线性代数行列式习题.pptx

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1、线性代数行列式行列式习题课习题课性质性质1 1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。推论：推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。性质性质2 2：互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。推论推论2 2：若行列式中某一行若行列式中某一行(列列)的元素全为零，则此行的元素全为零，则此行 列式等于零。列式等于零。性质性质5 5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和之和,则则 此行列式等于两个行列式之和。此行列式等于两个行列式之和。性质性质3 3：行列式

2、的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式。乘此行列式。性质性质4 4：若行列式中有两行若行列式中有两行(列列)成比例成比例,则此行列式等于零。则此行列式等于零。推论推论1 1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。以提到行列式符号的外边。温故而知新：行列式的性质温故而知新：行列式的性质性质性质6 6：把行列式的某一行把行列式的某一行 （列）的各元素乘以同一数，（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去然后加到另一行（列）对应的元素上

3、去,行列式不变行列式不变.熟记行列式按行（列）展开定理熟记行列式按行（列）展开定理 行列式的计算方法行列式的计算方法*用定义直接计算用定义直接计算*用三角法计算用三角法计算*用降阶法和递推法计算用降阶法和递推法计算例例 计算计算分析：分析：能否利用主对角线的能否利用主对角线的1 1，分别将其下方的，分别将其下方的x x 都消去？都消去？后续步骤很难进行！后续步骤很难进行！能否利用各列中的能否利用各列中的x x，分别将其余的，分别将其余的x x 都消去？都消去？已经可以按第一列展开了，但后续步骤仍难进行！已经可以按第一列展开了，但后续步骤仍难进行！技巧技巧能否再将尽量多的能否再将尽量多的1 1

4、消去？消去？此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已是简单的行列式了。是简单的行列式了。通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式的行列式的关系式-递推关系式，然后由递推关系式递推关系式，然后由递推关系式求解其值。求解其值。按第一列展开按第一列展开 递推法递推法 ：例例 范德蒙（范德蒙（VandermondeVandermonde）行列式）行列式 证明思路证明思路 ：用递推法结合数学归纳法；祥见教材第用递推法结合数学归纳法；祥见教材第1818页。页。说明说明 ：范德蒙（范德蒙（Vandermond

5、eVandermonde）行列式的结论是个重要）行列式的结论是个重要结论，以后可以直接运用之；结论，以后可以直接运用之；高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家在练习中不断总结、积累经验。在练习中不断总结、积累经验。1.1.第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否推广至四元、五元推广至四元、五元乃至乃至n n元的线性方程组的求解？元的线性方程组的求解？一、问题的提出：一、问题的提出：根据此模式可否推出根据此模式可否推出n个个未知数未知数n个方程的线性方个方程的线性方程组解的情形程组解的情形?2 2、由三

6、元线性方程组所作的讨论可知、由三元线性方程组所作的讨论可知,若线性方程若线性方程 组的系数行列式组的系数行列式 则解可表示为则解可表示为7 7 克拉默(Cramer)法则二、二、含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组(1)系数行列式记为系数行列式记为D（略）（略）与二、三元线性方程组相与二、三元线性方程组相类似类似,它的解可以用它的解可以用 n阶行阶行列式表示列式表示!是是D中第中第j列元素换成常列元素换成常数项所得数项所得.【定理定理1.4】若线性方程组若线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则存在唯一解则存在唯一解.即即 证明思想：证明思想：用用D中第中

7、第j列的各元素的代数余子式列的各元素的代数余子式依次乘方程组依次乘方程组(1)(1)的第的第1 1、第第2 2、第第n个方程个方程,再将等式两端相加、整理，有：再将等式两端相加、整理，有：用行列式展开用行列式展开法则可得到什法则可得到什么样的结论么样的结论?即即 例例1 解线性方程组解线性方程组解解:按按 列展开列展开=27利用公式利用公式 同理可求同理可求:印象印象:克拉默法则只适用于克拉默法则只适用于包含包含n个未知量个未知量n 个方程个方程,并且系数并且系数行列式不为零行列式不为零的线性的线性方程组方程组.用克用克拉默拉默法则求解线性方程组法则求解线性方程组,在一般在一般情况下情况下,要

8、计算要计算n+1+1个个n阶行列式阶行列式,计算量计算量很大很大.关于齐次线性方程组的说明关于齐次线性方程组的说明:当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 不全为不全为0 0时时,线性方程组线性方程组(1)(1)叫做叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组.(1)当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 全为全为0 0时时,线性方程组线性方程组(2)(2)叫做叫做齐次线性方程组齐次线性方程组.(2)一定是一定是(2)(2)的解的解,这个解叫做这个解叫做齐次线性方程组齐次线性方程组(2)(2)的的零解零解.如果一组不全为零的数是如果一组不全为零的数是(2)(2)的解的解,则这个解则

9、这个解叫做齐次线性方程组叫做齐次线性方程组(2)(2)的的非零解非零解.方程组（方程组（2）一定）一定有零解，但不一定有零解，但不一定有非零解！有非零解！【定理定理1.5】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 则该齐次线性方程组则该齐次线性方程组(2)(2)没有非零解，即只有零解没有非零解，即只有零解.等价命题等价命题:如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)有非零解，则该齐次有非零解，则该齐次线性方程组的系数行列式必为零。线性方程组的系数行列式必为零。例例2 问问 为何值时，齐次线性方程组为何值时，齐次线性方程组有非零解有非零解?分析分析:如果齐次线性

10、方程组有非零解，则系数行列式如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0=0。由由D=0=0不难验证：将不难验证：将2，5，8代入齐次代入齐次线性方程组确有非零解线性方程组确有非零解例例3 3 已知三次曲线已知三次曲线通过四点通过四点其中其中 互不相同，求该曲线的方程互不相同，求该曲线的方程解解:将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于的非齐次线性方程组。的非齐次线性方程组。系数行列式是范德蒙行列式，系数行列式是范德蒙行列式，根据克拉默法则，可求得三次根据克拉默法则，可求得三次曲线方程的系数！曲线方程的系数！？三、问题与思考 1 1、如果线

11、性方程组（如果线性方程组（1 1）无解或有多个不同）无解或有多个不同 的解，则它的系数行列式一定为零吗？的解，则它的系数行列式一定为零吗？2 2、定理（定理（1.51.5）说明系数行列式）说明系数行列式D D=0=0是齐次线性是齐次线性方程组有非零解的必要条件，是否也是充分条件方程组有非零解的必要条件，是否也是充分条件呢？呢？3 3、在一般情况下，用法则求、在一般情况下，用法则求n n元线性方程组元线性方程组要计算要计算n+1n+1个个n n阶行列式，计算量很大，可否有阶行列式，计算量很大，可否有更简便的计算方法求解？更简便的计算方法求解？问题与思考答案:1 1、如果线性方程组（、如果线性方程

12、组（1 1）无解或有多个不同的解，）无解或有多个不同的解，则它的系数行列式一定为零则它的系数行列式一定为零.此结论是克拉默此结论是克拉默法则的逆否定理。法则的逆否定理。2 2、定理（、定理（1.51.5）说明系数行列式）说明系数行列式D=0D=0是齐次线性方是齐次线性方程组有非零解的必要条件，也是充分条件。程组有非零解的必要条件，也是充分条件。3 3、在一般情况下，用法则求、在一般情况下，用法则求n元线性方程组要计元线性方程组要计算算n+1+1个个n阶行列式，计算量很大，在第四章有更阶行列式，计算量很大，在第四章有更简便的计算方法。简便的计算方法。四、四、小结小结克拉默法则克拉默法则（未知数个

13、数（未知数个数=方程个数方程个数）【1】若线性方程组若线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 ,则存在唯一解则存在唯一解.【2】若线性方程组若线性方程组(1)(1)无解或有多个不同的解，无解或有多个不同的解，则系数行列式则系数行列式 【3】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 ,则存在唯一零解则存在唯一零解.【4】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)有非零解，有非零解，则系数行列式则系数行列式 五、练习题 1 1、用克拉默法则解下列方程组、用克拉默法则解下列方程组:2 2、问、问 为何值时为何值时,齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解?3

14、、求一个二次多项式、求一个二次多项式f(x)使使 f(1)=-1,f(-1)=9,f(2)=-3.练习题答案练习题答案1 1、2 2、3 3、逆序数逆序数 奇偶排列奇偶排列性质性质1、2、3 n阶行列式阶行列式 性质性质1、2、3、4、5、6性质性质7克拉默法则克拉默法则一、知识网络图一、知识网络图展开定理展开定理推论推论一、逆序数一、逆序数 2、定理：、定理：A、对换改变排列的奇偶性。、对换改变排列的奇偶性。1、定义：排列的逆序总和称为该排列的逆序数。、定义：排列的逆序总和称为该排列的逆序数。C、任意一个、任意一个n级排列经过一系列对换级排列经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换次数的变

15、成自然排列，并且所作对换次数的 奇偶性与这个排列的奇偶性相同。奇偶性与这个排列的奇偶性相同。B、N级全排列中（级全排列中（n 2），奇偶各占一半），奇偶各占一半 二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义 二、基本理论二、基本理论性质性质1 1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。推论：推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零 性质性质2 2：互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。返回返回性质性质4：若行列式中某一行若行列式中某一行(列列)的元素全为零，则此行的元素全为零，则此行 列式等

16、于零。列式等于零。性质性质3 3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数一数k，等于用数，等于用数K K乘此行列式。乘此行列式。推论推论2 2：若行列式中有两行若行列式中有两行(列列)成比例成比例,则此行列式则此行列式 等于零。等于零。推论推论1 1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。以提到行列式符号的外边。三、行列式的性质三、行列式的性质性质性质6 6：把行列式的某一行把行列式的某一行 （列）的各元素乘以同一数，（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去然

17、后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变行列式不变.展开定理及推论：展开定理及推论：1 1、三角行列式（上三角、下三角、逆三角）、三角行列式（上三角、下三角、逆三角）2 2、重要行列式重要行列式 :D=3 3、范德蒙行列式、范德蒙行列式四、克拉默法则四、克拉默法则（未知数个数（未知数个数=方程个数方程个数）【1】若线性方程组若线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 ,则存在唯一解则存在唯一解.【2】若线性方程组若线性方程组(1)(1)无解或有多个不同的解，无解或有多个不同的解，则系数行列式则系数行列式 【3】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 ,则

18、存在唯一零解则存在唯一零解.【4】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)有非零解，有非零解，则系数行列式则系数行列式 三、行列式的计算三、行列式的计算 三角法三角法 ：根据行列式的特点，利用行列式的性根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。降阶法降阶法 ：利用行列式按行（列）展开法则降阶，利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。结合化简性质运用。递推法递推法 ：通过降阶法建立起行列式与其同形的通过降阶法建立起行列式

19、与其同形的较低阶的行列式的关系式较低阶的行列式的关系式-递推关系式，然后由递推关系式，然后由递推关系式求解其值。递推关系式求解其值。三种常用方法三种常用方法定义法定义法展开式中展开式中,有几有几项含项含x3？它们？它们是哪几个元素是哪几个元素的乘积？的乘积？例例1解解:分析分析：观察此行列式的特点，其中观察此行列式的特点，其中3 3特别多，而第三行特别多，而第三行都是都是3 3，所以我们何不用第三行去减其它行呢，这样我们，所以我们何不用第三行去减其它行呢，这样我们就可以得到很多零，不妨一试。就可以得到很多零，不妨一试。例例2 计算计算n(n 3)阶行列式阶行列式各行减第三行各行减第三行各列减第

20、三列各列减第三列解解:例例3 求求 的值。的值。解：解：技巧技巧:当行列式的各列当行列式的各列(行行)的所有元素之和相等时的所有元素之和相等时,可将可将各列各列(行行)的元素都加到第一列的元素都加到第一列(行行)的元素上去的元素上去.例例4 求求 的值。的值。分析：分析：我们将行列式按第五列展开得我们将行列式按第五列展开得y3 3的系数即为原行列式的的系数即为原行列式的值，由范德蒙行列式我们也得到值，由范德蒙行列式我们也得到y3 3的系数而两系数应对的系数而两系数应对应相等应相等.此行列式非常像我们的范德蒙行列式，但又少了此行列式非常像我们的范德蒙行列式，但又少了点东西，点东西，少了？少了？补

21、上！补上！我们可以试试补成范德蒙行列式我们可以试试补成范德蒙行列式解：解：因为因为由范德蒙行列式展开由范德蒙行列式展开按第按第5 5列展开列展开例例5a为何值时，方程组有非零解？为何值时，方程组有非零解？解解此方程组是否有非零解，取决于其系数行列式是此方程组是否有非零解，取决于其系数行列式是否为否为零零。而。而？所以当所以当a=4或或a=3或或a=2时，方程组有非零解。时，方程组有非零解。范德蒙行范德蒙行列式！列式！证：证：第一列乘以第一列乘以100100，第二列乘以，第二列乘以1010都加到第三列，得：都加到第三列，得：由行列式的定义知，此行列式的每一项均含有由行列式的定义知，此行列式的每一

22、项均含有222222，407407，185185中的某一个数，中的某一个数，而由已知条件知而由已知条件知222222，407407，185185三个数都可以被三个数都可以被3737整除，整除，也可以被也可以被37整除整除.故行列式故行列式:已知已知222，407，185三个数都可以被三个数都可以被37整除，不求行列整除，不求行列式的值，证明：式的值，证明：也可以被也可以被3737整除整除.例例6，其中，其中 P27-8-6 本章重点是行列式的计算，有关行列式的计算方法本章重点是行列式的计算，有关行列式的计算方法 很多，咱们只学习了最基本的几种，但是这些方法很多，咱们只学习了最基本的几种，但是这些方法 归结起来是源于行列式的归结起来是源于行列式的定义及性质定义及性质，只要我们理解，只要我们理解 好定义及性质再加上大量的练习，我们就能掌握的很好定义及性质再加上大量的练习，我们就能掌握的很 好。好。（注意方法的归纳）（注意方法的归纳）四、小结四、小结作业：作业：P28P28、10(1)，11，12 及及CH1大作业大作业下节内容：下节内容：CH2 1CH2 1、2 2请大家做好预习！请大家做好预习！