充电大，充电 慢，慢，小充电就快。小充电就快。（3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（4 4）能

22、量关系）能量关系电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电容中。例例t=0时时,开关开关K闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求（求（1 1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2 2）uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解500 10 F+-100VK+uCi(1)这是一个这是一个RC电路零状电路零状态响应问题，有：态响应问题，有：（2 2）设经过）设经过t1秒，秒，uC80V2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应iLK(t

23、=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：tuLUStiL00例例t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的端电压及电流源的端电压。解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：iLK+uL2H10 2A10 5+ut 0iL+uL2HUSReq+7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCR解答为解答为 uC(t)=uC+uC

24、uC(0)=U0以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：=RC1.1.全响应全响应全响应全响应稳态解（特解）稳态解（特解）uC =US暂态解（通解）暂态解（通解）uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由初始值确定由初始值确定A2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态iK(t=0)US+uRC+uCRu

25、C(0)=U0iK(t=0)US+uRC+uCR=uC(0)=0+uC(0)=U0C+uCiK(t=0)+uRR全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应(2)(2)着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0例例1t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t 00后的后的iL、uL。解解这是一个这是一个RL电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状

26、态响应：全响应：全响应：或求出稳态分量：或求出稳态分量：全响应：全响应：代入初始值有：代入初始值有：62AA=4例例2t=0时时,开关开关K闭合，求闭合，求t 00后的后的iC、uC及电流源两端及电流源两端的电压。的电压。解解这是一个这是一个RC电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：+10V1A1+uC1+u1 稳态分量：稳态分量：全响应：全响应：A=10+24V1A1+uC1+u1 3.3.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令令 t=0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题

27、分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用用0+等效电路求解等效电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解直流激励时：直流激励时：1A2 例例11 3F+-uC已知：已知：t=0时合上开关，求换路后的时合上开关，求换路后的uC(t)。解解tuc2(V)0.6670例例2t=0时时,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：iL+20V0.5H5 5+10Vi2i1应用三要素公式应用三要素公式也可用三要素法直接求也可用三要素法直接求i1，i2+20V2A5 5+10Vi2i10等效电路等效电路例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，

28、求换路后的uC(t)。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为：4+4 i12i1u+例例4已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t)。解解三要素为：三要素为：+1H0.25F5 2 S10Vi例例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能，已知：电感无初始储能，t=0 时合时合k1,t=0.2s时合时合k2，求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s解解(0 t 0.2s)(t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262例例6 脉冲序列分析脉冲序列分析1.1.

29、RC电路在单个脉冲作用的响应电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0tTuc(t)uR(t)t0t0(a)T,uc为输出为输出t0输出近似为输入的积分输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT填充题：在下列各题中，请将题目所要填充题：在下列各题中，请将题目所要求的解答填入题干中的各横线上方内。求的解答填入题干中的各横线上方内。l 和和 的并联电路与电流源的并联电路与电流源 接接通。若已知当通。若已知当 ，电容初始电压，电容初始电压为为1V时，时，为为 ，则当激励，则当激励 增大一倍（即增大一倍（即 ），而初始电压保持），而初始电压保持原值，原值，时时 应为应为 V。l

30、解：当解：当 时，时，l当当 时，时，三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路用用0+等效电路求解等效电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解直流激励时：直流激励时：稳态响应分量：稳态响应分量：暂态响应分量：暂态响应分量：零输入响应分量：零输入响应分量：零状态响应分量：零状态响应分量：图示电路在换路前已达稳态图示电路在换路前已达稳态,则则 时时 的的 稳态响应分量为稳态响应分量为_，暂态响应分量为暂态响应分量为_，零输入响应分量为零输入响应分量为_，零状态响应分量为零状态响应分量为_，全响应为全响应为_。例：下例：下图图所示含受控源所示含受控源电电路的路的时间时间常数常数为为 。解：解：求输入电阻求输入电阻 ，US短路，短路，图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo ,求开求开关闭合后电容电压随时间的变化。关闭合后电容电压随时间的变化。例例R+CiuC(t=0)解解特征根方程：特征根方程：得通解：得通解：代入初始条件得：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。定解答的必需条件。作业：作业：7-1，7-2，7-3作业：作业：7-18,7-19,7-20