线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化.ppt

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1、2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM只需寻找只需寻找3 对称方阵对角化和二次型化标准形对称方阵对角化和二次型化标准形使使二次型二次型 转换为标准形转换为标准形 正交变换正交变换 要要判断曲线、曲面形状判断曲线、曲面形状只需将曲线、曲面只需将曲线、曲面方程转化为标准方程方程转化为标准方程只需寻找只需寻找 本章中心本章中心2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM本章结构：本章结构：二次型的定义及矩阵表示二次型的定义及矩阵表示 正交向量组正交向量组 特征值与特征向量特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化对

2、称方阵对角化 二次型化标准型二次型化标准型2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM本节重点：本节重点：(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；(2)求正交变换将二次型化为标准形。求正交变换将二次型化为标准形。复习复习n 阶阶矩阵矩阵 A 可对角化可对角化A有有n 个个线性无关的线性无关的特征向量特征向量.2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM求求n阶特征值和特征向量的方法：阶特征值和特征向量的方法：1.1.求特征多项式求特征多项式就是就是n n阶矩阵阶矩阵A A的特征值；的特征值；2.2.求

3、特征方程求特征方程的根的根的的非零解非零解，3.3.求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组就是就是n n阶矩阵阶矩阵A A的特征向量的特征向量.2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM一、对称矩阵一定能对角化一、对称矩阵一定能对角化引理引理1 1 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.引理引理2 2 对称矩阵的不同特征值的对称矩阵的不同特征值的特征向量正交特征向量正交.推推 论论:对称矩阵的特征向量都是实向量对称矩阵的特征向量都是实向量.r r 重根，则重根，则 特征向量特征向量.r r个线性无关的个线性无关的恰有恰有引理引理3 3 设设A A 为为n n 阶

4、对称矩阵阶对称矩阵,的特征方程的特征方程从而特征值从而特征值2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM分析：分析：（1 1）设）设对称阵对称阵A A有有m m个不同特征值个不同特征值它们的重数依次为它们的重数依次为 （2 2）相应于）相应于恰有恰有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （3 3）为可逆阵，且有为可逆阵，且有2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM 得知对称方阵得知对称方阵A A一定可以对角化一定可以对角化 其中其中2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM定理定理1 1 设设A A 为为n n

5、 阶阶对称矩阵对称矩阵,则必有则必有正交矩阵正交矩阵Q,使使 对称方阵对称方阵A一定可以对角化，而且相似变换一定可以对角化，而且相似变换阵不唯一阵不唯一.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM步骤：步骤：（1 1）设）设对称阵对称阵A A有有m m个不同特征值个不同特征值它们的重数依次为它们的重数依次为 （2 2）相应于）相应于恰有恰有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 ，把它们正交单位化，把它们正交单位化得，（3 3）为正交阵，且有为正交阵，且有2/20/2023 2:24 PM2/20/2

6、023 2:24 PM例例1 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。解：解：（1）A的特征多项式为的特征多项式为故故A的特征值为的特征值为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（2）相应于）相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足例例1 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足例例

7、1 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足例例1 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（3）正交相似变换矩阵取为）正交相似变换矩阵取为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM例例2 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。解：解：（1

8、）A的特征多项式为的特征多项式为故故A的特征值为的特征值为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（2）相应于）相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。例例2 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM相应于相应于无关的特征向量有两个，满足无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足的特征向量满足将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。例例2 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵2/20/2023 2:24 PM2/20/2

9、023 2:24 PM满足满足且正交的特征向量且正交的特征向量可取为可取为单位化得单位化得将对称矩阵将对称矩阵对角化。对角化。例例2 求一求一正交相似变换阵正交相似变换阵2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（3）正交矩阵为）正交矩阵为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM三、正交变换化二次型为标准形三、正交变换化二次型为标准形 总有总有正交变换正交变换 x=Py，使，使 f 化为标准形化为标准形定理定理2 22/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM例例3 3 求一个求一个正交变换正交变换 x=Py，把二次

10、型，把二次型化为化为标准形标准形.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为正交相似变换矩阵取为正交相似变换矩阵取为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM所做所做正交变换正交变换为为x=Qy，即即标准形标准形为：为：2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（1）判断二次曲线）判断二次曲线的形状；的形状；（2）判断二次曲面）判断二次曲面的形状。的形状。下面解决本章第一次课所提的问题：下面解决本章第一次课所提的问题：2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（1）判断二次曲线）判断二次曲线的形状的形状.解：解：令令其矩阵为其

11、矩阵为A A的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为故故故故A A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM相应于相应于相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足相应于相应于相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足2/20/

12、2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为所做所做正交变换正交变换为为二次型的标准形二次型的标准形为：为：二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：为：该曲线为该曲线为双曲线双曲线.2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM（2）判断二次曲面）判断二次曲面的形状的形状.解：解：其矩阵为其矩阵为其矩阵为其矩阵为A A的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为故故故故A A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM相应于相应于相应于相应于无

13、关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足相应于相应于相应于相应于无关的特征向量有两个，满足无关的特征向量有两个，满足无关的特征向量有两个，满足无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足的特征向量满足2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM满足满足满足满足且正交的特征向量且正交的特征向量且正交的特征向量且正交的特征向量可取为可取为可取为可取为单位化得单位化得单位化得单位化得正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵

14、为2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM所做所做正交变换正交变换为为二次型的二次型的标准形标准形为为二次曲面的二次曲面的标准方程标准方程为为二次曲面的二次曲面的形状形状为为旋转双曲面旋转双曲面2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM三、三、Lgrange配方法化二次型为标准形配方法化二次型为标准形 下面介绍一种行之有效的方法下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法拉格朗日配方法 用用正交变换正交变换化二次型为标准形，其特点化二次型为标准形，其特点是是保持几何形状不变保持几何形状不变 问题：有没有其它方法，也可以把二次问题：有没有其它方

15、法，也可以把二次型化为标准形？（不要求形状不变）型化为标准形？（不要求形状不变）2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM拉格朗日配方法的步骤：拉格朗日配方法的步骤：1.1.若二次型含有若二次型含有的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，的乘积项集中，然后配方，进行，进行，直到都配成平方项为止，直到都配成平方项为止，再对其余的变量同样再对其余的变量同样就得到标准形就得到标准形;经过可逆性变换，经过可逆性变换，2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是含有平方项的二次型，然后再按含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方中方法配方

16、.化二次型为化二次型为则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM例例4 所做可逆变换为所做可逆变换为含有平方项含有平方项含有平方项含有平方项含有含有的项配方的项配方2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM而我们曾用而我们曾用正交变换正交变换化化标准形标准形为：为：比较比较2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM例例5做可逆变换做可逆变换 不含平方项不含平方项含有含有的项配方的项配方2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM再做可逆变换再做可逆变换，得，

17、得标准型为标准型为 我们曾在正交变换之下化标准型为我们曾在正交变换之下化标准型为.比较比较2/20/2023 2:24 PM2/20/2023 2:24 PM注：注：二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：(1)所含所含平方项个数相同平方项个数相同，都，都等于矩阵等于矩阵A的秩的秩；(2)平方项的系数平方项的系数正负项数相同正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数正惯性指数；负系数个数为负系数个数为负惯性指数负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为正惯性指数减去负惯性指数为符号差符号差.例例的正惯性指数为的正惯性指数为2，负惯性指数为负惯性指数为1，符号差为符号差为1.惯性定理惯性定理