线性代数课件-绪论.ppt

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1、第一篇第一篇第一篇第一篇线性代数线性代数线性代数线性代数(物理类专业用物理类专业用物理类专业用物理类专业用)高等数学高等数学（第二版）（第二版）第三册第三册线性代数绪论变量之量之间的的线性的关系性的关系线性关系性关系线性方程性方程非非线性关系性关系非非线性方程性方程线性方程性方程组由由线性方程构成的方程性方程构成的方程组，叫，叫线性方程性方程组。备注注页:线性代数的主要内容行列式的定行列式的定义、性、性质与运算；与运算；矩矩阵的定的定义、性、性质与运算；与运算；线性方程性方程组、线性空性空间、线性性变换；欧几理得空欧几理得空间；n元元实二次型；二次型；第一章第一章 行列式行列式 本章主要讨论如

2、下几个问题：本章主要讨论如下几个问题：本章主要讨论如下几个问题：本章主要讨论如下几个问题：1 1 1 1、行列式的概念及性质；、行列式的概念及性质；、行列式的概念及性质；、行列式的概念及性质；2 2 2 2、行列式的计算和展开；、行列式的计算和展开；、行列式的计算和展开；、行列式的计算和展开；行列式是研究线性代数的一个重要工具，行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科及经济管理各个领近代被广泛运用到理工科及经济管理各个领域，有很多问题需要用到域，有很多问题需要用到“行列式行列式”这个数这个数学工具。学工具。二、二、n n阶行列式定义阶行列式定义第一节第一节 n n阶行列式的定

3、义阶行列式的定义一、二、三阶行列式的引入及定义一、二、三阶行列式的引入及定义可用消元法解二元可用消元法解二元线性方程性方程组行列式的概念源于行列式的概念源于对线性方程性方程组的研究：的研究：设有二元有二元线性方程性方程组方程方程组的解的解为由方程由方程组的四个系数确定的四个系数确定.此解的公式不易此解的公式不易记,为便于便于记忆和和应用用,萨鲁斯斯(.)创造性地引造性地引进行列式的行列式的记号号:定义定义定义定义.列标列标行标行标例例例例1 1 1 1主主对角角线次次对角角线对角线法则对角线法则二阶行列式的记忆法二阶行列式的记忆法若若记对于二元于二元线性方程性方程组系数行列式系数行列式 利用二

4、阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组则二元二元线性方程性方程组注意注意 分母都分母都为原方程原方程组的系数行列式的系数行列式.可表达可表达为的解的解例例例例2 2 2 2解解定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为）式称为三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的记忆法三阶行列式的记忆法.列标列标行标行标-对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘上三元素的乘积冠以正号，冠以正号，蓝线上三上三 元素的乘元素的乘积冠以冠以负号号说明说明 1.对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式 2 2.三三阶行列式包括行列式包括3!

5、3!项,每一每一项都是位于不同行都是位于不同行,不同列的三个元素的乘不同列的三个元素的乘积,其中三其中三项为正正,三三项为 负.例例例例3 3 3 3 解解解解按按对角角线法法则，有，有 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元三元线性方程性方程组有唯一解有唯一解且解且解为:为系数行列式系数行列式这里里:则三元三元线性方程性方程组有唯一解有唯一解且解且解为:则三元三元线性方程性方程组有唯一解有唯一解且解且解为:则三元三元线性方程性方程组有唯一解有唯一解且解且解为:行列式的特点：1.3阶行列式是3！个项

6、的代数和。2.每一项是三个元的乘积，这三个元恰好是每行每列各一个。3.每项有确定的符号。引例引例用用1、2、3三个数字，可以三个数字，可以组成多少个没成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法6 种放法种放法.共有共有自然数排列的概念：自然数排列的概念：问题1.定义定义 把把 个不同的元素排成一列，叫做个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的元素的全排列全排列（或排列）（或排列）.例例 2 4 3 14 5 3 2 11 2 3 nn(n 1)1 4级排列；排列；5级排列；排列；n级排

7、列，称排列，称为自然排列自然排列；n级排列。排列。不同不同n级排列的排列的总数数 用用1,2,n这n个数字，可以个数字，可以组成多少个成多少个不同的不同的n级排列排列？共有共有n 种种放放法法n-1 种种放放法法n-2 种种放放法法3 种种放放法法2 种种放放法法1 种种放放法法 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称称这两个数两个数组成一个成一个反反序序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我我们规定各元素之定各元素之间有一个有一个标准次序准次序,n 个个不同的自然数，不同的自然数，规定由小到大定由小到大为标准次序准次序.排列的反序数排列的反序数3 2 5 1 4反反序序反

8、反序序反反序序定义定义 一个排列中所有逆序的一个排列中所有逆序的总数称数称为此排列的此排列的反序数反序数.反序数为奇数的排列称为反序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;反序数为偶数的排列称为反序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性计算排列反序数的方法计算排列反序数的方法方法方法1 1方法方法2 2分分别计算出排列中每个元素的反序数，算出排列中每个元素的反序数，这每个元每个元素的反序数之素的反序数之总和，即分和，即分别计算出每个元素后面算出每个元素后面比它小的数比它小的数码之和即之和即为所求排列的反序数。所求排列的反序数。分分别计算出每个元素前面比它大的数算出每个元素前面比它大的

9、数码之和即之和即为所求排列的反序数所求排列的反序数.例例1 1 求排列求排列 32514的反序数，并的反序数，并讨论奇偶性奇偶性.解解在排列在排列32514中中,3 2 5 1 4逆序数逆序数为3 2 5 1 4逆序数逆序数为此排列此排列为奇排列奇排列.引理:排列经一次互换改变其奇偶性.定理:n各不同自然数的任一排列必可经若干互换变成标准排列,并且互换次数的奇偶性与该排列的奇偶性一致.可以证明n个不同自然数的一切排列中奇偶排列各占一半。中为奇排列时为负号，为偶排列时为正号。每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的反序数为列标排列的反序数为列标排列的反序数为列标排列的反序数为偶排列偶排列奇排列奇排列二、n阶行列式的定义定义定义例例1 1 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中展开式中项的一般形式是的一般形式是所以不所以不为零的零的项只有只有解解