第二章-基本数学方法-微电子器件及工艺CAD(半导体器件模拟)课件.ppt

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1、微电子器件及工艺CAD1国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD1第二章第二章 基本数学方法基本数学方法微电子器件及工艺CAD2国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD22-1 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD3国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD3微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法2.1.1 微分方程数值解的引入微分方程数值解的引入 由上一章可知，描述半导体器件的基本方程基本上是一由上一章可知，描述半导体器件的基本方程基本上是一些微分方程。对于某些十分特殊的微分方程，它的解可以用些微分方程。对于某些十分特殊的微分方

2、程，它的解可以用封闭形式给出，即以初等函数，诸如多项式、指数函数、对封闭形式给出，即以初等函数，诸如多项式、指数函数、对数函数以及这些函数的不定积分的有限组合给出，这种解是数函数以及这些函数的不定积分的有限组合给出，这种解是微分方程的解的微分方程的解的解析解析表达式。但是，许多其它的微分方程，表达式。但是，许多其它的微分方程，并不能按照这种方式来求解，即它们的解不能以初等函数来并不能按照这种方式来求解，即它们的解不能以初等函数来表示。也就是说，要找出这类方程的解的解析表达式是极其表示。也就是说，要找出这类方程的解的解析表达式是极其困难的，甚至是不可能的。在工程技术中，通常采用近似解困难的，甚至

3、是不可能的。在工程技术中，通常采用近似解的方法来解决这一问题。的方法来解决这一问题。数值解法数值解法就是能够算出解在若干个就是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法，换句话说，数值解法就是求离散点上近似结果的通用方法，换句话说，数值解法就是求出微分方程所定义区域上某些离散点上函数的近似值。如果出微分方程所定义区域上某些离散点上函数的近似值。如果区域上的点取得足够密，就能很好地近似元微分方程的解。区域上的点取得足够密，就能很好地近似元微分方程的解。微电子器件及工艺CAD4国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD4 微分方程的数值解法有许多种，有限差分法是微分微分方程的数值解法有许

4、多种，有限差分法是微分方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普遍的离散数值分析法遍的离散数值分析法-有限元法。有限元法。2.1.1 微分方程数值解的引入微分方程数值解的引入微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD5国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD5微电子器件及工艺CAD6国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD61、一阶导数的向前有限差分近似一阶导数的向前有限差分近似 由上式得由上式得其中其

5、中E(h)为截断误差为截断误差 01微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD7国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD72、一阶导数的向后有限差分近似一阶导数的向后有限差分近似微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD8国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD83、一阶导数的中心有限差分近似一阶导数的中心有限差分近似微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD9国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD9微电子器件及工艺CAD10国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD10微分方程的有

6、限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD11国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD112.1.2.2 微分方程的有限差分法求解微分方程的有限差分法求解 有限差分法是近似求解微分方程边值问题最常用的方有限差分法是近似求解微分方程边值问题最常用的方法。所谓微分方程边值问题就是求在给定区域上满足给定法。所谓微分方程边值问题就是求在给定区域上满足给定边界条件的微分方程的解。描述半导体器件的基本方程，边界条件的微分方程的解。描述半导体器件的基本方程，就可归结为微分方程的边值问题就可归结为微分方程的边值问题。微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD12国

7、际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD12微电子器件及工艺CAD13国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD13举例：二阶常微分方程举例：二阶常微分方程式中式中A，B为常数，为常数，d1，d2为已知数为已知数。首先把区间首先把区间 等分为等分为n段，共有段，共有n+1个离散点个离散点xl(l=0,1,2n)。第一边界条件第一边界条件微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法 每个离散点称为网格点，相邻网各点的距每个离散点称为网格点，相邻网各点的距离离 称为网格距。称为网格距。l=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1x0=0 xn=L微电子器件及工艺C

8、AD14国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD14微电子器件及工艺CAD15国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD15在在n-1个内网格点上，有差分方程个内网格点上，有差分方程微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法211)(2BAyxyyyllll=+D+-+l=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1xn=0 xn=L微电子器件及工艺CAD16国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD16代入边界条件代入边界条件210,dydyn=在在n-1个内网格点上，有差分方程个内网格点上，有差分方程微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电

