等腰三角形、等边三角形、直角三角形：第1课时.ppt

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1、首页首页末页末页数学数学第第1717节节 等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形考考 点点 突突 破破课课 前前 预预 习习第第1 1课时课时 等腰三角形、等边三角形等腰三角形、等边三角形首页首页末页末页数学数学垂直平分线考考 点点 梳梳 理理首页首页末页末页数学数学三60考考 点点 梳梳 理理首页首页末页末页数学数学一半中线直角一半考考 点点 梳梳 理理首页首页末页末页数学数学课课 前前 预预 习习1.1.（20142014黔西南州）已知等腰三角形黔西南州）已知等腰三角形ABCABC中，腰中，腰AB=8AB=8，底，底BC=5BC=5，则这个三角形的周长为（）则

2、这个三角形的周长为（）A A2121 B B2020C C19 D19 D1818解析：解析：8+8+5=16+5=21故故这这个三角形的周个三角形的周长为长为21A2.2.（20142014新疆）如图，在新疆）如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=40A=40，点，点D D在在ACAC上，上，BD=BCBD=BC，则，则ABDABD的度数是的度数是 解析：解析：AB=AC，A=40，ABC=C=（180-40）=70，BD=BC，CBD=180-702=40，ABD=ABC-CBD=70-40=3030首页首页末页末页数学数学课课 前前 预预 习习3.3.如图，已知如图，已知

3、ABCABC是等边三角形，点是等边三角形，点B B、C C、D D、E E在同一直线上，在同一直线上，且且CG=CDCG=CD，DF=DEDF=DE，则，则E=E=度度解析：解析：ABC是等是等边边三角形，三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=1515首页首页末页末页数学数学课课 前前 预预 习习4.4.（20142014襄阳）如图，在襄阳）如图，在ABCABC中，点中，点D D，E E分别在边分别在边ACAC，ABAB上，上，BDBD与与CECE交于点交于点O O，给出下列三个条件：，给出下列三个条件：EBO=DCOEBO=DCO；B

4、E=CDBE=CD；OB=OCOB=OC（1 1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABCABC是等腰三是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）角形？（用序号写出所有成立的情形）（2 2）请选择（）请选择（1 1）中的一种情形，写出证明过程）中的一种情形，写出证明过程解析：解析：（1）由）由，两个条件可以判定，两个条件可以判定ABC是等腰三角形，是等腰三角形，（2）先求出）先求出ABC=ACB，即可，即可证证明明ABC是等腰三角形是等腰三角形答案：答案：解：（解：（1）；（2）选选证证明如下，明如下，OB=OC，OBC=OCB，EBO=DCO，又又AB

5、C=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，ABC是等腰三角形是等腰三角形首页首页末页末页数学数学考点考点1 1 等腰、等边三角形的判定和性质等腰、等边三角形的判定和性质考考 点点 突突 破破1.1.（20082008广东）如图，在广东）如图，在ABCABC中，中，BCBCACAC，点，点D D在在BCBC上，且上，且DC=ACDC=AC，ACBACB的平分线的平分线CFCF交交ADAD于于F F，点，点E E是是ABAB的的中点，连接中点，连接EFEF（1 1）求证：）求证：（2 2）若四边形）若四边形BDFEBDFE的面积为的面积为8 8，求，求AEFAEF的面积的面积解析

6、：解析：（1）由）由题题意可推出意可推出ADC为为等腰三角形，等腰三角形，CF为顶为顶角的角平分角的角平分线线，所以也是底，所以也是底边边上的中上的中线线和高，因此和高，因此F为为AD的中点，所以的中点，所以EF为为ABD的中位的中位线线，即，即 ；（2）根据（）根据（1）的）的结论结论，可以推出，可以推出AEFABD，且，且SAEF：SABD=1：4，所以，所以SAEF：S四四边边形形BDEF=1：3，即可求出，即可求出AEF的面的面积积首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：解：解：（1）DC=AC，ACB的平分的平分线线CF交交AD于于F，F为为AD的中点，的中点，点点

7、E是是AB的中点，的中点，EF为为ABD的中位的中位线线，（2）EF为为ABD的中位的中位线线，EFBD，AEFABD，SAEF：SABD=1：4，SAEF：S四四边边形形BDEF=1：3，四四边边形形BDFE的面的面积为积为8，SAEF=首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破2.2.（20102010广东）已知两个全等的直角三角形广东）已知两个全等的直角三角形纸片纸片ABCABC、DEFDEF，如图，如图1 1放置，点放置，点B B、D D重合重合，点，点F F在在BCBC上，上，ABAB与与EFEF交于点交于点G GC=C=EFB=90EFB=90，E=E=ABC=30ABC=30

