第5章-水头损失-《高校给水排水工程专业指导委员会规划堆荐教材--水力学》教学课件.ppt

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1、 第第 5 章章 水头损失（水头损失（Head Loss)5.1 水头损失的分类水头损失的分类 （1）分类）分类 根据流动边界的变化，分为两类。根据流动边界的变化，分为两类。沿程阻力沿程阻力沿流动边界无变化的均匀流段产生的流动阻力。沿流动边界无变化的均匀流段产生的流动阻力。沿程水头损失（沿程水头损失（friction loss）沿程阻力引起的机械能损沿程阻力引起的机械能损失，表示为失，表示为 hf。表示为表示为 hm。（2）计算）计算 沿程水头损失沿程水头损失上式称达西（上式称达西（Darcy）公式，式中）公式，式中为沿程阻力系数。为沿程阻力系数。局部水头损失局部水头损失 5.2 雷诺实验与流

2、态雷诺实验与流态 一般地，对整个管道系统有一般地，对整个管道系统有 1883年，英国物理学家雷诺（年，英国物理学家雷诺（Reynolds）通过实验发现）通过实验发现式中式中为局部阻力系数。为局部阻力系数。了实际流体流动的两种流动形态：不同流态下，水头损失与了实际流体流动的两种流动形态：不同流态下，水头损失与流速的关系不同。流速的关系不同。1919世纪初，人们发现了沿程水头损失与流速有一定的关世纪初，人们发现了沿程水头损失与流速有一定的关系。达西公式正是这一关系的表达式。系。达西公式正是这一关系的表达式。经过长期的工程实践，人们发现沿程水头损失与流速的经过长期的工程实践，人们发现沿程水头损失与流

3、速的关系并非恒定：流速很小时，水头损失与流速的一次方成正关系并非恒定：流速很小时，水头损失与流速的一次方成正比；流速大时，水头损失则与其二次方或近似二次方成正比。比；流速大时，水头损失则与其二次方或近似二次方成正比。5.2.1 雷诺实验雷诺实验通过实验观察到：通过实验观察到：流速很小时，颜色水成一条直线，说明流体质点间互不掺流速很小时，颜色水成一条直线，说明流体质点间互不掺混，流体内部呈现一种层状运动，称层流（混，流体内部呈现一种层状运动，称层流（laminar flow）。）。当流速很大时，颜色水不再是线，而是以较淡的颜色充满流动当流速很大时，颜色水不再是线，而是以较淡的颜色充满流动空间，说

4、明颜色水与周围水相互掺混，流体质点的运动极不规空间，说明颜色水与周围水相互掺混，流体质点的运动极不规则，呈现一种杂乱无章的状态，称紊流（则，呈现一种杂乱无章的状态，称紊流（turbulent flow）。）。雷诺实验中，随着流速的增加，经过临界流速雷诺实验中，随着流速的增加，经过临界流速vc（上临界（上临界流速），流态由层流变成紊流；反之，随着流速的减小，经过流速），流态由层流变成紊流；反之，随着流速的减小，经过临界流速临界流速vc（下临界流速），流态由紊流变成层流。（下临界流速），流态由紊流变成层流。为求得沿程水头损失与流速的关系，管段上任取两点，接为求得沿程水头损失与流速的关系，管段上任取

5、两点，接测压管，由伯努利方程知，两点测压管水头差即两点间的沿程测压管，由伯努利方程知，两点测压管水头差即两点间的沿程水头损失。实测该值与流速，点绘到双对数坐标上。水头损失。实测该值与流速，点绘到双对数坐标上。从图中可以看出：从图中可以看出：lghflgv60o-62ovc 在层流段，即流速小于临界流在层流段，即流速小于临界流速时，沿程水头损失与流速的一次速时，沿程水头损失与流速的一次方成正比，即方成正比，即 hf v1.0。在紊流段，即流速大于临界流在紊流段，即流速大于临界流速时，沿程水头损失与流速的速时，沿程水头损失与流速的1.75-2.0次方成正比，即次方成正比，即 hf v1.75-2.

