空间图形的基本关系与公理复习与习题.ppt

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1、1.理解空间直线、平面位置关系的定义理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题空间图形的位置关系的简单命题热热点点提提示示1.1.以空以空间间几何体几何体为载为载体，考体，考查逻辑查逻辑推理能力推理能力.2.2.通通过过判断位置关系，考判断位置关系，考查查空空间间想像能力想像能力.3.3.应应用公理、定理用公理、定理证证明点共明点共线线、线线共面等共面等问题问题.4.4.多以多以选择选择、填空的形式考、填空的形式考查查，有，有时时也出

2、也出现现在解答在解答题题中中.1.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系(2)平行公理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行(3)异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围思考探究思考探究垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？提示：提示：可能平行、相交或异面可能平行、相交或异面.2.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系3.平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系4、空间图形的公理、空间图形的公理公理公理1：如果一条直线上的：如果一条直线上的两个点两个点在一个平面内，那么这条在一个平面内，那么这条直线上直线上都在

3、这个平面内（即直线在平面内）都在这个平面内（即直线在平面内）公理公理2：过：过的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面公理公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线过该点的公共直线公理公理4：(平行公理平行公理)平行于平行于的两直线互相平行的两直线互相平行不在同一直线上不在同一直线上有有且只有一条且只有一条同一直线同一直线所有的点所有的点(1)经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？个平面吗？(2)经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？经过两条相交直线，可以确定一个平面

4、吗？(3)经过两条平行直线可以确定一个平面吗？经过两条平行直线可以确定一个平面吗？提示：提示：(1)可以可以(2)可以可以(3)可以可以 5、等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，、等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。结论1：空：空间中，如果两个角的两中，如果两个角的两边分分别对应平行，并且平行，并且对应边的的方向都相反，那么方向都相反，那么这两个角相等。两个角相等。结论2：空：空间中，如果两个角的两中，如果两个角的两边分分别对应平行，并且一平行，并且一组对应边方向相同，另一方向相同，另一组对应边

5、的方向相反，那么的方向相反，那么这两个角互两个角互补。1给出下列命题：给出下列命题：和已知直线都相交的两条直线在同一个平面内；和已知直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：解析：中两直线可能异面；中两直线可能异面；中三条直线可能确中三条直线可能确定三个平面；定三个平面；中两平面可能相交；中两平面可能相交；三直线可能三直线可能共面共面答案：答案：

6、A2.已知已知a，b是异面直线，直线是异面直线，直线ca，则，则c与与b()A.一定是异面直线一定是异面直线B.一定是相交直线一定是相交直线C.不可能是平行直线不可能是平行直线D.不可能是相交直线不可能是相交直线解析：解析：c与与b不可能是平行直线，否则不可能是平行直线，否则cb，又，又ca，则有则有ab，与，与a，b异面矛盾异面矛盾.答案：答案：C3.直线直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为的平面的个数为()A.1B.3C.6D.0解析：解析：如图所示，可知确定如图所示，可知确定3个平面个平面.答案：答案：B4.若直线若直线l上

7、有两点到平面上有两点到平面的距离相等，则直线的距离相等，则直线l与平面与平面 的关系是的关系是.解析：解析：当这两点在当这两点在的同侧时，的同侧时，l与与平行；平行；当这两点在当这两点在的异侧时，的异侧时，l与与相交相交.答案：答案：平行或相交平行或相交5a，b，c是空间中的三条直线，下面五个命题：是空间中的三条直线，下面五个命题：若若a b，b c，则，则a c；若若a b，b c，则，则a c；若若a与与b相交，相交，b与与c相交，则相交，则a与与c相交；相交；若若a平面平面，b平面平面，则，则a，b一定是异面直线；一定是异面直线；若若a，b与与c成等角，则成等角，则a b.上述命题中正确

8、的命题是上述命题中正确的命题是_解析：解析：正确；正确；时中，时中，a与与c可以相交、平行或异可以相交、平行或异面；面；中，中，a与与c可以相交、平行或异面；可以相交、平行或异面；中，中，a，b并不能说明并不能说明a与与b不同在任何一个平面内；不同在任何一个平面内；中，中，a与与b可以相交、平行或异面可以相交、平行或异面答案：答案：6、在正方体、在正方体ABCDA1B1C1D1中，若中，若M为棱为棱BB1的中点，的中点，则异面直线则异面直线B1D与与AM所成角的余弦值是所成角的余弦值是.解析：解析：如图所示，取如图所示，取CC1的中点的中点N，连结，连结MN，DN，则则MN AD，四边形四边形

