算符的对易关系两力学量同时有确定值的条.ppt

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1、Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系1/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量3.7 算符的算符的对对易易关系关系 两力学量同两力学量同时时有确定有确定值值的条件的条件 测测不准关系不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系

2、一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators)二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation)三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义测不准关系测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation)Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系2/26第三章第三

3、章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 1,基本对易式基本对易式:3.7 算符的算符的对对易易关系关系 两力学量同两力学量同时时有确定有确定值值的条件的条件 测测不准关系不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators)Quantum mechanics3.7 算符

4、的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系3/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系4/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量2,角动量算符的对易式角动量算符的对易式:角动量算符定义角动量算符定义:列维列维-斯维塔斯维塔(Levi-Civita)符号符号 Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同

5、时有确定值的条件 测不准关系测不准关系5/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量同理可证同理可证:例题例题 证明证明(原课件原课件):因因 是任意的函数是任意的函数,所以所以解解:取任意函数取任意函数,由于由于Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系6/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量解解:因为因为 例题例题 证明证明(原课件原课件):又因为又因为Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量

6、同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系7/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量证明证明:设设即有即有一般情况一般情况:设任意波函数态为设任意波函数态为,因因n组成完备系组成完备系,所以所以二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation)1,定理定理1:如果两个算符如果两个算符F和和G有一组共同的本征函数有一组共同的本征函数 n,而且组成完备系而且组成完备系,则算符则算符F和和G对易对易.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件

7、两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系8/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量证明证明:(1),非简并非简并,设设2,定理定理2:如果两个算符如果两个算符F、G对易对易,则这两个算符有则这两个算符有 共同的本征函数共同的本征函数,这些本征函数组成完备系这些本征函数组成完备系.又因又因fn 是无简并的是无简并的,所以所以:Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系9/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量(2),简并时简并时:设设F的本征值的本征值f

8、n有简并有简并,简并度为简并度为sn Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系10/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量g 是是 的本征值的本征值G为了为了 n也也是是 的本征函数的本征函数,令令G显然显然:n是是 的本征函数的本征函数,本征值为本征值为fn.F同时左乘同时左乘 ,积分积分Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系11/26第三章第三章 量子力学中的力学

9、量量子力学中的力学量,若无重根若无重根:可解出可解出sn个个gj(j=1,2,)分别将分别将gj代入前式可得对应于每个代入前式可得对应于每个gj的一组解的一组解 Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系12/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量所以相应的波函数所以相应的波函数 F即即:nj 是是 、的共同本征函数的共同本征函数,本征值分别为本征值分别为fn,gjG所以所以:F属于属于fn 的的sn个本征函数个本征函数 ni G可按可按 的的sn个本征值个本征值gj来分类来

10、分类一组一组(fn,gj)确定的本征函数确定的本征函数 nj,sn 度简并解除度简并解除.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系13/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量对易关系的物理意义对易关系的物理意义:若两算符对易若两算符对易,则两算符存在共同本征则两算符存在共同本征函数函数.在其共同本征函数所描写的态中在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值两算符表示的力学量同时有确定的值.因为因为 的本征函数的本征函数 nj nj 构成完全系构成完全系,

11、所以所以 、的共同本征函数也组成完全系的共同本征函数也组成完全系.FGFFG,若若 有重根有重根:则还需再找出与则还需再找出与 、对易的力学量对易的力学量,才能确定体系的状态才能确定体系的状态.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系14/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量相应的本征值为相应的本征值为:px,py,pz Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系15/

12、26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量共同本征函数共同本征函数 在在 nlm态下态下,能量能量,角动量平方角动量平方,角动量角动量z分分量同时具有确定值量同时具有确定值.3,力学量完全集力学量完全集 要完全确定系统所处的状态要完全确定系统所处的状态,需要一组相互对易需要一组相互对易的力学量的力学量(通常通过它们的本征值通常通过它们的本征值),这一组完全这一组完全确定体系状态的力学量称之为确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集合力学量的完全集合.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关