6、0。45ovc 5.2.2 流态的判别标准流态的判别标准 虽然临界流速是雷诺实验中流态转变的阙值，然而该值虽然临界流速是雷诺实验中流态转变的阙值，然而该值并非常数，而是与流体的黏度并非常数，而是与流体的黏度成正比，与流体的密度成正比，与流体的密度和和管径管径 D 成反比，即成反比，即称为雷诺数。大量实验证明，临界雷诺数为一常数，即称为雷诺数。大量实验证明，临界雷诺数为一常数，即 临界雷诺数可以作为流态判别的标准。只要将实际流动临界雷诺数可以作为流态判别的标准。只要将实际流动将上式乘以比例常数将上式乘以比例常数 Rec并写成等式，有并写成等式，有比例常数比例常数Rec为一无量纲量，定义为下临界雷

7、诺数，实用上简为一无量纲量，定义为下临界雷诺数，实用上简的雷诺数计算出来，与临界雷诺数加以比较即可。的雷诺数计算出来，与临界雷诺数加以比较即可。Rec=2300 对于圆管流动对于圆管流动 义一个特征长度来代替圆管中的管径。义一个特征长度来代替圆管中的管径。式中式中 A过流断面面积；过流断面面积；Re Rec=2300，流动为层流；流动为层流；对于明渠或非圆管流，同样可用雷诺数判别流态，只需定对于明渠或非圆管流，同样可用雷诺数判别流态，只需定 R水力半径。水力半径。将雷诺数将雷诺数 Re 的值与临界雷诺数的值与临界雷诺数 Rec=2300 相比较：相比较：Re Rec=2300，流动为紊流；流动

8、为紊流；Re=Rec=2300，流动则为临界流。流动则为临界流。现定义现定义 P过流断面上流体与固体壁面接触的周界长，称湿周；过流断面上流体与固体壁面接触的周界长，称湿周；对于矩形断面，面积对于矩形断面，面积 A=bh，湿周湿周 P=b+2h，于是，于是 Re RecR=575，流动为层流；流动为层流；Re RecR=575，流动为紊流；流动为紊流；Re=RecR=575，流动为临界流。流动为临界流。水力半径为水力半径为 对于圆管断面对于圆管断面 若以水力半径为特征长度，相应的雷诺数则为若以水力半径为特征长度，相应的雷诺数则为于是于是 5.3 沿程水头损失与切应力的关系沿程水头损失与切应力的关

9、系 设圆管恒定均匀流段设圆管恒定均匀流段1-2，作用于流段上的压力、壁面切力，作用于流段上的压力、壁面切力与重力相平衡，即与重力相平衡，即将将 z1-z2=lcos代入上式，并以代入上式，并以l12FG00p1p2Az1z2又由又由1-2断面伯努利方程得断面伯努利方程得或或gA除之，整理得除之，整理得上式称均匀流基本方程式，该式反映了均匀流沿程水头损失上式称均匀流基本方程式，该式反映了均匀流沿程水头损失 若总流为圆管流动，则若总流为圆管流动，则或或故有故有与切应力的关系。式中：与切应力的关系。式中：0所取总流表面的切应力；所取总流表面的切应力；R所取总流的水力半径；所取总流的水力半径；J所取总

10、流单位长度的水头损失，称水力坡度。所取总流单位长度的水头损失，称水力坡度。式中式中 r0 为圆管半径，为圆管半径，为任意半径为任意半径 r 处的切应力。处的切应力。或或确定积分常数。当确定积分常数。当 r=r0，u=0 时，时，将将 r=0 代入上式，得管轴处最大流速为代入上式，得管轴处最大流速为代入上式得代入上式得上式为圆管过流断面上的流速分布公式，为抛物线方程。上式为圆管过流断面上的流速分布公式，为抛物线方程。流量流量平均流速平均流速比较最大流速比较最大流速【例【例3】用细管式黏度计测定油的黏度。已知管径】用细管式黏度计测定油的黏度。已知管径 D=6mm，测段长测段长 l=2m，油的流量，

11、油的流量 Q=77cm3/s，密度，密度=900kg/m3,两测点间水银压差计的读值两测点间水银压差计的读值 hm=30cm，试求油的黏度。，试求油的黏度。【解】列测量段前后两测点间的伯努利方程【解】列测量段前后两测点间的伯努利方程断面平均流速断面平均流速先设为层流先设为层流校核流态校核流态解得黏度为解得黏度为 5.5 液体的紊流运动液体的紊流运动 5.5.1 紊流的特征与时均化紊流的特征与时均化 紊流的特征紊流的特征 质点相互掺混，运动参数不断脉动。质点相互掺混，运动参数不断脉动。紊流运动的时均化紊流运动的时均化 考虑紊流参数的脉动，在足够长的时间范围考虑紊流参数的脉动，在足够长的时间范围

