2020版人教A版高中数学选修2-2ppt课件：1.3.1-函数的单调性与导数.ppt

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1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数主题主题1 1函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系1.1.观察下面函数的图象观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正探讨函数的单调性与其导数正负的关系负的关系,(1)(1)观察图象观察图象,完成下列填空完成下列填空.图图中的函数中的函数y=xy=x的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调递增此函数的单调递增区间为区间为_;_;图图中的函数中的函数y=xy=x2 2的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调递此函数的单调递增区间为增区间为_,_,单调递减区间为单调递减区间为_._

2、.1 1(-,+)(-,+)2x2x(0,+)(0,+)(-,0)(-,0)图图中的函数中的函数y=xy=x3 3的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调递增此函数的单调递增区间为区间为_;_;图图中的函数中的函数y=y=的导函数的导函数y=y=_,此函数的单调递此函数的单调递减区间为减区间为_._.3x3x2 2(-,+)(-,+)(-,0),(0,+)(-,0),(0,+)(2)(2)根据根据(1)(1)中的导函数与单调区间之间的关系中的导函数与单调区间之间的关系,思考函思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系数的单调性与导函数的正、负有什么关系?提示提示:根据根据(1)(1)中的结

3、果可以看出中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的单调区间与导函数的正负有关函数的正负有关,当导函数在某区间上大于当导函数在某区间上大于0 0时时,此时对此时对应的函数为增函数应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于当导函数在某区间上小于0 0时时,此时此时对应的函数为减函数对应的函数为减函数.2.2.观察下图观察下图,请完成下表请完成下表:区区间间(-,a)(-,a)(a,b)(a,b)(b,+)(b,+)y=f(x)y=f(x)增增_增增切切线线斜率斜率_负负_f(x)f(x)_00减减正正正正0000f(x)0单调递单调递_f(x)0f(x)0,(x)=1+0,故函数在故函数在(0,6

4、)(0,6)上单调递增上单调递增.2.2.已知函数已知函数f(x)=+ln x,f(x)=+ln x,则有则有()A.f(2)f(e)f(3)A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)f(2)D.f(e)f(3)0,0,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,所以有所以有f(2)f(e)f(2)f(e)f(3).0;,y0;当当x(0,1)x(0,1)时时,y0,y0 x0时时,函数增长的快慢与各函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比函数的导数

5、值的大小作对比,你发现了什么你发现了什么?提示提示:增长速度快的增长速度快的,导函数值大导函数值大,增长速度慢的增长速度慢的,导函导函数值小数值小.结论结论:函数变化的快慢与导数间的关系函数变化的快慢与导数间的关系 一般地一般地,如果一个函数在某一范围内导数的如果一个函数在某一范围内导数的_,_,那么函数在这个范围内变化得快那么函数在这个范围内变化得快,这时这时,函数函数的图象就比较的图象就比较“陡峭陡峭”(向上或向下向上或向下););反之反之,函数的图函数的图象就象就“平缓平缓”.绝对绝对值较大值较大导导数符号数符号导导数数变变化化原函数原函数图图象象变变化化大于大于0 0为为正正导导数越来

6、越数越来越_越来越陡峭越来越陡峭导导数越来越数越来越_越来越平越来越平缓缓小于小于0 0为负为负导导数越来越数越来越_越来越平越来越平缓缓导导数越来越数越来越_越来越陡峭越来越陡峭大大小小大大小小【对点训练对点训练】1.1.函数函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则导函数则导函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象可能是可能是()【解析解析】选选D.D.从原函数从原函数y=f(x)y=f(x)的图象可以看出的图象可以看出,其在区其在区间间(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数,f(x)0;,f(x)0;,f(x)0;在区间在区间(x(x1 1,x,x2 2)上是减函数上是减函数

7、,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.结合选项可知结合选项可知,只有只有D D项满足项满足.2.2.已知导函数已知导函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,请根据图象写请根据图象写出原函数出原函数y=f(x)y=f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是_._.【解析解析】从图象可知从图象可知f(x)0f(x)0的解为的解为-1x2-1x5,x5,所所以以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-1,2),(5,+).(-1,2),(5,+).答案答案:(-1,2),(5,+)(-1,2),(5,+)类型一函数单调区间的判断及求解类型一函数单调区间的判断及求解【典