9、子器件及工艺CAD17国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD17微电子器件及工艺CAD18国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD18如果边界条件为如果边界条件为21)(dxyyLynn=D D-=-后有限差分近似边界条件，可以得到第后有限差分近似边界条件，可以得到第n n个方程。个方程。第二边界条件第二边界条件 则则n-1个内网格点上的差分方程中，个内网格点上的差分方程中，yn为未知数为未知数因此，有因此，有y1到到yn n个未知数，而有个未知数，而有n-1个方程。个方程。2)2122122321222123212012)()(21()(22)()(22)()(21xB

10、yxAyyynlxByxAyyynlxByxAyyylxByxAyyylnnnnnnnnD D=D D+-=D D=D D+-=D D=D D+-=D D=D D+-=-LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD19国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD192112)(dxyyLynn=D D-=-+中心有限差分近似边界中心有限差分近似边界 我们知道，一阶导数的向后有限差分的误差是和我们知道，一阶导数的向后有限差分的误差是和 成正比，而一阶导数的中心有限差分的误差是和成正比，而一阶导数的中心有限差分的误差是和 成正

11、成正比的。如果在比的。如果在x=L处用中心有限差分近似一阶导数边界条处用中心有限差分近似一阶导数边界条件，则可以提高解的精度，减少误差。件，则可以提高解的精度，减少误差。xD D2xD D 为了能在为了能在x=x 处用中心有限差分近似，需要引进一个处用中心有限差分近似，需要引进一个虚拟网格点虚拟网格点x =x +，其对应的函数值其对应的函数值y ,引入网格点引入网格点x 后，内网格点就有后，内网格点就有n个了，可以得到个了，可以得到n个方程，同时用中心个方程，同时用中心有限差分近似有限差分近似x=L处的导数边界条件，可以得到第处的导数边界条件，可以得到第n+1个个方程，共有方程，共有y1到到y

12、n+1 n+1个未知数。个未知数。nn+1nxD Dn+1n+1l=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD20国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD201)1(,0)0(=yy1.1.第一边界条件第一边界条件用二阶导数有限差分近似用二阶导数有限差分近似332,1022=-xxydxyd处的值处的值求求举例：用有限差分法求解二阶常微分方程举例：用有限差分法求解二阶常微分方程微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD21国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD210)

13、(220)(212212312012yxyyylyxyyyl=D D-+-=D D-+-=)(4255.0)(xxeexy-=解析解解析解6107.0,2893.021yy=解得解得191209121212yyyy=-=-代入边界条件代入边界条件y(0)=0 y(1)=1微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD22国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD228563.05229.0,2477.0321=yyy解得解得31123=-yy界条件界条件后有限差分近似导数边后有限差分近似导数边0912091212312=-=-yyyyy代入边界条件代入边界条件1)1

14、(,0)0(=yy2.2.第二边界条件第二边界条件0)(220)(212212312012=D D-+-=D D-+-=yxyyylyxyyyl微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD23国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD23微电子器件及工艺CAD24国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD24 第二边界条件下，向后差分和中心差分于精确解第二边界条件下，向后差分和中心差分于精确解的比较。的比较。微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD25国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD252-2 非线性微分方程组的

15、求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工艺CAD26国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD26非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解 本节介绍一种非线性方程组的求解方法本节介绍一种非线性方程组的求解方法-Newton迭代法，下一节将介绍线性方程组的求解方法。迭代法，下一节将介绍线性方程组的求解方法。非线性方程组的求解非线性方程组的求解微电子器件及工艺CAD27国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD27微电子器件及工艺CAD28国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD28迭代迭代直到直到则则其中其中非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工

16、艺CAD29国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD29举例举例=+-=-+-0 xx0 x81x4x01e101xx4102012121x21）（）（初值初值非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解解解微电子器件及工艺CAD30国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD30微电子器件及工艺CAD31国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD31 牛顿迭代法对初值的要求严格，如果初值与准牛顿迭代法对初值的要求严格，如果初值与准确解相差较大，则牛顿迭代法发散，这是牛顿迭代确解相差较大，则牛顿迭代法发散，这是牛顿迭代法的不足。法的不足。非线性微分方程组的求解非线性微分