12、T 内取实际瞬内取实际瞬时流速的平均值，即时间平均化，得时均流速时流速的平均值，即时间平均化，得时均流速 瞬时流速与时均流速的差为脉动速度，即瞬时流速与时均流速的差为脉动速度，即 一般地，工程意义上的紊流流动都是建立在时均化的基础一般地，工程意义上的紊流流动都是建立在时均化的基础上的。上的。根据普朗特的混合长度理论进行积分，可得紊流的流速根据普朗特的混合长度理论进行积分，可得紊流的流速分布分布上式为紊流速度分布公式，又称普朗特上式为紊流速度分布公式，又称普朗特卡门卡门(Karmen)对数对数 5.5.3 黏性底层（黏性底层（viscous sublayer）式中式中 称为阻力速度，是一常数，称

13、为阻力速度，是一常数，0 为壁面切应力。为壁面切应力。实际的紊流流动中，在紧靠固体壁面处，存在着一薄层，实际的紊流流动中，在紧靠固体壁面处，存在着一薄层，薄层内的流态为层流，称为层流底层或黏性底层。薄层内的流态为层流，称为层流底层或黏性底层。黏性底层的厚度随雷诺数的增加而减小。黏性底层的厚度随雷诺数的增加而减小。分布律。分布律。5.6 紊流的沿程水头损失紊流的沿程水头损失 5.6.1 尼古拉兹阻力实验尼古拉兹阻力实验 1933年，德国力学家尼古拉兹（年，德国力学家尼古拉兹（Nikuradse）进行了管）进行了管流沿程阻力系数的实验研究。流沿程阻力系数的实验研究。实验证明：沿程阻力系数的影响因素

14、主要有雷诺数与实验证明：沿程阻力系数的影响因素主要有雷诺数与管壁的相对粗糙，即管壁的相对粗糙，即 式中的式中的 e为管壁的绝对粗糙度。作为已知条件，尼古拉兹采为管壁的绝对粗糙度。作为已知条件，尼古拉兹采上上，沙粒的粒径沙粒的粒径 e 与管道直径与管道直径 D 之比即为该管的相对粗糙。之比即为该管的相对粗糙。用人工粗糙用人工粗糙均匀沙粒。将已知粒径的沙粒粘贴在管道壁面均匀沙粒。将已知粒径的沙粒粘贴在管道壁面 在雷诺实验装置的基础上，尼古拉兹采用不同相对粗糙在雷诺实验装置的基础上，尼古拉兹采用不同相对粗糙的实验管段，对每根管实测不同流量下的流速的实验管段，对每根管实测不同流量下的流速 v 与沿程水

15、头与沿程水头损失损失 hf。将实测数据分别由公式将实测数据分别由公式计算出相应的雷诺数计算出相应的雷诺数 Re 与沿程阻力系数与沿程阻力系数，点绘到坐标上。，点绘到坐标上。和和lglg lglgReRea ab bc cd de ef f 根据沿程阻力系数的变化规律，实验曲线分为根据沿程阻力系数的变化规律，实验曲线分为5个区：个区：（1）层流区（）层流区（ab 线，线，lgRe3.3，Re 2300）不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力系数与相对粗糙无关，只是雷诺数的函数，并符合前面的理系数与相对粗糙无关，只是雷诺数的函数，并符合前面

16、的理论结果。论结果。（2）过渡区（）过渡区（bc 线，线，lgRe=3.3-3.6，Re=2300-4000）不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力系数与相对粗糙无关，也只是雷诺数的函数，但关系不确切。系数与相对粗糙无关，也只是雷诺数的函数，但关系不确切。（3）紊流光滑区（）紊流光滑区（cd 线，线，lgRe3.6，Re4000）不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力不同相对粗糙的实验点都在同一根线上，说明沿程阻力系数与相对粗糙无关，也只是雷诺数的函数。但随雷诺数的系数与相对粗糙无关，也只是雷诺数的函数。但随雷诺数的增大，不同

