省优获奖ppt课件45相似三角形的性质及应用.ppt

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1、4.5 4.5 相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用自主探索，构建数模自主探索，构建数模一个不透明的圆柱形水杯内有豆奶，现在老师想知道杯内一个不透明的圆柱形水杯内有豆奶，现在老师想知道杯内豆奶的高度，同学们能帮我想办法测出杯内可乐的高度吗豆奶的高度，同学们能帮我想办法测出杯内可乐的高度吗？现有工具：一根筷子，一把直尺现有工具：一根筷子，一把直尺筷子不小心滑入了杯中！筷子不小心滑入了杯中！在这种情况下，该如何测量在这种情况下，该如何测量高度呢？高度呢？AEDCBABCDBEABCDBEAB:AB:DBDB=CB:EB=CB:EB测得测得ABAB、CBCB、EBEB的长度即可求出的长度

2、即可求出DBDB的长度的长度如图，屋架跨度的一半如图，屋架跨度的一半OP=5MOP=5M，高度，高度OQ=2.5MOQ=2.5M，现要在屋顶上开一，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度个天窗，天窗高度AC=1.20MAC=1.20M，ABAB在水平位置。求在水平位置。求ABAB的长度的长度POQABC解：由题意得，解：由题意得，ABPOABPO ABC=OPQ ABC=OPQ CAB=POQ=90CAB=POQ=90 ABCOPQ ABCOPQ答：答：ABAB的长约为的长约为2.2.4 4m m。解决问题解决问题运用运用“相似三角形的对应相似三角形的对应边成比例边成比例”可以求出实际可以求出实际无

3、法直接测得的长度无法直接测得的长度总结经验总结经验如何测量旗杆的高度？如何测量旗杆的高度？如果给你如果给你一根一根1 1米高的木棒米高的木棒一根一根25cm25cm的小木棍的小木棍一根一根2 2米长的标杆米长的标杆一把皮尺一把皮尺一面平面镜一面平面镜 同学们，你能利用所学的知识，选同学们，你能利用所学的知识，选择适当的工具来测量旗杆的高度吗？择适当的工具来测量旗杆的高度吗？合作探究合作探究小组讨论小组讨论（要求：画出示意图，讲解方法，说明需要量取哪些数据）（要求：画出示意图，讲解方法，说明需要量取哪些数据）把长为把长为1m的木棒的木棒CD直立在地面上，量出旗的影长直立在地面上，量出旗的影长为为

4、7.5m，木棒的影长为，木棒的影长为1.5m。这时旗高多少？。这时旗高多少？A AB BE EC CD DF F方法一方法一阳光阳光 把长为把长为1m的标杆的标杆CD直立在地面上，量出旗到木棒直立在地面上，量出旗到木棒的距离为的距离为6m，木棒的影长为，木棒的影长为1.5m。这时旗高多少？。这时旗高多少？A AB BE EC CD D方法二方法二阳光阳光 把一小镜子放在离旗杆（把一小镜子放在离旗杆（ABAB）4 4米的点米的点E E处，然后沿着直线处，然后沿着直线BEBE后退到点后退到点D D，这时恰好在镜子里看到旗杆顶点，这时恰好在镜子里看到旗杆顶点A A，再用皮尺量得，再用皮尺量得DE=D

5、E=1.21.2m m，观察者目高，观察者目高CD=1.CD=1.5 5m m。这时旗杆高多少？。这时旗杆高多少？A AB BE EC CD D方法三方法三 如图，在地面上直立一根标杆如图，在地面上直立一根标杆EFEF，沿着直线，沿着直线BFBF后后退到点退到点D D，使，使眼睛眼睛眼睛眼睛C C C C、标杆的顶端、标杆的顶端、标杆的顶端、标杆的顶端E E E E、树梢顶点、树梢顶点、树梢顶点、树梢顶点A A A A在同在同在同在同一直线上一直线上一直线上一直线上，已知，已知BF=BF=2m2m，DF=DF=6m6m，身高，身高CD=1.5CD=1.5m m，标杆，标杆EF=EF=2m2m，

6、求旗高。，求旗高。C CD DG GE EF FA AB BH H方法四方法四 如图，用手举一根小木棍如图，用手举一根小木棍EFEF长长0.25m0.25m，使小木棍与地面垂直，使小木棍与地面垂直，当小木棍刚好挡住旗的高度时，量出眼睛到小木棍的距离当小木棍刚好挡住旗的高度时，量出眼睛到小木棍的距离CGCG为为0.0.6m6m，人到旗的距离，人到旗的距离CHCH长长12m12m，求旗的高度，求旗的高度C CD DE EF FB BA AG GH H方法五方法五步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OEOE为为80cm80cm，步枪上准星宽度，步枪