17、方程组的求解微电子器件及工艺CAD32国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD322-3 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD33国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD33线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组线性代数方程组求解算法求解算法:直接法直接法迭代法迭代法高斯消去法高斯消去法LULU分解法分解法微电子器件及工艺CAD34国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD341.高斯消去法高斯消去法 线性代数方程组线性代数方程组 A X=B 其中其中2121),(),(TnTnbbb

18、BxxxXLL=为了方便讨论，我们将其写成如下形式为了方便讨论，我们将其写成如下形式2222111211nnaaaaaaaaaALMMMMLL=n1n2nn线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD35国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD351.高斯消去法高斯消去法 线性代数方程组线性代数方程组 A X=B 设设 第一次消元：由第第一次消元：由第 个方程减去第个方程减去第1个方程乘以个方程乘以 ,则将上面方程组中的第则将上面方程组中的第其中记其中记线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD36国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CA

19、D361.高斯消去法高斯消去法个方程中的第一个未知数个方程中的第一个未知数 消去，得到如下方程组消去，得到如下方程组其中其中设设 由第由第 个方程减去上面方程组中的第个方程减去上面方程组中的第2个方程乘以个方程乘以 ，则将其中的，则将其中的 个方程个方程 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD37国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD371.高斯消去法高斯消去法中第中第2个未知数个未知数 消去，得到如下方程组消去，得到如下方程组 其中其中继续这个过程，经过继续这个过程，经过n-1次消元后，方程变为次消元后，方程变为线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电

20、子器件及工艺CAD38国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD381.高斯消去法高斯消去法其中其中线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD39国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD391.高斯消去法高斯消去法于是可以从第于是可以从第n个方程开始逐次向上解方程。个方程开始逐次向上解方程。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD40国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD401.高斯消去法高斯消去法 以上的计算是假设以上的计算是假设 ，事实上，即使，事实上，即使 ，但如果但如果 的值很小，消去过程也无法进行，的值很小，消去

21、过程也无法进行，需要进行列选主元素，这里只解释为什么需要进行列选主元素，这里只解释为什么 的值很小的值很小时不可以。时不可以。经过第一次消元，第经过第一次消元，第2个方程减去第个方程减去第1个方程乘以个方程乘以 得得 假设计算机可以保留假设计算机可以保留10位有效数字，用消元法解下面位有效数字，用消元法解下面的方程组。的方程组。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD41国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD411.高斯消去法高斯消去法其中其中 解得解得而真解为而真解为线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD42国际微电子中心国际微电子中

22、心微电子器件及工艺CAD421.高斯消去法高斯消去法交换方程组的第交换方程组的第1行和第行和第2行，得行，得再用消去法，可得真解。再用消去法，可得真解。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD43国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD432.2.LULU分解法分解法 线性代数方程组线性代数方程组A X=B A分解为上三角阵分解为上三角阵U和下三角阵和下三角阵L，即即A=LU。则则AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD44国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD442.2.LULU分解法分

23、解法下面介绍下面介绍L，U的求法。的求法。首先，用首先，用L阵的第阵的第1行分别乘行分别乘U阵的各列，算出阵的各列，算出U阵的第阵的第1行各元素。行各元素。然后，用然后，用L阵的各行分别去乘阵的各行分别去乘U阵的第阵的第1列，算出列，算出L阵的阵的第第1列列线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD45国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD452.2.LULU分解法分解法 再用再用L阵的第阵的第2行分别乘行分别乘U阵的各列，算出阵的各列，算出U阵的第阵的第2行个行个元素，用元素，用L阵的各行分别去乘阵的各行分别去乘U阵的第阵的第2列，算出列，算出L阵的第阵的第2