17、相对粗糙的实验点相继离开此线，粗糙越小，离增大，不同相对粗糙的实验点相继离开此线，粗糙越小，离开的越晚。这一现象为开的越晚。这一现象为“水力光滑水力光滑”。“水力光滑水力光滑”当壁面的绝对粗糙度小于层流底层厚度当壁面的绝对粗糙度小于层流底层厚度时，粗糙对紊流核心没有影响，沿程阻力系数与相对粗糙时，粗糙对紊流核心没有影响，沿程阻力系数与相对粗糙无关，只与雷诺数有关。流动表现为无关，只与雷诺数有关。流动表现为“水力光滑水力光滑”状态。状态。（4）紊流过渡区（）紊流过渡区（cd 与与 ef 之间的曲线）之间的曲线）不同的相对粗糙的实验点分别落在不同的曲线上。说不同的相对粗糙的实验点分别落在不同的曲线

18、上。说明本区内沿程阻力系数既与雷诺数有关又与相对粗糙有关。明本区内沿程阻力系数既与雷诺数有关又与相对粗糙有关。（5）紊流粗糙区（）紊流粗糙区（ef 右侧的水平直线）右侧的水平直线）不同的相对粗糙的实验点分别落在不同的直线上。所不同的相对粗糙的实验点分别落在不同的直线上。所有直线均平行横坐标，说明沿程阻力系数与雷诺数无关。有直线均平行横坐标，说明沿程阻力系数与雷诺数无关。于是，沿程水头损失与流速的平方成正比，本区又称阻力于是，沿程水头损失与流速的平方成正比，本区又称阻力平方区。流动在本区内的层流底层远远小于壁面粗糙，粗平方区。流动在本区内的层流底层远远小于壁面粗糙，粗糙是影响流动的主要因素，这一

19、现象称为糙是影响流动的主要因素，这一现象称为“水力粗糙水力粗糙”。5.6.3 5.6.3 沿程阻力系数沿程阻力系数的半经验公式的半经验公式 根据紊流流速分布，可导出沿程阻力系数根据紊流流速分布，可导出沿程阻力系数的计算公式。的计算公式。（1）紊流光滑区公式）紊流光滑区公式 （2）紊流粗糙区公式紊流粗糙区公式 5.6.4 实际工程管的沿程阻力系数半经验公式实际工程管的沿程阻力系数半经验公式 由于尼古拉兹采用的是均匀的人工粗糙，与实际工程管的由于尼古拉兹采用的是均匀的人工粗糙，与实际工程管的情况相差较大。如何建立两种粗糙的关系，是将尼古拉兹公情况相差较大。如何建立两种粗糙的关系，是将尼古拉兹公式式

20、用于实际工程管的关键。用于实际工程管的关键。在紊流光滑区，虽然两种粗糙不同，但沿程阻力系数与在紊流光滑区，虽然两种粗糙不同，但沿程阻力系数与粗糙无关，故尼古拉兹公式可直接使用。粗糙无关，故尼古拉兹公式可直接使用。在紊流粗糙区，两种粗糙对流动的影响有相同的规律。在紊流粗糙区，两种粗糙对流动的影响有相同的规律。故引入当量粗糙的概念后，故引入当量粗糙的概念后，即可将尼古拉兹公式用于实际工即可将尼古拉兹公式用于实际工程管。程管。在紊流过渡区，由于两种粗糙在过渡时对流动的影响完在紊流过渡区，由于两种粗糙在过渡时对流动的影响完全不同，故两者的沿程阻力系数变化规律相差较大。全不同，故两者的沿程阻力系数变化规

21、律相差较大。直到直到1939年，美国工程师柯列勃洛克（年，美国工程师柯列勃洛克（Colebrook）给出）给出了适合于实际工程管过渡区的计算公式了适合于实际工程管过渡区的计算公式 式中式中 e为实际工程管的当量粗糙度。为实际工程管的当量粗糙度。1944年，美国工程师穆迪（年，美国工程师穆迪（Moody）将上式绘成了图。）将上式绘成了图。Ree/D 谢才系数还可由巴甫洛夫斯基公式算得谢才系数还可由巴甫洛夫斯基公式算得 （3）海曾海曾威廉公式威廉公式式中式中 C HW 海曾海曾威廉粗糙系数；威廉粗糙系数；Q 流量。流量。海曾海曾威廉威廉(Hazen-Williams)公式主要用于给水管道。公式主要