7、上准星宽度ABAB为为2mm2mm，目标的正面宽度，目标的正面宽度CDCD为为50cm50cm，求眼睛到目标的距离，求眼睛到目标的距离OFOF。E EA AB BO OC CD DF F准星准星A B能力提升能力提升通过本堂课的学习，你学到了哪些内容？反思总结反思总结求实际无法直接测量的长度求实际无法直接测量的长度方法：方法：构造相似三角形构造相似三角形原理：原理：相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例具体操作：具体操作：两组对应边中，测量其中两组对应边中，测量其中三条边，求第三条边，求第4条边条边延伸拓展延伸拓展选择你感兴趣的一个物体（高度选择你感兴趣的一个物体（高度无法直接测量）

8、，通过本节课的无法直接测量），通过本节课的知识，计算它的高度。知识，计算它的高度。4.44.4两个三角形相似的判定两个三角形相似的判定 2、三角形的中位线、三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三原三角形角形是否相似？是否相似？相似比是多少？相似比是多少？1、相似三角形的定义？、相似三角形的定义？ABCDE三角三角对应相等对应相等,三边三边对应成比例对应成比例的两个三角形的两个三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.ABCDEABCDEABCDE结论：结论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。长线）

9、相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图在如图在ABC中中,点点D,E分别分别在在AB,AC上上,且且DE/BC,则则ADE与与ABC相似吗相似吗?(1)议一议议一议:这两个三角形这两个三角形的三个内角是否对应相等的三个内角是否对应相等?(2)量一量：量一量：这两个三角形的这两个三角形的边长边长,它们是否对应成比例它们是否对应成比例?(3)平行移动平行移动DE的位置再试一试的位置再试一试.平行于三角形一边的直线和其平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理DE/BC几何语

10、言叙述：几何语言叙述：ADEABCABCDEABCDE如图如图,已知已知DE BC,DF AC,请尽可能多地找出图中的相请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。似三角形，并说明理由。ABCDFEABC 如图如图 ABC 和和 ABC中中,A=A,B=B .问问ABC与与ABC是否相似是否相似?ABCACC/B/BA/如如果果一一个个三三角角形形的的两两个个角角与与另另一一个个三三角角形形的的两两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个角对应相等，那么这两个三角形相似。已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/中中,求证求证:ABC A/B/C/,BBAA=证明：在证明：在ABC的边的边AB、

11、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/C/B/D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。A/B/C/ABC A DE A/B/C/，AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，判定定理判定定理1 1：有有两个角对应相等的两个三角形相似。角对应相等的两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。例例1 1、已知：、已知：ABCABC和和DEFDEF中，中

12、，A=40A=400 0，B=80B=800 0，E=80E=800 0，F=60F=600 0。求证：。求证：ABCDEFABCDEF 证明：证明：在在ABCABC中中,A=40,A=400 0，B=80B=800 0，C=180C=1800 0A A B B60600 0 在在DEFDEF中，中，E=80E=800 0，F=60F=600 0 B=E B=E，C=FC=F ABCDEF ABCDEFC CB BA AD DF FE E（两角对应相等，两三角形相似）（两角对应相等，两三角形相似）1 1、如图：已知，在、如图：已知，在ABCABC中，其中中，其中ADE=CADE=C，求证：求证

13、：ABCADEABCADE，A AE ED DC CB B证明：在证明：在ABC ABC 和和ADEADE，A=AA=AADE=CADE=C，ABCADEABCADE)(练一练练一练（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）2 2、如图，已知在、如图，已知在ABCABC中，中，P P是是ABAB上的一点，连接上的一点，连接CPCP，使得，使得ACP=BACP=B，求证：求证：ACPABCACPABC证明：在证明：在ACP ACP 和和ABCABC中中A=AA=AACP=BACP=B，ACPABCACPABCA AB BC CP P)(（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）ABC

14、DP已知已知:在圆在圆O O中中,弦弦ACAC和弦和弦BDBD相交于点相交于点P.P.(1)(1)求证：求证：APDBCP.APDBCP.（2 2）求证：求证：PAPAPC=PBPC=PBPDPDO(3)(3)如图，若如图，若ACAC为直径，为直径，弦弦BDACBDAC于于P P，OCOC交交ABAB 于于D D，BDBD=6cm=6cm，APAP=1cm.=1cm.求求OO的半径的半径.ADBCOP 例例2在一次数学活动课上，为了测量河宽在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的，张杰采用了如下的方法（如图）从方法（如图）从A处沿与处沿与AB垂直的直线方向走垂直的直线方向走40米