13、系测不准关系16/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量如如:L2 本征值有简并本征值有简并:确定的确定的l(l+1)h2,有有 2l+1 个要完全确定状态个要完全确定状态Ylm(,),需确定需确定m,当当l,m同时确定时同时确定时,状态才能唯状态才能唯一确定一确定.而而m与力学量与力学量Lz相对应相对应.即需另找一个与即需另找一个与L2对对易的力学量易的力学量,才能确定完全状态才能确定完全状态.例例:,三维空间中自由粒子的自由度是三维空间中自由粒子的自由度是3,完全确完全确 定它的状态需三个力学量定它的状态需三个力学量.px,py,pz.,氢原子中电子自由度是氢原子中电子自由

14、度是3,完全确定它的状完全确定它的状 态需态需3个相互对易的力学量个相互对易的力学量.H,L2,Lz.构成一组力学量完全集构成一组力学量完全集.(L2,Lz)Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系17/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量下面讨论一般情况下面讨论一般情况:设任意两力学量设任意两力学量,相应的算符且满足相应的算符且满足:相应的涨落相应的涨落:考虑积分考虑积分:三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义测不准关系测不准关系 (Physical Sign

15、ificance of commutation relation Uncertainty relation)问题问题:若系统处于若系统处于F 的本征态的本征态,测力学量测力学量F时时,F有有确定值确定值,亦即涨落亦即涨落F 2=0,如同时测量另一力学如同时测量另一力学量量G,则则G 2=?Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系18/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量由不等式成立条件由不等式成立条件:Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系

16、 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系19/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量测不准关系测不准关系如如:,坐标与动量的测不准关系坐标与动量的测不准关系:,能量与时间的测不准关系能量与时间的测不准关系:Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系20/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量注注:测不准关系测不准关系是物质粒子是物质粒子波粒二重性波粒二重性矛矛盾的反映盾的反映,标志着经典粒子及力学量的概标志着经典粒子及力学量

17、的概念对于微观粒子的适用程度念对于微观粒子的适用程度.由于普朗克由于普朗克常数非常小常数非常小,在一般的宏观现象中在一般的宏观现象中,不妨不妨引用引用轨道轨道的概念的概念,但在处理微观世界中的但在处理微观世界中的现象时现象时,必须用必须用测不准关系测不准关系.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系21/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量例题例题用测不准关系计算线性谐振子的基态零点能量用测不准关系计算线性谐振子的基态零点能量(P81).解解:谐振子平均能量为谐振子平均能

18、量为 Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系22/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系23/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量由测不准关系由测不准关系:解解:设氢原子基态的最概然半径为设氢原子基态的最概然半径为R,则原子半径的不确则原子半径的不确定范围可近似取为定范围可近似取为对于氢原子对于氢原子,基态波函

19、数为偶宇称基态波函数为偶宇称,而动量算符为奇宇称而动量算符为奇宇称,能量平均值为能量平均值为 例题例题利用测不准关系估计氢原子的基态能量利用测不准关系估计氢原子的基态能量(P92:3.13).Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系24/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量基态能量应取的极小值基态能量应取的极小值,由由Quantum mechanics本章目录本章目录第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 Operato

20、rs expressed the mechanical quantities 第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics 3.3 电电子在子在库仑场库仑场中的运中的运动动 Electronic movement in Coulomb field 3.2 动动量算符和角量算符和角动动量算符量算符 Momentum operator&angular momentum operator 3.4 氢氢原子原子Hydrogen atom 25Quantum mechanics本章目录本章目录第三章第三章 量子力学中

21、的力学量量子力学中的力学量3.5 厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction 3.7 算符的算符的对对易易关系关系 两力学量同两力学量同时时有确定有确定值值的条件的条件 测测不准关系不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 Relations of operator&mechanical quantity 3.8 力学量平均力学量平均值值随随时间时间的的变变化守恒定律化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation26