线性代数PPT课件第五章特征值与特征向量.ppt

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1、第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量第一节第一节 特征值与特征向量特征值与特征向量 本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非非零零向向量量,以及该以及该倍数倍数.如取如取 定义定义1（特征值与特征向量特征值与特征向量）设）设 是是 n 阶方阵，阶方阵，若存在数若存在数 和和非零非零向量向量 ，使得，使得 则则 称为称为 的的 特征值特征值，称为称为 的属于的属于(或对或对应于应于)的的特征向量特征向量.(1)(1)可写成可写成 注意注意:特征值与特征向量是针对方阵定义的特征值与特征向量是针对方阵定义的.另另外零向量总满足外零向量总满足(1)式，但不是

2、特征向量式，但不是特征向量.设设 对于固定的对于固定的 ,(2)是关于是关于 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 (2)(2)特征特征值可能是可能是复数复数.(3)是关于是关于 的一元的一元 n 次次 方程方程,称称为方方阵的的特征方程特征方程，而它左端的，而它左端的n 次多次多项式式称称为的的特征多特征多项式式.表明表明的特征的特征值是特征方程是特征方程(3)的根的根.n 阶方阵阶方阵 恰有恰有n 个特征值个特征值.但需注意但需注意两点两点：(1)n 个特征值中有可能有相同的，称为个特征值中有可能有相同的，称为重特征重特征值值，即是特征方程的重根

3、，即是特征方程的重根.如单位矩阵如单位矩阵.如如的特征的特征值为 根据多根据多项式理式理论，实矩矩阵的复特征的复特征值是成是成对出出现的的.性性质 1 设是是的的n 个特征个特征值，则则 证明证明由条件知由条件知 令令 ,即得即得(i).另一方面，由行列式定另一方面，由行列式定义，中含有中含有的的项只出只出现在：在：中，故中，故(ii)成立成立.推推论方方阵可逆当且可逆当且仅当它的特征当它的特征值全不全不为0.性性质 2 属于属于 的特征向量的的特征向量的非零非零线性性组合仍合仍为属于属于 的特征向量的特征向量.性质性质 3 设设 为为 的属于的属于 的特征向量的特征向量,性性质4 4 设分分

4、别是是 的属于互不的属于互不的特征向量，的特征向量，则线性无关性无关.相同的特征值相同的特征值证明明 归纳法法.当当 ，结论成立成立.时,设时结论成立，当成立，当设),()(,)(1010特征向量特征向量.仍为其仍为其的特征值为的特征值为则则l lXfAaAaEaAfxaxaaxfssss+=+=LLLL则 ，即，即 （2 2）将（将（1 1）式乘以）式乘以，再减去（，再减去（2 2）式得）式得因为因为线性无关，故线性无关，故 而而 代入（代入（1）式，得）式，得 因因为所以所以，故，故线性无关性无关.例例求求的的特征特征值和特征向量和特征向量.解解 =对于于解解得基得基础解系解系 属于属于的

5、特征向量全体的特征向量全体为由由 得特征值得特征值，。对于于解解得基得基础解系解系 向量全体向量全体为（不全不全为0）属于属于的特征的特征例例2 2求求的的特征特征值和特征向量和特征向量.解解 =对于于解解得基得基础解系解系 属于属于的特征向量全体的特征向量全体为由由 得特征值得特征值，。对于于解解得基得基础解系解系 属于属于的特征向量全体的特征向量全体为 注意注意：对于重特征值，有可能有重数个线性无关对于重特征值，有可能有重数个线性无关 的特征的特征向量向量，也有可能没有重数个线性无关，也有可能没有重数个线性无关 的特征的特征向量向量.例例 3 已知已知为三三阶方方阵，且，且，和和均不可逆均

6、不可逆.1）证明：明：可逆可逆.2）设求求证明明1）由条件知）由条件知故故1，2，3 均均为的的特征特征值，所以，所以不是不是的的特征特征值.因而因而 则2).设的三个特征的三个特征值为设设第二节第二节 相似矩阵与矩阵对角化条件相似矩阵与矩阵对角化条件 定义定义（相似矩阵相似矩阵）对于）对于 n 阶方阵阶方阵 若存在可逆阵若存在可逆阵 ，使，使 ，则称，则称 相似于相似于 ，记，记作作 .（称为相似变换矩阵）称为相似变换矩阵）相似为一等价关系相似为一等价关系.有如下重要性质有如下重要性质:证明明 若若，则因因为 P 可逆，故可逆，故,其中其中 为初等矩初等矩阵,于是有于是有 表明表明与与 等价

7、等价,故故性性质 1.若若，则 性性质 2 若若，则 证明明 若若，则.故故性性质 3 若若，则.性性质4 4 若若，则与与的特征的特征多多项式相同，从而式相同，从而与与的特征的特征值也相同也相同.故故推推论 若若阶方方阵=则为的所有的所有 特征特征值.证明明由由,则存在存在 ,使使若一矩阵与对角矩阵相似若一矩阵与对角矩阵相似,称此矩阵称此矩阵可对角化可对角化.下面讨论下面讨论矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件.定理定理 5 阶方方阵相似于相似于对角角阵的充要条件是的充要条件是有有个个线性无关的性无关的特征向量特征向量.=；其中；其中为的的个个特征特征值.上式可写成上式可写成，使，使 证明必

8、要性证明必要性.存在存在.记=则成立成立，即即 是是的的特征向量。因特征向量。因为可逆，故可逆，故线性无关性无关.满足足 记将必要性将必要性证明的推明的推导过程倒推上去，即可得程倒推上去，即可得相似于相似于对角角阵。阶方方阵的的个个特征特征值互异，互异，则相似于相似于对角角阵。推论推论5若若有有个个线性无关的性无关的特征向量特征向量充分性充分性若若 注意注意:本推本推论的的逆不成立逆不成立。例如上。例如上节例例1中的中的有有3个个线性无关的性无关的特征向量，故特征向量，故相似于相似于对角角阵。但。但的的3 3个个特征特征值不互异。不互异。例例6证明：若明：若则（）阶方方阵充要条件是：充要条件是

9、：对于于的每个的每个*定理定理6 重重特征特征值都有都有个个线性无关的性无关的特征向量。即特征向量。即 相似于对角阵的相似于对角阵的（）（是是的多的多项式）式）证明明由由，成立，成立.故故 即即（）设有有（）即即若若相似于相似于对角角阵=，则，即，即.于是于是=.类似可得似可得并并易得易得 这样就可以比就可以比较简便地便地计算出算出和和了了.第三第三节.实对称矩称矩阵的的对角化角化一一.向量的内向量的内积与正交矩与正交矩阵则与与的内的内积定定义为：=向量的内向量的内积满足足如下如下性性质:定义定义3（向量内积向量内积）设）设（对称性）称性）；（正定性正定性）（线性性性性）=定定义 4（向量向量

10、长度度）对于于 的的长度度（或（或模模）定定义为：（记作（记作；(正定性正定性）向量的向量的长度度满足足如下如下性性质：；且；且 （齐次性次性）213 3；（Cauchy 不等式不等式）4 4 (三角三角不等式不等式）即即 当当 时，于是引入如下定于是引入如下定义：定定义5（向量的向量的夹角角）对于于当当时，定定义的的夹角角为：若若，则称称与与正交，正交，记为，这时性性质：1 1）2)2)对于于,若若，则.（勾股定理）（勾股定理）长度度为 1 的向量称的向量称为单位向量。非零向量位向量。非零向量的的单位化：位化：几何意几何意义：同方向上的：同方向上的单位向量。位向量。正交向量正交向量组：两两两

11、两正交的一正交的一组非零向量非零向量；标准正交向量准正交向量组：由：由单位向量位向量组成的正交向量成的正交向量组.定理定理 7 若若是是正交向量正交向量组，则线性无关性无关.用用与两与两边作内作内积得：得：证明设证明设 由于由于 两两正交，即得：两两正交，即得：而而，于是，于是故无关故无关.正交基正交基：由正交向量：由正交向量组构成的向量空构成的向量空间的基；的基；标准正交基准正交基(或或单位正交基位正交基)：由：由标准正交向量准正交向量组构成构成 的向量空的向量空间的基的基.定理定理 8 在在中，若中，若 线性无关性无关，则与某个与某个正交向量正交向量组等价等价.且且等价等价证明明 令令 ；