15、到达米到达C处，插处，插一根标竿，然后沿同方向继续走一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达米到达D处，再向右转处，再向右转90度走度走到到E处，使处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得三点恰好在一条直线上，量得DE20米，这米，这样就可以求出河宽样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。，请你算出结果（要求写出解题过程）。ABDCEABDEO方法二方法二方法一方法一CDFCABD 求证：求证：(1)ABCCBDACD已知：已知：Rt ABC中，中，ACB90，CD AB .此结论可以称为此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用今后可

16、以直接使用.（3）若）若BC=4,DB=3,求求AB的长。的长。2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=12AB=12，AC=10AC=10，点，点D D、E E分别是分别是边边ABAB、ACAC上的点，上的点，AD=6AD=6，连结，连结DEDE，当，当AEAE的长具备怎样的长具备怎样的条件时，的条件时，ADEADE与与ABCABC相似？相似？A AB BC CDEA AB BC CD DE E做一做做一做预备定理：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。的延长线）相交，所构成的三角形

17、与原三角形相似。通过今天的学习通过今天的学习,我们已经有几种方法可以证明两个三角我们已经有几种方法可以证明两个三角形相似形相似?利用定义利用定义:(涉及条件太多涉及条件太多,一般不一般不选用选用)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 1：两角对应相等，两三角两角对应相等，两三角形相似形相似母子相似定理：母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。两个直角三角形和原三角形相似。1、已知：如图，在、已知：如图，在ABC中，中，AD、BE分别是分别是BC、AC上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。（2）图中还有与）图中还有与AEF

18、相似的三角形吗？请一一写出相似的三角形吗？请一一写出。（1）求证：）求证：AEFADC；ABCDEFAFEDC答答:有有AEFADCBECBDF.B BC CD DA AE EF F2.已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中，AD/EF/BC,AD=5，EF=14，DF:FC=3:2.求求BC的长的长3 3、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABCABC的顶角的顶角A=36A=360 0，BDBD是是ABCABC的平分线，判断点的平分线，判断点D D是不是线段是不是线段ACAC的黄金分割点，并的黄金分割点，并说明理由。说明理由。A AB BC CD D4.已知，在梯形已知，在梯形A

19、BCD中，中，AD平行与平行与BC，AB=DC=AD=6，ABC=60度，点度，点E.F分别在线段分别在线段AD.DC上（点上（点E与与AD不重合），且不重合），且BEF=120度，度，设设AE=x,DF=y.（1）求与的函数表达式。）求与的函数表达式。（2）当）当x为何值时，为何值时，y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？4.44.4两个三角形相似的判定两个三角形相似的判定 2、三角形的中位线、三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三原三角形角形是否相似？是否相似？相似比是多少？相似比是多少？1、相似三角形的定义？、相似三角形的定义？ABCDE三角三角对应相等对应相等,三边

20、三边对应成比例对应成比例的两个三角形的两个三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.ABCDEABCDEABCDE结论：结论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图在如图在ABC中中,点点D,E分别分别在在AB,AC上上,且且DE/BC,则则ADE与与ABC相似吗相似吗?(1)议一议议一议:这两个三角形这两个三角形的三个内角是否对应相等的三个内角是否对应相等?(2)量一量：量一量：这两个三角形的这两个三角形的边长边长,它们是否对应成比例它们是否对应成比例?(3)平

21、行移动平行移动DE的位置再试一试的位置再试一试.平行于三角形一边的直线和其平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理DE/BC几何语言叙述：几何语言叙述：ADEABCABCDEABCDE如图如图,已知已知DE BC,DF AC,请尽可能多地找出图中的相请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。似三角形，并说明理由。ABCDFEABC 如图如图 ABC 和和 ABC中中,A=A,B=B .问问ABC与与ABC是否相似是否相似?ABCACC/B/BA/如如果果一一个个三三

22、角角形形的的两两个个角角与与另另一一个个三三角角形形的的两两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个角对应相等，那么这两个三角形相似。已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/中中,求证求证:ABC A/B/C/,BBAA=证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/C/B/D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。A/B/C/ABC A DE A/B/C/，AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，AD