8、，AB=DE=4AB=DE=4求证：求证：EGBEGB是等腰三角形是等腰三角形解析：解析：根据根据题题意，即可意，即可发现发现EBG=E=30，从而，从而证证明明结论结论答案：答案：证明：证明：C=C=EFB=90EFB=90，E=E=ABC=30ABC=30，EBF=60EBF=60，EBG=EBG=EBFEBFABC=60ABC=603030=E EGE=GBGE=GB，则则EGBEGB是等腰三角形是等腰三角形首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破3.3.（20082008广东）已知等边三角形广东）已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为3+3+，则，则ABCABC的的周长是周长

9、是 解析：解析：解：在等解：在等边边三角形中，三条三角形中，三条边长边长相等，所以周相等，所以周长为长为三条三条边长边长的和，即：的和，即：3（3+）=首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破4.4.（20072007广东广东）已知等边）已知等边OABOAB的边长为的边长为a a，以，以ABAB边上边上的高的高OAOA1 1为边，按逆时针方向作等边为边，按逆时针方向作等边OAOA1 1B B1 1，A A1 1B B1 1与与OBOB相交于点相交于点A A2 2（1 1）求线段）求线段OAOA2 2的长；的长；（2 2）若再以）若再以OAOA2 2为边，按逆时针方向作等边为边，按逆时针方

10、向作等边OAOA2 2B B2 2，A A2 2B B2 2与与OBOB1 1相交于点相交于点A A3 3，按此作法进行下去，得到，按此作法进行下去，得到OAOA3 3B B3 3，OAOA4 4B B4 4，OAOAn nB Bn n（如图）求（如图）求OAOA6 6B B6 6的周长的周长解析：解析：在等在等边边三角形中，由勾股定理可求得其一三角形中，由勾股定理可求得其一边边上的高与上的高与边长边长的的关系，根据关系，根据图图形的形的变变化化规规律即可求解律即可求解首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：解：（解：（1）OA2=OA1=（OA）=OA=a（2）依）依题题意

11、，意，OA1=OA，OA2=OA1=（）2OAOA3=OA2=（）3OA以此以此类类推，推，OA6=（）6OA=OA=a即即OA6B6的周的周长长=3OA6=a首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破5.5.已知，如图，在已知，如图，在ABCABC中，中，AB=BCAB=BC，ABC=90ABC=90度度F F为为ABAB延长线上一点，点延长线上一点，点E E在在BCBC上，上，BE=BFBE=BF，连接，连接AEAE、EFEF和和CFCF（1 1）求证：）求证：AE=CFAE=CF；（2 2）若）若CAE=30CAE=30，求，求EFCEFC的度数的度数解析：解析：根据已知利用根据已知

12、利用SAS判定判定ABECBF，由全等三角形的，由全等三角形的对应边对应边相等就可得到相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之；根据已知利用角之间间的关系可求的关系可求得得EFC的度数的度数首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：（1）证证明：在明：在ABE和和CBF中，中，ABECBF（SAS）AE=CF（2）解：）解：AB=BC，ABC=90，CAE=30，CAB=ACB=（180-90）=45，EAB=45-30=15ABECBF，EAB=FCB=15BE=BF，EBF=90，BFE=FEB=45EFC=180-90-15-45=30首页首页末页末页数学数学考考 点点

13、突突 破破6.6.如图：在如图：在RtABCRtABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，O O为为BCBC的中点的中点（1 1）写出点）写出点O O到到ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C距离之间的关系；距离之间的关系；（2 2）如果点）如果点M M、N N分别在线段分别在线段ABAB、ACAC上移动，移动中保持上移动，移动中保持AN=BMAN=BM，请判断，请判断OMNOMN的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论解析：解析：（1）由于）由于ABC是直角三角形，点是直角三角形，点O是是BC的中点，根据直角的中点，根据直角三角形的性三角形的性质质：直

14、角三角形斜：直角三角形斜边边上的中上的中线线等于斜等于斜边边的一半，故有的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于）由于OA是等腰直角三角形的斜是等腰直角三角形的斜边边上的中上的中线线，根据等腰直角三角，根据等腰直角三角形的性形的性质质知，知，CAO=B=45，OA=OB，又有，又有AN=MB，所以由，所以由SAS证证得得AONBOM可得：可得：ON=OM NOA=MOB，于是有，于是有，NOM=AOB=90，所以，所以OMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：解：解：（1）在在RtABC中，中，BAC=90，O为为BC的中点，的中点，

