等腰三角形的判定和性质.ppt

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1、（等腰三角形的判定定理（等腰三角形的判定定理和性质定理）和性质定理）学习目标：1、进一步学习几何证明的思路和步骤；2、牢固掌握等腰三角形的判定定理和性质定理，并能够熟练地应用。重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 应用.难点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 证明.复习引入1、判定三角形全等的方法有哪些？、判定三角形全等的方法有哪些？ASA,AAS,SAS,SSS,HL复习引入2 2、等腰三角形的定义是怎样的？、等腰三角形的定义是怎样的？(怎样判定一个三角形是等腰三角形怎样判定一个三角形是等腰三角形?）A AB BC C（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形）有两条边相等的三角形是等腰三角形

2、（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形）有两个角相等的三角形是等腰三角形复习引入（1 1）等腰三角形的）等腰三角形的两腰相等两腰相等；3 3、等腰三角形有哪些性质？、等腰三角形有哪些性质？A AB BC C(2)(2)等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等,（简称（简称“等边对等角等边对等角”）；）；(3)(3)等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称相重合。（简称“三线合一三线合一”）(4)等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形,顶角顶角平分线所在的直线是它的对称轴。平分线所在的直线是它的对称轴。ABC

3、如图，已知在如图，已知在如图，已知在如图，已知在ABCABCABCABC中，中，中，中，B=CB=CB=CB=C，则则则则AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，为什么？，为什么？，为什么？，为什么？一、等腰三角形的判定一、等腰三角形的判定问题探究证明证明:过过A A点作点作ADBC,ADBC,垂足为垂足为D D.ABCDADBCADB=ADC=900在在RtADB和和RtADC中中 ADBADC BC ADADADBADC(AAS)ABAC如图，已知在如图，已知在如图，已知在如图，已知在ABCABCABCABC中，中，中，中，B=CB=CB=CB=C，则则则则AB=ACAB=ACAB=AC

4、AB=AC，为什么？，为什么？，为什么？，为什么？已知：在已知：在ABCABC中，中，B BC C求证：求证：ABABACAC在在在在ABDABDABDABD和和和和ACDACDACDACD中中中中B=CB=CB=CB=C（已知）（已知）（已知）（已知）1=21=21=21=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）AD=ADAD=ADAD=ADAD=AD（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）ABDACD(AAS)ABDACD(AAS)ABDACD(AAS)ABDACD(AAS)AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC1ABCD2作作BACBACBACBAC的

5、角平分线与的角平分线与的角平分线与的角平分线与BCBCBCBC相交与点相交与点相交与点相交与点D D D D 结论结论:如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等.(.(等角对等边等角对等边)如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。那么这个三角形是等腰三角形。用几何语言表示为：用几何语言表示为：在在ABC中，中，B=C(已知已知 )AB=AC.(在一个三角形中，等角对等边在一个三角形中，等角对等边)ABC简单地说，在简单地说，在同一个三角形同一个三角形中中,等角对等边等角对等边。归纳结论

6、如图所示，量出如图所示，量出AC的长，就可知道河的的长，就可知道河的宽度宽度AB。你知道为。你知道为什么吗？什么吗？3060BACD跟踪训练跟踪训练1解：解：DAC=C+ABC （三角形外角的性质）（三角形外角的性质）ABC=DAC-C =60-30=30 ABC=C AB=AC（在同一个三角形（在同一个三角形中，中，等角对等边）等角对等边）即即AC的长就是河宽。的长就是河宽。跟踪训练跟踪训练1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC求证：B=C分析：分析：1.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？2.2.如何构造两个全等的如何构造两个全等的 三角形？三角

7、形？ABC二、等腰三角形的性质二、等腰三角形的性质问题探究ABC则有则有1 2D1 2在在ABD和和ACD中中证明证明:作顶角的平分线作顶角的平分线AD，ABAC 12 ADAD（公共边）（公共边）ABD ACD（SAS）BC（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）作顶角的平分线作顶角的平分线ABC则有则有 BD CDD在在ABD和和ACD中中证明证明:作作ABC 的中线的中线ADABAC BDCDADAD（公共边）（公共边）ABD ACD（SSS）BC（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）作底边中线作底边中线ABC则有则有 ADBADC 90D在在RtABD和和RtACD中