23、E=B/，又又 B/=B，ADE=B，判定定理判定定理1 1：有有两个角对应相等的两个三角形相似。角对应相等的两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。例例1 1、已知：、已知：ABCABC和和DEFDEF中，中，A=40A=400 0，B=80B=800 0，E=80E=800 0，F=60F=600 0。求证：。求证：ABCDEFABCDEF 证明：证明：在在ABCABC中中,A=40,A=400 0，B=80B=800 0，C=180C=1800 0A A B B60600 0 在在DEFDEF中，中，E=80E=800 0，F=60F=600

24、 0 B=E B=E，C=FC=F ABCDEF ABCDEFC CB BA AD DF FE E（两角对应相等，两三角形相似）（两角对应相等，两三角形相似）1 1、如图：已知，在、如图：已知，在ABCABC中，其中中，其中ADE=CADE=C，求证：求证：ABCADEABCADE，A AE ED DC CB B证明：在证明：在ABC ABC 和和ADEADE，A=AA=AADE=CADE=C，ABCADEABCADE)(练一练练一练（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）2 2、如图，已知在、如图，已知在ABCABC中，中，P P是是ABAB上的一点，连接上的一点，连接CPCP，使得

25、，使得ACP=BACP=B，求证：求证：ACPABCACPABC证明：在证明：在ACP ACP 和和ABCABC中中A=AA=AACP=BACP=B，ACPABCACPABCA AB BC CP P)(（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）ABCDP已知已知:在圆在圆O O中中,弦弦ACAC和弦和弦BDBD相交于点相交于点P.P.(1)(1)求证：求证：APDBCP.APDBCP.（2 2）求证：求证：PAPAPC=PBPC=PBPDPDO(3)(3)如图，若如图，若ACAC为直径，为直径，弦弦BDACBDAC于于P P，OCOC交交ABAB 于于D D，BDBD=6cm=6cm，A

26、PAP=1cm.=1cm.求求OO的半径的半径.ADBCOP 例例2在一次数学活动课上，为了测量河宽在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的，张杰采用了如下的方法（如图）从方法（如图）从A处沿与处沿与AB垂直的直线方向走垂直的直线方向走40米到达米到达C处，插处，插一根标竿，然后沿同方向继续走一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达米到达D处，再向右转处，再向右转90度走度走到到E处，使处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得三点恰好在一条直线上，量得DE20米，这米，这样就可以求出河宽样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。，请你算出结果（要求写出解题过程）。A

27、BDCEABDEO方法二方法二方法一方法一CDFCABD 求证：求证：(1)ABCCBDACD已知：已知：Rt ABC中，中，ACB90，CD AB .此结论可以称为此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用今后可以直接使用.（3）若）若BC=4,DB=3,求求AB的长。的长。2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=12AB=12，AC=10AC=10，点，点D D、E E分别是分别是边边ABAB、ACAC上的点，上的点，AD=6AD=6，连结，连结DEDE，当，当AEAE的长具备怎样的长具备怎样的条件时，的条件时，ADEADE与与ABCA

28、BC相似？相似？A AB BC CDEA AB BC CD DE E做一做做一做预备定理：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。通过今天的学习通过今天的学习,我们已经有几种方法可以证明两个三角我们已经有几种方法可以证明两个三角形相似形相似?利用定义利用定义:(涉及条件太多涉及条件太多,一般不一般不选用选用)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 1：两角对应相等，两三角两角对应相等，两三角形相似形相似母子相似定理：母子相似定理：直角三角形被斜边上的

29、高分成的直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。两个直角三角形和原三角形相似。1、已知：如图，在、已知：如图，在ABC中，中，AD、BE分别是分别是BC、AC上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。（2）图中还有与）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出相似的三角形吗？请一一写出。（1）求证：）求证：AEFADC；ABCDEFAFEDC答答:有有AEFADCBECBDF.B BC CD DA AE EF F2.已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中，AD/EF/BC,AD=5，EF=14，DF:FC=3:2.求求BC的长的长3 3、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABCABC的顶角的顶角A=36A=360 0，BDBD是是ABCABC的平分线，判断点的平分线，判断点D D是不是线段是不是线段ACAC的黄金分割点，并的黄金分割点，并说明理由。说明理由。A AB BC CD D4.已知，在梯形已知，在梯形ABCD中，中，AD平行与平行与BC，AB=DC=AD=6，ABC=60度，点度，点E.F分别在线段分别在线段AD.DC上（点上（点E与与AD不重合），且不重合），且BEF=120度，度，设设AE=x,DF=y.（1）求与的函数表达式。）求与的函数表达式。（2）当）当x为何值时，为何值时，y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？