线性代数-特征值问题和特征向量.ppt

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1、第四章第四章1 本章介绍矩阵的特征值、特征向量以本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。及矩阵的对角化问题。2第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义定义一、特征值与特征向量的基本概念一、特征值与特征向量的基本概念例如，例如，3一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：说明说明 1 1、特征值问题是针对、特征值问题是针对方阵方阵而言的；而言的；2 2、特征向量必须是、特征向量必须是非零非零向量；向量；3 3、特征向量既依赖于矩阵、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值又依赖于特征值 4二、特征值与特征向量的求法二、特征

2、值与特征向量的求法 记记称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式，为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程。5的根，即为矩阵的根，即为矩阵A的特征值。的特征值。特征方程特征方程即齐次线性方程组即齐次线性方程组的非零解。的非零解。而而矩阵矩阵A属于特征根属于特征根 的特征向量的特征向量计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：6例例1 设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解所以所以A的特征值为的特征值为 7相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为8相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为9相应齐次线性方程组

3、的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为10例例2解解所以所以A的特征值为的特征值为 设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。11相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为12相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为13 对角阵、上三角阵对角阵、上三角阵、下三角阵，下三角阵，它它们们的特征的特征值值即即为为主主对对角元。角元。14三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 性质性质1 1证证(2)可推广到多个特征向量可推广到多个特征向量.15 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。线

4、性无关。性质性质2 2属于不同特征值的特征向量线性无关。属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况只证两个特征向量的情况.证证(1)(2)推广推广16性质性质3 3证证从而有相同的特征值从而有相同的特征值.注意注意:17性质性质4 4证证(2)重复这个过程重复这个过程,可得可得18性质性质4 4证证(3)19例例3多项式多项式证略证略例如例如,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,则则 有一个特征值有一个特征值 7.例例4证证幂等矩阵幂等矩阵20例例3多项式多项式证略证略例如例如,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,2,则则 有一个特征值有一个特征值 7.例例4幂等矩阵幂等矩阵练习练习:21例例5解解由性质由性质4,4,事实上，由事实上，由可得可得22四、特征多项式的性质四、特征多项式的性质 中出现中出现,故有故有而而常数项等于常数项等于所以所以23比较系数得比较系数得性质性质5 5推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零的特征值全不为零.24例例6解解25矩阵的迹的性质矩阵的迹的性质 证略。证略。作业：习题四，作业：习题四，1、4、626END27