《几何与代数》第一章行列式和线性方程组的求解课件.ppt

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1、教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数课件课件 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 111-161.2 n阶行列式阶行列式 116-281.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 2趣味思考题趣味思考题二、若行列式二、若行列式D=0，则，则D都可能是什么类型的都可能是什么类型的行列式？行列式？(1)行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素相同相同；(2)行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素成比例成比例；(3)行列式行列式D有至

2、少有一行或一列元素有至少有一行或一列元素都是零都是零；(4)主对角线主对角线上至少有一个元素等于上至少有一个元素等于零零的的对角行列式对角行列式；(5)主主(次次)对角线对角线上至少有一个上至少有一个零零元素的元素的三角行列式三角行列式；(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式 三、设三、设D=a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =,证明证明:D=(1)mnD1D2.D D2 2 =,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnn0 0 0 0 a a11 11 a a1

3、 1mm,0 0 0 0 a amm1 1 a ammmmb b11 11 b b1 1n n c c11 11 c c1 1mmb bn n1 1 b bnn nn c cn n1 1 c cnmnm证明证明:将第将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列与左边的各列逐次对换相邻两列，列，可将其移到第一列，以此类推，共做可将其移到第一列，以此类推，共做mn次次相邻对换，即可得到相邻对换，即可得到所以所以D=(1)mn|A|B|.二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1.化为三角形化为三角形行列式行列式|AT|=|A|.3.行列式按行行列式

4、按行(列列)展开展开 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4.降阶递推法降阶递推法 5.分解行列法分解行列法|A|=ai1 Ai1+ain Ain=a1j A1j+anj Anj1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例6.1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 1 1 2 2 4 4 0 0 6 6 7 7 0 0 10 10 1414=14.3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 例例10.=2.注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行(列列)只有

5、一个非零元素；再按此行只有一个非零元素；再按此行(列列)展开计算展开计算.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 4 3 6 3 1 4 6 3 5=6A31+3A32+5A33.那么那么 4A31+3A32+6A33=4A31+3A32+6A33=4 3 63 1 44 3 6=0.A31,A32,A33与与a31,a32,a33的取值无关的取值无关0?第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组

6、的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33=a12A12+a22A22+a32A32.下面来看下面来看a11A12+a21A22+a31A32=a11A12+a21A22+a31A32=a11 a13 a21 a23 a31 a33=0.推广到一般情形推广到一般情形,我们有如下结论我们有如下结论:推论推论1.3.ai1 Aj1+ai2 Aj2+ain Ajn=0(i j)a1i A1j+a2i A2j+ani Anj=0(

7、i j).A12,A22,A32与与a12,a22,a32的取值无关的取值无关0?第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 a11a21a311.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 推论推论1.3.ai1 Aj1+ai2 Aj2+ain Ajn=0(i j)a1i A1j+a2i A2j+ani Anj=0(i j).定理定理.|B|=a1i A1j+a2i A2j+ani Anj=b1j A1j+b2j A2j+bnj Anj证明：证明：aik Ajk=k k=

8、1=1n n|A|,i=j 0,i j=0第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 aki Akj=k k=1=1n n|A|,i=j 0,i j例例11.2A21+4A22 8A23=1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 1 2 1 2 4 4 3 4 3 4 2 22 4 2 4 8 8=0M13 M23 3M33=A13+A23 3A33 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 =1 1 1 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 0 0 3 3

9、 0 0=30定理定理.aik Ajk=k k=1=1n n|A|,i=j 0,i j aki Akj=k k=1=1n n|A|,i=j 0,i j1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 例例例例1212.证明证明证明证明n n阶阶阶阶(n n 2)2)范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙VandermondeVandermonde行列式行列式行列式行列式D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na

10、 a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-2-2 a a2 2n n-2-2 a an nn n-2-2a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an nn n-1-1=(a ai i a aj j).).n n i i j j 1 1证明证明证明证明:当当当当n n=2=2时时时时,D D2 2=(=(a a2 2 a a1 1).).现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于(n n 1)1)阶成立阶成立阶成立阶成立.(a a1 1)(a a1 1)(a a1 1)1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2

11、 a1)a3(a3 a1)an(an a1)0 a2n-2(a2 a1)a3n-2(a3 a1)ann-2(an a1)D Dn n r rn n a a1 1 r rn n-1-1r r3 3 a a1 1 r r2 2r r2 2 a a1 1 r r1 11.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 =(a2 a1)(a3 a1)(an a1)1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=(a2 a1)

12、(a3 a1)(an a1)(ai aj)n n i i j j 2 2=(ai aj).n n i i j j 1 1 a2 a1 a3 a1 an a1a2(a2 a1)a3(a3 a1)an(an a1)a2n-2(a2 a1)a3n-2(a3 a1)ann-2(an a1)D Dn n=1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程

13、组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 (未写出的元素都是未写出的元素都是0).例例12.计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n=a b a b c dc d 4.降阶递推法降阶递推法第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 D D2 2n n=a=a.a aa a b bb b 0 0c cc c0 0d dd d 0 00 0 d d .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c