8、例典例1 1】(1)(1)设设f(x)=x-sin x,f(x)=x-sin x,则则f(x)f(x)()A.A.既是奇函数又是减函数既是奇函数又是减函数B.B.既是奇函数又是增函数既是奇函数又是增函数C.C.是有零点的减函数是有零点的减函数D.D.是没有零点的奇函数是没有零点的奇函数(2)(2)求函数求函数f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ln x-2ln x的单调区间的单调区间.【解题指南解题指南】(1)(1)利用奇偶性的定义判断利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin xf(x)=x-sin x的奇偶性的奇偶性,利用导数判断其单调性利用导数判断其单调性.(2)(2)先求导先求导,令导

9、函数值大于令导函数值大于0,0,得到增区间得到增区间,令导函数值令导函数值小于小于0,0,得到减区间得到减区间.【解析解析】(1)(1)选选B.B.因为因为f(-x)=-x-sin(-x)f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),=-(x-sin x)=-f(x),所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数.又又f f(x)=1-cos x0,(x)=1-cos x0,所以所以f(x)f(x)单调递增单调递增,选选B.B.(2)f(x)=3x(2)f(x)=3x2 2-2ln x-2ln x的定义域为的定义域为(0,+(0,+),),则则f f(x)=(x)=由由f f

10、(x)0(x)0得得6x6x2 2-20,-20,即即x x2 2 则则x x 或或x-(x-(舍舍).).所以递增区间为所以递增区间为 由由f f(x)0(x)0得得6x6x2 2-20,-20,即即 ,则则 x ,x0,x0,所以所以0 x ,0 x0f(x)0或或f(x)0.f(x)0,y0,得得x-x1,x1,所以函数的单调递增区间为所以函数的单调递增区间为 和和(1,+).(1,+).2.2.函数函数f(x)=x-2sin xf(x)=x-2sin x在在(0,)(0,)上的单调递增区间为上的单调递增区间为_._.【解析解析】令令f f(x)=1-2cos x0,(x)=1-2cos

11、 x0,则则cos x ,cos x ,又又x(0,x(0,),),解得解得 xx0a0时时,f,f(x)=x+0(x)=x+0恒成立恒成立,这时函数只有单调这时函数只有单调递增区间为递增区间为(0,+(0,+););当当a0a0,(x)=x+0,得得x x 由由f f(x)=x+0,(x)=x+0,得得0 x 0 x 所以当所以当a0a0a0时时,单调增区间为单调增区间为(0,+(0,+),),无单调减区间无单调减区间;当当a0a0,(x)0,解得解得x-1x1;x1;由由f f(x)0,(x)0,解得解得-1x1,-1x0,0,得得x-1;x-1;令令y y0,0,得得x-1.x-1.因此

12、因此,y=xe,y=xex x的单调递增区间为的单调递增区间为(-1,+(-1,+),),单调递减区间为单调递减区间为(-(-,-1).,-1).类型二原函数与导函数图象间的关系类型二原函数与导函数图象间的关系【典例典例2 2】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)函数函数y=-xy=-x4 4+x+x2 2+2+2的图象的图象大致为大致为()(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域 内可导内可导,其图象如图其图象如图,记记y=f(x)y=f(x)的导函数为的导函数为y=f(x),y=f(x),则不等式则不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为_._.【解题指南解

13、题指南】(1)(1)利用导数的符号判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的单调性.(2)(2)当函数单调递减时当函数单调递减时f(x)0,f(x)0,y0,解得解得x-x-或或0 x ,0 x ,令令y0,y x 或或-x0,-x0,所以函数所以函数y=-xy=-x4 4+x+x2 2+2+2在在 上单上单调递增调递增,在在 上单调递减上单调递减,所以选所以选D.D.(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间 和区间和区间(2(2，3)3)上单调递减上单调递减,所以在区间所以在区间 和区间和区间(2(2，3)3)上上,y=f,y=f(x)0,(x)0,所以所以f f(x)0(x)

14、0,f(x)0,则则y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上单调递上单调递增增;如果如果f(x)0,f(x)0-a0恒成立恒成立,即即f(x)f(x)在在R R上递增上递增;若若a0,ea0,ex x-a0-a0e ex xaaxln a.xln a.所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(ln a,+(ln a,+).).(2)(2)因为因为f(x)f(x)在在R R内单调递增内单调递增,所以所以f f(x)0(x)0在在R R上恒成立上恒成立.所以所以e ex x-a0,-a0,即即aeaex x在在R R上恒成立上恒成立.所以所以a(ea(ex x)minmin,又因为又因为e ex x0,0,所以所以a0.a0.【知识思维导图知识思维导图】