12、（为待定系数），待定系数），要使要使（线性无关）性无关），故，故从而取从而取又从上式可得又从上式可得等价等价.则要求成立要求成立表明表明一般已求得正交向量一般已求得正交向量组与与等价等价.令令 与上式两与上式两边作内作内积得：得：用用由于由于于是可求得于是可求得即即易易见是正交向量是正交向量组，且由，且由与与等价及上式，可得等价及上式，可得与与等价等价.定理定理10 的的证明明给出了将一个出了将一个线性无关的性无关的向量向量组正交化的步正交化的步骤：如果再将正交向量如果再将正交向量组单位化，即令位化，即令 则是是与与等价的等价的标准正交向量准正交向量组.化化为与与等价的等价的标准正交向量准正交

13、向量组的的过程称程称为施密特施密特（Schmidt）正交化方法正交化方法.解解 易见易见例例 7 设设 将将化化为的一个的一个标准正交基。准正交基。，故，故以下将以下将正交化正交化.由上述由上述过程把程把一个一个线性无关的性无关的向量向量组则而且而且令令（考（考虑为什么什么?)?)再令再令则即即为的一个的一个标准正交基准正交基.例例8 设求求与与的的夹角以及与角以及与都都正交的正交的向量向量.解解 设与与都都正交，由正交条件可得方程正交，由正交条件可得方程组：解之得解之得 定定义6（正交矩正交矩阵）设 A A 是方是方阵.若若则称称为 正交矩正交矩阵.其中其中为任意实数为任意实数.是是正交正交

14、阵当且当且仅当当的列向量的列向量组为的的单位正交基位正交基.等价定义等价定义：事实上，设事实上，设，则 定理定理11 若若都是都是阶正交正交阵，则1 12 2 也也是是正交正交阵；4 4证明明 1显然；又由然；又由得得也也是是正交正交阵；3也是正交阵也是正交阵.取行列式得取行列式得得得也也是是正交正交阵.是是正交正交阵的列向量的列向量组是是标准正交的准正交的 的行向量的行向量组标准正交准正交.由由 2 可得可得由以上由以上讨论容易容易验证下面三个下面三个实方方阵都是都是正交正交阵：证明明 因因为是是正交正交阵，由，由3，又又 ，故，故例例 9 设是是正交正交阵，且，且 ,证明：明：（即（即是是

15、的特征值）的特征值）于是于是四四.实对称称阵的的对角化角化设，则其共其共轭向量向量为 若若实矩矩阵A 满足足，则称称为实对称阵为实对称阵.定理定理 4.1 实对称称阵的特征的特征值必必为实数数.定理定理 4.2 实对称称阵的属于不同特征的属于不同特征值的的特征向量相互正交特征向量相互正交.定理定理 4.3 对于任意于任意实对称称阵 A，必存在正交矩，必存在正交矩阵，使得，使得 若若记则即即为 的所有特征的所有特征值.推推论 实对称称阵的的重重特征特征值有有个个线性无关的性无关的特征向量，从而特征向量，从而有有个个单位位正交正交的的特征向量特征向量.求正交矩求正交矩阵使得使得为对角角阵.例例 1

16、0 设设 解解 即例即例1中的中的实对称称阵，它的特征，它的特征值为.属于属于的的特征向量特征向量为，属于属于的的特征向量特征向量为 又在例又在例7中，我中，我们得得的的标准正交特征向量准正交特征向量组：令令即所求的正交矩即所求的正交矩阵.且且为对角角阵.的特征的特征值为-6，3，3,且且 例例 11 已知三阶实对称阵已知三阶实对称阵是是的属于的属于特征特征值的的特征向量，求特征向量，求解解 属于属于特征特征值的的特征向量特征向量都都应与与正交，即有正交，即有 得一特征向量得一特征向量属于属于 3 的另一个与的另一个与和和都都正交的正交的特征向量特征向量可由下式得到：可由下式得到：令令 联立解得立解得为 将正交的将正交的单位化：位化：于是于是 则它它为正交正交阵且且记