14、 cc c 0 0d dd d0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b.a a 0 00 0 a aa a b bc c d dd d 0 00 0 d d .0 0 b bb b 0 00 0 c cc c 0 0.解解解解:第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 =a=a.a aa a b bb b 0 0c cc c0 0d dd d 0 00 0 d d .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c cc c 0 0d

15、dd d0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b=(=(ad ad bcbc)D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)2 2D D2(2(n n 2 2)=(=(ad ad bcbc)3 3D D2(2(n n 3 3)=(=(ad ad bcbc)n n 1 1 D D2 2=(=(ad ad bcbc)n n.D D2 2n nD D2 2n n=a a(1 1)2(22(2n n 1)1)d d D D2(2(n n 1 1)b b(1 1)(2(2n n 1)+1 1)+1 c cD D2(2(n n 1 1)Dn=(a+b)Dn 1 ab Dn 2 解：

16、按第一行展开解：按第一行展开Dn=(a+b b)Dn-1+ab(1)1+2Dn-2=bn 2(D2 aD1)例例13.Dn=双轮形双轮形Dn aDn 1=b(Dn 1 aDn 2)=an 2(D2 bD1)Dn b bDn 1=a(Dn 1 bDn 2)D1=a+b,D2=a2+b2+ab 4.降阶递推法降阶递推法1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 D Dn n aDn 1=bn 2(D2 a aD1)(3)D Dn

17、n b bDn 1=an 2(D2 b bD1)(4)由由(3)b b (4)a 可得，可得，D1=a+b,D2=a2+b2+ab=bn=an1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 5.分解行列法分解行列法解：将第一列拆成两列的和解：将第一列拆成两列的和Dn=b b Dn-1+Dn例例13.Dn=Dn=an Dn=b Dn-1+an=b(bDn-2+an-1)+an1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式

18、的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 =b2 Dn-2+an-1b+an=二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1.化为三角形化为三角形行列式行列式 3 3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4.降阶递推法降阶递推法 Ajk=(1)j+k Mjk计算三四阶计算三四阶行列式行列式 5.分解行列法分解行列法|AT|=|A|.Ex.aik Ajk=k k=1=1n n|A|,i=j 0,

19、i ja11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当D=a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21推广到推广到n元线元线性方程组性方程组Cramer法则法则1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解

20、行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 线性方程组：线性方程组：高斯消元法：高斯消元法：初等变换列向量列向量矩阵矩阵行向量行向量例例例例1.1.某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品.A A=20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B=200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150单价单价(元元/箱箱)重量重量(Kg/箱箱

21、)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒(瓶装瓶装)2016200180190啤酒啤酒(易拉罐易拉罐)5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150一一.矩阵与向量矩阵与向量 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 例例例例2.2.四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示.若若若若a

22、aij ij表示从表示从表示从表示从 i i 市市市市 到到到到 j j 市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数,则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 41 42 32 3A A=a aij ij=0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 用三维向量表

23、示用三维向量表示(8升升,5升升,3升升)酒壶的酒量酒壶的酒量则则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路点的最短路.从图中易得到从图中易得到上下上下两条两条路路：显然上面一条较短，：显然上面一条较短，路长为路长为7;下面一条路长为下面一条路长为8.(3,2,3)(5,3,0)(2,5,1)(8,0,0)(0,5,3)(2,3,3)(7,0,1)(7,1,0)(4,1,3)(4,4,0)(1,4,3)(1,5,2)(6,2,0)例例3 3：某某二二人人有有一一只只8 8升升的的酒酒壶壶装装满满了了酒酒,还还有有两两只只空壶空壶,分别为分别为5

24、5升和升和3 3升升.问如何尽快将酒平分问如何尽快将酒平分?(3,5,0)(5,0,3)(6,0,2)一一.矩阵与向量矩阵与向量 1.m n矩阵矩阵 (Matrix)元素元素:aij(i=1,m,j=1,n)注注:元素都是实元素都是实(复复)数的矩阵称为数的矩阵称为实实(复复)矩阵矩阵.今后除非特别说明今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵(Rmn).复矩阵复矩阵(Cmn).Amn=(aij)mna11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amnn阶方阵阶方阵:n n矩阵矩阵 2.方阵方阵 主对角线元素主对角线元素:aii(i=1,n)1.4

25、 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 3.向量向量(Vector)n维行向量维行向量:1 n矩阵矩阵 ai=(ai1,ai2,ain)n维列向量维列向量:n 1矩阵矩阵 Aj=常用希腊字常用希腊字母母,表示表示.5.同型矩阵同型矩阵 A=(aij)m n与与B=(bij)m n 6.相等相等矩阵矩阵A=B aij=bij,1 i m,1 j n 同型矩阵同型矩阵a1ja2j janj j4.1 1矩阵矩阵(a11)=a1

26、1 7.零矩阵零矩阵 Om n aij=0，1 i m,1 j n1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.对角矩阵对角矩阵(diagonal)=diag(1,2,n)=1 0 0 0 2 0 0 0 n2.数量矩阵数量矩阵3.单位矩阵单位矩阵引入引入Kronecker记号记号 ij=1,i=j 0,i j=(ij)=(ij)=(i ij)几种特殊方阵几种特殊方阵 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线

27、性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 4.三角矩阵三角矩阵 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为01

28、.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 二二.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule)四四.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 1.1.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵阶梯形矩阵与行简化阶梯阵 3.阶梯阵的形状与线性方程组的解阶梯阵的形状与线性方程组的解 五五.齐次线性方程组有非零解的充分条件齐次线性方程组有非零解的充分条件 三三.Gauss

29、消元法与方程组的初等变换消元法与方程组的初等变换第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解一一.矩阵与向量矩阵与向量1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解记记记记D D=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn,D D2 2=a a1

30、111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn,D Dn n=.a a1111 a a1212 b b1 1a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n二二.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule 1750 瑞士瑞士)在在D=|A|0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 n元线性元线性方程组方程组|

31、A|0方程数与变方程数与变量数不等时量数不等时不能用不能用1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解一一.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule)在在D=|A|0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 按第一列按第一列展开展开记记记记D D=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a a

32、nnnn,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn,=a11A11=b b1 1A11+an1An1+b bn nAn1 D Dj j=b b1 1A1j+b bn nAnj,j=1,2,n1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解一一.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule)在在D=|A|0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性

33、方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 D Dj j=b b1 1A1j+b bn nAnj,j=1,2,n(1)(1)先证先证是方程组的解是方程组的解.aij Akj=j j=1=1n nD,i=k 0,i k1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解一一.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule)在在D=|A|0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 D Dj j=b

34、b1 1A1j+b bn nAnj,j=1,2,n(2)(2)再证方程组解的唯一性再证方程组解的唯一性.A A1 1j j +A A2 2j j +A Anjnj =D Dj j aik Aij=i i=1=1n nD,k=j 0,k j1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解记记记记D D=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a2

35、2 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn,D D2 2=a a1111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn,D Dn n=.a a1111 a a1212 b b1 1a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n一一.克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule)在在D=|A|0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的

36、求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组推论推论1.4齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0,它必然有一组它必然有一组零解零解 x1=x2=xn=0,若有一组若有一组不全为不全为零零的数构成的数构成Ax=0的的解解,则则称之为称之为Ax=0的的非非零解零解.推论推论1.4a.设设A Rn n,若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax=0的的 系数行列式系数行列式|A|0,则它则它只有零解只有零解.推论推论1.4b.设设A Rn n,若若Ax=0有非零解有非零解，则，则|A|=01.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方

37、程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 齐次线性方程组的非零解齐次线性方程组的非零解 定理定理1.3 设设A Rn n,|A|0时时Ax=b有唯一解有唯一解 xj=Dj/|A|,j=1,n.(A)填空题选择题：作为课下练习填空题选择题：作为课下练习一一.(A)1(1-7),(B)1,2,3(B)留作业留作业 每周三交作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做课下提高题：有时间的话尽量做二二.(A)2(1-5)(B)4(1,3,4,6),5(1,2)三三.(A)1

38、(8),2(6,7)(B)5(4,6,7,8),6(2),7四四.(A)1(9,10),2(8,9,10)(B)9,11,12趣味思考题趣味思考题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼,一头羊一头羊,一篮菜从河西一篮菜从河西渡过河到河东渡过河到河东.由于船小由于船小,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊,羊与菜不能独处羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少呢？哪种方法的渡河次数最少呢？现代谜题现代谜题 （据说是微软的面试题哦！）（据说是微软的面试题哦！）u有有 4 4 个个女女人人要要过过一一座座桥桥。她她们们都都站站

39、在在桥桥的的某某一一边边，要要让她们在让她们在 17 17 分钟分钟内全部通过这座桥。内全部通过这座桥。u这这时时是是晚晚上上。她她们们只只有有一一个个手手电电筒筒。最最多多只只能能让让两两个个人人同同时时过过桥桥，且且必必须须要要带带着着手手电电筒筒。手手电电筒筒必必须须要要传传来来传去，不能扔过去。传去，不能扔过去。u每每个个女女人人过过桥桥的的速速度度不不同同(甲甲乙乙丙丙丁丁分分别别需需要要1,2,5,101,2,5,10分钟分钟)，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。u怎样让这怎样让这4 4个女人在个女人在 17 17 分钟内过桥？分

40、钟内过桥？u还有其他方法吗？还有其他方法吗？思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）（线性方程组应用）v城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。况的基础。v问题：某城市有下图所示的交通图，每条道问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。整个图中进入和离开的车数相等。思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）（线性方程组应用）（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组；（2）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵.300500150180350160220300100290400150 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x12