8、中证明证明:作作ABC 的高线的高线ADABAC ADAD（公共边）（公共边）RtABDRtACD （HL）BC（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）作底边的高线作底边的高线归纳结论等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在ABC中，中，AC=AB（已知）（已知）B=C（等边对等角）等边对等角）ABC 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线底边上的中线 和和底边上的高底边上的高互相重合互相重合.简称简称“等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一”归纳结论(等腰三角形三线合一)等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角

9、平分线平分线与与底边底边上的中线上的中线，底边底边上上的高的高互相重合互相重合用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在ABC中，中，AB=AC,点点 D在在BC上上1、AD BC =，=。2、AD是中线，是中线，=。3、AD是角平分线，是角平分线，=。ABCD121212BDCDADBC12ADBCBDCD当重锤线经过等腰三角当重锤线经过等腰三角尺底边中点时，横梁就尺底边中点时，横梁就是水平的。为什么？是水平的。为什么？DABC跟踪训练跟踪训练2 因为图中的三角尺是等腰三角形因为图中的三角尺是等腰三角形因为图中的三角尺是等腰三角形因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤当重锤当重锤当重锤线经过三角

10、尺斜边的中点时，重锤线与底边线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与底边线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与底边线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与底边上的高叠合（上的高叠合（上的高叠合（上的高叠合（等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一），即三），即三），即三），即三角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜边与横梁是水平的。边与横梁是水平的。边与横梁是水平的。边与横梁是水平的。当重锤线经过等腰三角当重锤线经过等腰三角尺底边中点时，横梁就尺底边中点时，横梁就是

11、水平的。为什么？是水平的。为什么？DABC跟踪训练跟踪训练21 1、ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的边上的中点，中点，DFACDFAC于于F F，DE AB DE AB 于于E.E.求证：求证：DEDEDFDF。BCDEFAABCDE122、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。1 1：ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，DFAC DFAC于于F,DEABF,DEAB于于E.E.求证：求证：DEDE

12、DFDF。BCDEFA证明：证明：DEABDEAB，DFACDFAC（已知）（已知）BEDBEDCFD CFD 又又DD是是BCBC中点（已知）中点（已知）BDBDDC DC AB ABACAC（已知）（已知）B BCC（等边对等角）（等边对等角）在在DBEDBE与与DCFDCF中中DEBDEBDFCDFC（已证）（已证）B BCC（已证）（已证）BDBDDCDC（已证）（已证）BDE CDF BDE CDF（AASAAS）DEDEDFDFABCDE12如图，如图，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC。求证：求证：AB=AC分析：分析：要证要证AB=AC，需证，需证B=C，从已知看

13、：因为从已知看：因为1=2，ADBC可以找出可以找出B与与C的关系。的关系。已知：已知：2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。证明：证明：ADBC，ABCDE121=B（两直线平行，（两直线平行，同位角相等），同位角相等），2=C（两直线平行，（两直线平行，内错角相等）。内错角相等）。1=2，B=C，AB=AC（等边对等角）。（等边对等角）。已知：如图，已知：如图，1=2，3=4，DEBC;求证：求证：DE=DB+EC。ABDCEF1234拓展提升拓展提升已知：如图，

14、已知：如图，1=2，3=4，DEBC;求证：求证：DE=DB+EC。ABDCEF1234证明：证明：DEBC2=DFB,3=EFC又又1=2，3=41=DFB，4=EFCDF=BD,EF=EC又又DE=DF+EFDE=DB+EC拓展提升拓展提升 一路下来，我们学习了很一路下来，我们学习了很多知识，也有了很多的新想法。多知识，也有了很多的新想法。你能谈谈自己的收获吗？说一你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。说，让大家一起来分享。如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。那么这个三角形是等腰三角形。等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的和底边上的高互相重合高互相重合.作业A组：课本136页7、8题B组：课本136页9题