算法合集之《动态规划算法时间效率的优化》.ppt

《算法合集之《动态规划算法时间效率的优化》.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《算法合集之《动态规划算法时间效率的优化》.ppt（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、动态规划算法时间效率的优化动态规划算法时间效率的优化福州第三中学动态规划算法的时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间一、减少状态总数二、减少每个状态转移的状态数三、减少状态转移的时间1、改进状态表示；（例一）1、减少决策时间（例三）方法：采用恰当的数据结构；2、减少计算递推式的时间方法：进行预处理，利用计算结果等；2、其他方法：选取恰当的规划方向等；1、根据最优解的性质减少决策量；（例二）2、其他方法：利用四边形不等式证明决策的单调性等；例一、RaucousRockers演唱组（USACO96）问题描述现有n首由RaucousRockers演唱组录制的歌曲，计划从中选择

2、一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择：(1)这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；(2)包含歌曲的总数尽可能多。输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。设n首歌曲按照创作顺序排序后的长度为long1.n，则动态规划的状态表示描述为：gi,j,k，(0in，0jm，0kt),表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目。状态转移方程为：当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j,k-lo

3、ngi+1，gi-1,j,k当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j-1,t-longi+1，gi-1,j,k规划的边界条件为：当0jm，0kt时：g0,j,k=0;问题的最优解为：gn,m,0。算法的时间复杂度为：O(n*m*t)。改进的状态表示描述为：gi,j=(a,b)，0in，0ji，0am，0bt，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。状态转移方程为：gi,j=mingi-1,j，gi-1,j-1+longi其中(a,b)+longi=(a,b)的计算方法为：当b+longit时：a=a;b=b+longi;当b+longit时：a=a+

4、1;b=longi;规划的边界条件：当0in时，gi,0=(0,0)题目所求的最大值是：answer=maxk|gn,k(m-1,t)算法的时间复杂度为：O(n2)。Back例三、石子合并问题(NOI95)问题描述在一个操场上摆放着一圈n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分。试编程求出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分以及相应的合并方案。本例只考虑最大得分。ij规划的边界条件为：mi,i=0令si,j=k，表示合并的最优断开位置。算法的时间复杂度为O(n3)。设各堆的石子数依次为d1.n，则动态规划的状态

5、表示为：mi,j，1i,jn，表示合并di.j所得到的最大得分：令 ，则状态转移方程为：合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置si,j要么等于i，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：(i)(i+1 j)或 (i j-1)(j)证明：设合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置si,j=p，且ipj-1。情况1、ti,ptp+1,j由于ip，所以可以设q=si,p。于是最优合并方案为：(iq)(q+1.p)(p+1j)它的得分F1=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+ti,pti,p我们可以构造如下的合并方案：(iq)(q+1.p)(p+1j)它的得分F2=mi,q+mq+1,p+

6、mp+1,j+ti,j+tq+1,jtq+1,j由于qp，所以ti,ptp+1,jtq+1,j所以F1tp+1,j与情况1是对称的。状态转移方程优化为：mi,j=maxmi+1,j,mi,j-1+ti,jij规划的边界条件是：mi,i=0算法的时间复杂度O(n2)。Back例三、LOSTCITY(NOI2000)问题描述现给出一张单词表、特定的语法规则和一篇文章：文章和单词表中只含26个小写英文字母az。单词表中的单词只有名词，动词和辅词这三种词性，且相同词性的单词互不相同。单词的个数不超过1000，单词的长度均不超过20。语法规则可简述为：名词短语：任意个辅词前缀接上一个名词；动词短语：任意

7、个辅词前缀接上一个动词；句子：以名词短语开头，名词短语与动词短语相间连接而成。文章的长度不超过5k。且已知文章是由有限个句子组成的，句子只包含有限个单词。编程将这篇文章划分成最少的句子，在此前提之下，要求划分出的单词数最少。我们分别用v,u,a表示动词，名词和辅词，给出的文章用L1.M表示，则状态表示描述为：F(v,i)：表示将L的前i个字符划分为以动词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数；F(u,i)：表示将L的前i个字符划分为以名词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数。状态转移方程为：F(v,i)=minF(u,j)+(0,1)，L(j+1.i)为动词；F(v,j)+(0,1)，L(j+1.i)为辅词，iM；F(u,i)=minF(u,j)+(1,1),L(j+1.i)为名词；F(v,j)+(0,1),L(j+1.i)为名词；F(u,j)+(0,1),L(j+1.i)为辅词，iM；边界条件：F(v,0)=(1,0)；F(u,0)=(,)；问题的解为：minF(v,M),F(u,M)；Back采用不同的方法查找字符串的比较：设单词表的规模为N（N的最大值为1000）设文章的长度为M（M的最大值为5000）（测试环境：Pentium200/32MB）