22、用于给水管道。式中式中 巴甫洛夫斯基公式的适用范围为巴甫洛夫斯基公式的适用范围为 0.1mR3.0m，0.011n0.04【例【例4】长】长 l=30m、管径、管径 D=75mm的旧铸铁水管，通过的旧铸铁水管，通过 流流 量量 Q=7.25 L/s，水温，水温 t=10oC，试求该管段的沿程水，试求该管段的沿程水 头损头损 失。失。【解】解】（1）采用莫迪图计算）采用莫迪图计算 计算雷诺数与相对粗糙计算雷诺数与相对粗糙 查表查表5-1，取，取 e=1.25mm，算得相对粗糙，算得相对粗糙查表查表1-3求得运动黏度求得运动黏度=1.30610-6m2/s 5.7 局部水头损失局部水头损失 液体流

23、经流动边界突然发生变化的局部区域时，集中产生液体流经流动边界突然发生变化的局部区域时，集中产生的机械能损失为局部水头损失。的机械能损失为局部水头损失。由于局部边界变化的强烈扰动，当雷诺数很小时，流动由于局部边界变化的强烈扰动，当雷诺数很小时，流动已经进入了阻力平方区。故局部损失不存在阻力分区问题。已经进入了阻力平方区。故局部损失不存在阻力分区问题。5.7.1 局部水头损失的的一般分析局部水头损失的的一般分析突然扩大突然扩大转弯转弯阀门阀门 主流区脱离边壁，形成旋涡区是造成局部水头损失的主流区脱离边壁，形成旋涡区是造成局部水头损失的主要原因。实验结果表明，旋涡区越大、旋涡强度越大，主要原因。实验

24、结果表明，旋涡区越大、旋涡强度越大，水头损失也就越大。水头损失也就越大。5.7.2 几种典型的局部阻力系数几种典型的局部阻力系数 （1）圆管突然扩大）圆管突然扩大 取突然扩大圆管，列断面取突然扩大圆管，列断面1-2的伯努利方程，忽略沿程水的伯努利方程，忽略沿程水头损失头损失在对在对1-2断面所围取控制体，列动量断面所围取控制体，列动量以以gA2 除以各项并整理，得除以各项并整理，得方程，并将其投影在管轴上方程，并将其投影在管轴上12p1p2G将上面动量方程代入伯努利方程，并令将上面动量方程代入伯努利方程，并令1=2=1=2=1，得，得根据连续性方程根据连续性方程将上式表示为局部水头损失的一般式

25、将上式表示为局部水头损失的一般式或或或或特别地，当特别地，当 A2A1时，时，称为管道出口阻力系数。称为管道出口阻力系数。（2）圆管突然缩）圆管突然缩小小其中其中特别地，当特别地，当 A1A2时，时，称为管道入口阻力系数。称为管道入口阻力系数。A1A2v1v2 5.8 边界层与绕流阻力边界层与绕流阻力 液体在壁面围绕中的流动是内流问题。液体在壁面围绕中的流动是内流问题。外流问题指液体围绕壁面的流动，又称绕流运动。外流问题指液体围绕壁面的流动，又称绕流运动。液体作用在绕流物体上的力分为平行来流方向的力液体作用在绕流物体上的力分为平行来流方向的力绕绕流阻力与垂直与来流方向的力流阻力与垂直与来流方向

26、的力升力。升力。本节主要讨论有关绕流阻力问题。本节主要讨论有关绕流阻力问题。（1）边界层的概念边界层的概念 1904年，德国力学家普朗特首先提出边界层的概念。年，德国力学家普朗特首先提出边界层的概念。当液体以速度当液体以速度 U0 流过固体壁面时，紧贴壁面一层的液流过固体壁面时，紧贴壁面一层的液体速度为体速度为 0。沿壁面的法线方向，流速由。沿壁面的法线方向，流速由 0 增至增至U0。于是，。于是，壁面周围的流动就分为两个区域：一个是靠近壁面的、流速壁面周围的流动就分为两个区域：一个是靠近壁面的、流速由由0 增至增至U0 的薄流层，称为边界层；另一个则是不存在速度的薄流层，称为边界层；另一个则

27、是不存在速度梯度的流动区域，相当于理想液体。可分别来求。边界层又梯度的流动区域，相当于理想液体。可分别来求。边界层又包括层流边界层和紊流边界层。包括层流边界层和紊流边界层。沿壁面法线方向，流速由沿壁面法线方向，流速由0 增至增至0.99U0 的距离定义为边的距离定义为边界层厚度，以界层厚度，以表示。表示。液体经过固体壁面后，首先出现的是层流边界层，然后液体经过固体壁面后，首先出现的是层流边界层，然后逐渐过渡为紊流边界层。紊流边界层内也存在着层流底层。逐渐过渡为紊流边界层。紊流边界层内也存在着层流底层。（2）边界层的分离现象）边界层的分离现象 以液体绕过圆柱为例说明。以液体绕过圆柱为例说明。AB

28、C液体从液体从 A 流向流向 B 时，流速增加，时，流速增加，压强减小；当液体从压强减小；当液体从B 流向流向 C 时，时，流速减小，压强增加，产生反向压差。在此压差作用下，流速减小，压强增加，产生反向压差。在此压差作用下，出现旋涡区，主流与壁面在出现旋涡区，主流与壁面在C点脱离。点脱离。C点称为分离点。点称为分离点。yxC 分离点下游形成的旋涡区又称为尾流。分离点下游形成的旋涡区又称为尾流。液体绕过物体时，机械能消耗包括两部分：一部分是液体绕过物体时，机械能消耗包括两部分：一部分是液体与固体表面摩擦，摩擦阻力耗能；另一部分则是尾流液体与固体表面摩擦，摩擦阻力耗能；另一部分则是尾流旋涡区的能量

29、消耗。旋涡区的能量消耗。尾流耗能导致绕流物体前后形成压强差，因此而产生尾流耗能导致绕流物体前后形成压强差，因此而产生的阻力称绕流物体的压差阻力。一般情况下，压差阻力远的阻力称绕流物体的压差阻力。一般情况下，压差阻力远大于摩擦阻力。大于摩擦阻力。因此，旋涡区是出现压差阻力的主要原因。因此，旋涡区是出现压差阻力的主要原因。为此，改变物体边界形状，使之不出现边界层分离，为此，改变物体边界形状，使之不出现边界层分离，消除旋涡区，这种形状的物体称为流线形物体。消除旋涡区，这种形状的物体称为流线形物体。边界层分离后，绕流物体两侧连续交替出现旋涡，并不边界层分离后，绕流物体两侧连续交替出现旋涡，并不断被带到

30、下游，形成两列，即所谓的卡门涡街（断被带到下游，形成两列，即所谓的卡门涡街（Karman Karman StreetStreet）。）。卡门涡街会对绕流物体产生一定的影响。卡门涡街会对绕流物体产生一定的影响。（3 3 3 3）绕流阻力）绕流阻力）绕流阻力）绕流阻力 绕流阻力包括摩擦阻力与压差阻力两部分。绕流阻力包括摩擦阻力与压差阻力两部分。1726年牛顿年牛顿提出提出式中式中 FD 绕流阻力；绕流阻力；CD绕流阻力系数，与绕流物体形状和雷诺数有关；绕流阻力系数，与绕流物体形状和雷诺数有关；U0来流的速度；来流的速度；A物体与来流垂直的迎流投影面积。物体与来流垂直的迎流投影面积。1851年，英国

31、物理学家斯托克斯（年，英国物理学家斯托克斯（Stokes）在假定直）在假定直径为径为 D 的圆球在无界的流体中以速度的圆球在无界的流体中以速度 U0 做直线运动（惯做直线运动（惯性力与质量力均忽略不计）且不发生边界层分离现象的前性力与质量力均忽略不计）且不发生边界层分离现象的前提下，根据实际流体的运动微分方程与连续性方程，求出提下，根据实际流体的运动微分方程与连续性方程，求出液体绕圆球的阻力为液体绕圆球的阻力为套用前面的绕流阻力公式套用前面的绕流阻力公式 其中其中 上式是在雷诺数上式是在雷诺数上式是在雷诺数上式是在雷诺数 ReRe 远小于远小于远小于远小于 1 1 1 1 的情况下得出，的情况下得出，的情况下得出，的情况下得出，与实验吻与实验吻合良好。合良好。