15、OA=BC=OB=OC，即，即OA=OB=OC；（2）OMN是等腰直角三角形理由如下：是等腰直角三角形理由如下：连连接接AOAC=AB，OC=OB OA=OB，NAO=B=45，在在AON与与BOM中中AONBOM（SAS）ON=OM，NOA=MOBNOA+AOM=MOB+AOMNOM=AOB=90，OMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破7.7.如图，如图，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，D D，F F分别是分别是BCBC，ABAB上上的点，且的点，且BD=AFBD=AF，ADAD，CFCF交于点交于点E E，则，则CED=CED=度度解析

16、：解析：ABC是等是等边边三角形，三角形，ABD=CAF=60，AB=CA，在，在ABD和和CAF中，中，ABDCAF（SAS），），ACF=BAD（全等三角形的（全等三角形的对应对应角相等）；角相等）；又又CED=ACF+EAC（外角定理），（外角定理），CED=CAF=6060首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破8.8.如图，如图，ABCABC是边长为是边长为6 6的等边三角形，的等边三角形，P P是是ACAC边上一动边上一动点，由点，由A A向向C C运动（与运动（与A A、C C不重合），不重合），Q Q是是CBCB延长线上一点，延长线上一点，与点与点P P同时以相同的速度由

17、同时以相同的速度由B B向向CBCB延长线方向运动（延长线方向运动（Q Q不与不与B B重合），过重合），过P P作作PEABPEAB于于E E，连接，连接PQPQ交交ABAB于于D D（1 1）当）当BQD=30BQD=30时，求时，求APAP的长；的长；（2 2）当运动过程中线段）当运动过程中线段EDED的长是否发生变化？如果不变，的长是否发生变化？如果不变，求出线段求出线段EDED的长；如果变化请说明理由的长；如果变化请说明理由首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破解析：解析：（1）由）由ABC是是边长为边长为6的等的等边边三角形，三角形，可知可知ACB=60，再由再由BQD=3

18、0可知可知QPC=90，设设AP=x，则则PC=6-x，QB=x，在在RtQCP中，中，BQD=30，PC=QC，即即6-x=（6+x），求出），求出x的的值值即可；即可；首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破解析：解析：（2）作）作QFAB，交直，交直线线AB的延的延长线长线于点于点F，连连接接QE，PF，由点由点P、Q做匀速运做匀速运动动且速度相同，可知且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由再由AE=BF，PE=QF且且PEQF，可知四可知四边边形形PEQF是平行四是平行四边边形，形，进进而可得出而可得出EB+AE

19、=BE+BF=AB，DE=AB，由等由等边边ABC的的边长为边长为6可得出可得出DE=3，故当点故当点P、Q运运动时动时，线线段段DE的的长长度不会改度不会改变变首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：解：解：（1）ABC是是边长为边长为6的等的等边边三角形，三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设设AP=x，则则PC=6-x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在在RtQCP中，中，BQD=30，PC=QC，即，即6-x=（6+x），解得），解得x=2，AP=2；首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破答案：答案：解：解：（2 2）当点）当点P P、Q Q

20、运运动时动时，线线段段DEDE的的长长度不会改度不会改变变理由如下：作理由如下：作QFABQFAB，交直，交直线线ABAB的延的延长线长线于点于点F F，连连接接QEQE，PFPF，又又PEABPEAB于于E E，DFQ=AEP=90 DFQ=AEP=90，点点P P、Q Q速度相同，速度相同，AP=BQ AP=BQ，ABCABC是等是等边边三角形，三角形，A=ABC=FBQ=60 A=ABC=FBQ=60，在在APEAPE和和BQFBQF中，中，AEP=BFQ=90AEP=BFQ=90，APE=BQFAPE=BQF，在，在APEAPE和和BQFBQF中，中，APEBQFAPEBQF（AASA

21、AS），），AE=BFAE=BF，PE=QFPE=QF且且PEQFPEQF，四四边边形形PEQFPEQF是平行四是平行四边边形，形，DE=DE=EFEF，EB+AE=BE+BF=ABEB+AE=BE+BF=AB，DE=DE=ABAB，又又等等边边ABCABC的的边长为边长为6 6，DE=3DE=3，当点当点P P、Q Q运运动时动时，线线段段DEDE的的长长度不会改度不会改变变首页首页末页末页数学数学考考 点点 突突 破破考点归纳：考点归纳：本考点曾在本考点曾在2007200720082008、2010201020112011年广东省市年广东省市考试中考查，为高频考点考试中考查，为高频考点.考

22、查难度中等，为中等难度题，解答的关考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握其判定和性质键是掌握其判定和性质.本考点应注意掌握的知识点：本考点应注意掌握的知识点：在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的作法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析作法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个取一个6060的角判定的角判定首页首页末页末页数学数学