24、列。列。用用L阵的第阵的第r行分别乘行分别乘U阵的阵的j列列 ，得，得 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解按照此方法一直算下去，现在假设已经算出按照此方法一直算下去，现在假设已经算出U阵的前阵的前r-1行元素，行元素，L阵的阵的r-1列元素，下面来算列元素，下面来算U阵的第阵的第r行行元素，元素，L阵的第阵的第r列元素。列元素。微电子器件及工艺CAD46国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD462.2.LULU分解法分解法 所以，得所以，得U阵的第阵的第r行元素行元素 再用再用L阵的第阵的第i行行 分别乘分别乘U阵的第阵的第r列，列，得得 ，所以，得所以，得L阵的第阵的第r列

25、元素列元素线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD47国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD472.2.LULU分解法分解法由于由于AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB AxB，等价为等价为 UXY LYB 逐次用向后代入过程先解逐次用向后代入过程先解LYB得得线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD48国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD482.2.LULU分解法分解法由于由于AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB AxB，等价为等价为 UXY LYB 然后再用逐次向前回带过程解然后再用逐次向前回带过程解UX=Y得得

26、线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD49国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD49 3.3.迭代法迭代法 直接法一般工作量较大，本节介绍迭代法，将直接法一般工作量较大，本节介绍迭代法，将AX=BAX=B系系数矩阵数矩阵A A分为严格的上三角矩阵分为严格的上三角矩阵U U和下三角矩阵和下三角矩阵L L，及对角矩及对角矩阵阵D D，即即 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD50国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD50 则线性方程组则线性方程组AX=BAX=B可以改写为可以改写为 (D+L+U)X=BD+L+U)X=B 即

27、即 DX=-(L+U)X+BDX=-(L+U)X+B于是可得迭代公式于是可得迭代公式 3.3.迭代法迭代法写成分量形式如下写成分量形式如下Jacobi迭代公式迭代公式线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD51国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD51 为了更好地理解为了更好地理解Jacobi迭代公式的得来，我们从另外一迭代公式的得来，我们从另外一个角度进行推导。个角度进行推导。3.3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解改写为改写为(2.3.1)(2.3.2)微电子器件及工艺CAD52国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD52 给

28、出给出x1,x2,x3的初值，并记做的初值，并记做 于是可由方程求于是可由方程求得得x1,x2,x3的第一次迭代值的第一次迭代值 。3.3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解 用所得的用所得的 代替上述迭代方程中的代替上述迭代方程中的 可可求得求得 。如此进行下去可得第。如此进行下去可得第k k次迭代值次迭代值微电子器件及工艺CAD53国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD53 3.3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解 对于对于n n阶线性方程组阶线性方程组微电子器件及工艺CAD54国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD54 3.3

29、.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解 则第则第k k次的迭代结果为次的迭代结果为微电子器件及工艺CAD55国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD55 容易看出，在容易看出，在Jacobi迭代法中，每次迭代用的是前一迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量次迭代的全部分量 。实际上，如果。实际上，如果Jacobi迭代式收敛的，最新算出的分量一般都比前一次的分量迭代式收敛的，最新算出的分量一般都比前一次的分量更接近精确解，因此，若在求更接近精确解，因此，若在求 时，利用刚刚计算出的时，利用刚刚计算出的新分量新分量 ，对，对Jacobi迭代加以修改，可以迭代加以修改

30、，可以加快计算速度。修改后的迭代公式为加快计算速度。修改后的迭代公式为 3.3.迭代法迭代法 写成矩阵形式写成矩阵形式Gauss-Seidel迭代迭代线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD56国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD564.追赶法 如果线性方程组的系数是三对角线的，则高斯消如果线性方程组的系数是三对角线的，则高斯消去法可以简化。去法可以简化。讨论线性方程组讨论线性方程组线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD57国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD57第二个方程减去第二个方程减去a2/b1乘第一个方程，消去第

31、二个乘第一个方程，消去第二个方程中的方程中的x1，经过经过i-1后，方程变为后，方程变为线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD58国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD58方程的最后形式为方程的最后形式为线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD59国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD59线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD60国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD60作业 1.说明Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的区别。2.设矩阵A=LU，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，求L，U。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解