9、AMND为平行四边形，为平行四边形，AM DN，B1DN即为异面直线所成角即为异面直线所成角.连结连结B1N，设正方体棱长为，设正方体棱长为a，则，则B1Da，DNa，B1Na，cosB1DN.如图，四边形如图，四边形ABEF和和ABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BAD FAB90，BCAD,BEFA，G、H分别为分别为FA、FD的中点的中点.(1)证明：四边形证明：四边形BCHG是平行四边形；是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？思路点拨思路点拨(2)法一：法一：证明证明D点在点在EF、CH确定的平面内确定的平面内.法二：法二：延长延长FE、DC分别

10、与分别与AB交于交于M，M，可证可证M与与M重合，从而重合，从而FE与与DC相交相交.课堂笔记课堂笔记(1)证明：由已知证明：由已知FGGA，FHHD，可得，可得GHAD.又又BCAD，GHBC，四边形四边形BCHG是平行四边形是平行四边形.(2)法一：法一：由由BEAF，G为为FA中点知中点知BEGF，四边形四边形BEFG为平行四边形，为平行四边形，EFBG.由由(1)知知BGCH，EFCH，EF与与CH共面共面.又又DFH，C、D、F、E四点共面四点共面.法二：法二：如图，延长如图，延长FE、DC分别分别与与AB交于点交于点M，M，BEAF，B为为MA的中点，的中点，BCAD，B为为MA的

11、中点，的中点，M与与M重合，即重合，即EF与与CD相交于点相交于点M(M)，C、D、E、F四点共面四点共面.1.公理公理2的三个推论的三个推论推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面平面.推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面.这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据.2.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法

12、如下：常用方法如下：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内在此平面内.(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再，再证明其余元素确定平面证明其余元素确定平面，最后证明平面，最后证明平面、重合重合.如图，在四面体如图，在四面体ABCD中作截面中作截面PQR，PQ、CB的延的延长线交于长线交于M，RQ、DB的延长线交于的延长线交于N，RP、DC的的延长线交于延长线交于K.求证：求证：M、N、K三点共线三点共线.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记M、N、K在平面在平面BCD与平面与平面PQR的

13、交线上，即的交线上，即M、N、K三三点共线点共线.在四面体在四面体ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、AD、BC、CD上的点，且上的点，且EFGHP，求证：求证：B、D、P三点共线三点共线.证明：证明：E AB，F AD，EF平面平面ABD，同理，同理，GH平面平面BCD，又，又EFGHP，P平面平面ABD，P平面平面BCD，而平面而平面ABD平面平面BCDBD，P直线直线BD，即，即B、D、P三点共线三点共线.1.证明共线问题的理论依据证明共线问题的理论依据公理公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直

14、线们有且只有一条过这个点的公共直线.2.证明共线问题的常用方法证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点公共点.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别分别是是A1B1、B1C1的中点，问：的中点，问

15、：(1)AM和和CN是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和和CC1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)不是异面直线不是异面直线理由：理由：M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点，的中点，MN A1C1.又又A1AC1C，A1ACC1为平行四边形，为平行四边形，A1C1 AC，得到，得到MN AC，A，M，N，C在同一个平面内，在同一个平面内，故故AM和和CN不是异面直线不是异面直线M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点，的中点，MN A1C1.又又A1AC1C，A1ACC1为平行四边形，为平行四边形，A1C1

16、 AC，得到，得到MN AC，A，M，N，C在同一个平面内，在同一个平面内，故故AM和和CN不是异面直线不是异面直线(2)是异面直线证明如下：是异面直线证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，内，则则B 平面平面CC1D1，C 平面平面CC1D1，BC平面平面CC1D1，这与这与BC是正方体的棱相矛盾，是正方体的棱相矛盾，假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1是异面直线是异面直线判定两直线异面的常用方法有判定两直线异面的常用方法有(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)反证法：反证法是证明异面直线的常

17、用方法；另外，反证法：反证法是证明异面直线的常用方法；另外，判断两直线异面还可以用以下结论：过平面外一点与判断两直线异面还可以用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线面直线2异面直线所成角异面直线所成角(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点特殊点(线段的端点或中点线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成角的步骤：求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角求：通过解三角形，求出该角