线性代数课件第一章.ppt

《线性代数课件第一章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件第一章.ppt（194页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性代数线性代数数学科学学院数学科学学院 陆斌陆斌第一章第一章 行列式行列式第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组

2、的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.列标列标行标行标对角线对角线对角线对角线法则法则法则法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式三阶行列式的计算三阶行列式的计算 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包

3、括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端第二节第二节 全排列及其逆序数全排列及其逆序数一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）

4、.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.3 2 5 1 4于是排列于是排列32514

5、的逆序数为的逆序数为例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性例例2 2 计算下列排列的

6、逆序数计算下列排列的逆序数.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解3 n阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义三、小结三、小结一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排

7、列奇排列二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个

8、项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的

9、 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.三、小结三、小结思考题思考题已知已知思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于4 对对 换换一、对换的定义一、对换的定义二、对换的性质二、对换的性质三、小结三、小结一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一

10、个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对

11、换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应

12、并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项

13、.例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.1.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.5行列式的性质行列式的性质一、

14、行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例二、应用举例三、小结三、小结一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故证毕证毕性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立

15、的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,于是于是则有则有即当即当 时时,当当 时时,例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故证毕证毕性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质

16、行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形

17、行列式，从而算得行列式的值解解例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3证明证明证明证明 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法

18、则三、小结三、小结一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而

19、从而在证一般情形在证一般情形,此时此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则例例1例例2 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得例例3 计算行列式计算行列式解解 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素

20、与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结一、克拉默法则一、克拉默法则7 克拉默法则克拉默法则二、重要定理二、重要定理三、小结三、小结设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐

21、次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也

22、是方程组的也是方程组的 解解.二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零

23、.有非零解有非零解.系数行列式系数行列式例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之

24、间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.三、小结三、小结典型例题典型例题测试题测试题主要内容主要内容第一章第一章 习题课习题课把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 全排列全排列逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列

25、的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法定义定

26、义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换对换n阶行列式的定义阶行列式的定义n阶行列式的性质阶行列式的性质）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开）关于代数余子式的重要性质）关

27、于代数余子式的重要性质克拉默法则克拉默法则克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理定理定理定理定理一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则典型例题典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数解解例例一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为用定义计算（证明）用定义计

28、算（证明）例例用行列式定义计算用行列式定义计算二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式解解评注评注本例是从一般项入手，将行标按标准本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法方法注意注意例例设设证明证明由行列式的定义有由行列式的定义有评注评注本题证明两个行列式相等，即证明两本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列项所带

29、的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法式相等的常用方法利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解解上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数

30、或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算计算解解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行

31、（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的用降阶法计算用降阶法计算例例计算计算解解评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开

32、一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例例证明证明证证用递推法计算用递推法计算例例计算计算解解由此递推，得由此递推，得如此继续下去，可得如此继续下去，可得评注评注用数学归纳法用数学归纳法例例证明证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法评注评注计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算

33、方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数当

34、整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解三、克拉默法则三、克拉默法则解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为证证例例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解例例1313解解第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)二、计算下列行列式二、计算下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)四、证明四、证明(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和测试题答案测试题答案