第2章静电场精.ppt

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1、第第2章静电场章静电场第1页，本讲稿共99页2.1 电荷、库仑定理、电场强度电荷、库仑定理、电场强度 电 荷1.电子(Electron)：静止质量：静止质量：电荷量电荷量2.质子(ProtonProton)：静止质量：电荷量：电荷量：3.电荷量是代数量电荷量是代数量电荷分布是标量场单位:库仑(Coulomb)第2页，本讲稿共99页 电荷分布电荷分布1.体密度：体密度：2.线密度：3.面密度：单位电荷密度本章所要讨论的电荷分布都是静止的，稳定的。本章所要讨论的电荷分布都是静止的，稳定的。其中，其中，“静止静止”针对空间，针对空间，“稳定稳定”针对时间。针对时间。第3页，本讲稿共99页 电场强度电

2、场强度(Electric Field Intensity)(Electric Field Intensity)单位：单位：q q0 0的原因：不使试验电荷的形状影响场的分布。的原因：不使试验电荷的形状影响场的分布。第4页，本讲稿共99页库仑定律库仑定律真空中静止电荷的电场真空中静止电荷的电场Coulombs LawCoulombs LawFarad/MeterFarad/Meter源点源点场点场点真空中距离为R的两点电荷q1，q2q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比矢量方向：q1指向q2真空中介电常数(Dielectric Constant)若不是真空，用若不是真空，用 e e 取代取

3、代 e e0 0。第5页，本讲稿共99页真空中静止点电荷的电场强度真空中静止点电荷的电场强度q q2 2受到的电场力：受到的电场力：点电荷电场强度：点电荷电场强度：利用：利用：球坐标系中：球坐标系中：第6页，本讲稿共99页rrR源点源点场点场点O当场源不在坐标原点时：当场源不在坐标原点时：第7页，本讲稿共99页电场强度的矢量叠加电场强度的矢量叠加求电场强度离散电荷 矢量叠加分布电荷 矢量积分微元多个点电荷 电场可以叠加第8页，本讲稿共99页例1：电偶极子(Electric Dipole)由间距由间距“很小很小”的的2 2个等量正负个等量正负“点点”电荷组成电荷组成间距：间距：l l，“点点”电

4、荷：电荷：q q1 1=q=q、q q2 2=-q=-q解决问题的入手点解决问题的入手点矢量叠加原理！矢量叠加原理！-+-+第9页，本讲稿共99页例例2：长度为：长度为2L的线电荷的线电荷 书书书书P23 P23 例例例例2.22.2分析：(1)“轴对称性轴对称性”？(2)(2)选择坐标系“柱坐标”方法一：方法一：“直接法直接法”只有分量第10页，本讲稿共99页方法二：“间接法电势电势”计算结果：第11页，本讲稿共99页静电学的两个基本假设：静电学的两个基本假设：（1 1）（2 2）积分形式：积分形式：（1 1）（2）静电场高斯定理(引言)微分形式：微分形式：第12页，本讲稿共99页要点：要点

5、：1.1.“左边左边”电场在空间电场在空间任意封闭面任意封闭面的总的总流出通量流出通量2.2.“右边右边”封闭面包围封闭面包围的的总电荷总电荷除以除以重要用途重要用途对称条件下，求解电场强度！对称条件下，求解电场强度！静电场高斯定理静电场高斯定理第13页，本讲稿共99页方法一：方法一：“直接法直接法”方法二：方法二：“间接法间接法电势电势”方法三：方法三：“间接法间接法”高斯定理高斯定理轴对称性轴对称性以线电荷为轴、以线电荷为轴、r r为半为半径、单位长度为高作圆柱面径、单位长度为高作圆柱面;因为电场只有径向的分量，因为电场只有径向的分量，例1.无限长带电直线书书P23P23，例，例2.12.

6、1第14页，本讲稿共99页电荷分布具有电荷分布具有对称性对称性时时试试试试E-Gausss Law！请牢牢记住！请牢牢记住！E-Gausss Law 解题特点：解题特点：(1)找到一个闭合曲面找到一个闭合曲面 (2)曲面上曲面上 的大小为常数的大小为常数第15页，本讲稿共99页例例2.球面电荷球面电荷真空中半径为真空中半径为a a带电为带电为QQ的导体球的导体球,球内与球外电场球内与球外电场?通俗解法通俗解法：面电荷密度为：面电荷密度为：面积元为：面积元为：于是得电荷元，用叠加原理。于是得电荷元，用叠加原理。积分的时候注意方向性。积分的时候注意方向性。第16页，本讲稿共99页利用：E-Gaus

7、ss LawE-Gausss Law球内(rara)：因为：对称性！因为：对称性！高明解法：高明解法：第17页，本讲稿共99页2.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 散度方程 旋度方程 物质本征方程第18页，本讲稿共99页 静电场的基本方程静电场的基本方程静电场的基本方程静电场的基本方程1.1.真空中的高斯定理真空中的高斯定理2.2.静电系统的守恒定理静电系统的守恒定理3.3.物质物质特征方程积分形式微分形式旋度方程散度方程第19页，本讲稿共99页散度方程积分形式的引出：证明要点：证明要点：3.3.任意曲面上求积分时，任意曲面上求积分时，“立体角立体角”1.1.仅一个电荷时，证明仅一个电荷时

8、，证明2.2.多个电荷时，多个电荷时，“叠加原理叠加原理”详见书：详见书：P25P252626详细证明过程从略。详细证明过程从略。静电场的散度方程请注意：此处的 q 是指自由电荷qf ！第20页，本讲稿共99页散度方程微分形式的引出：散度方程微分形式的引出：Gausss LawGausss Law积分形式积分形式请注意：此处的 r 是指自由电荷的体密度 rvf ！详见书：详见书：P27P272828第21页，本讲稿共99页例例1.求电位移求电位移已知已知:真空中半径为真空中半径为a a的球形区域内的球形区域内,电荷分布的按照某个体电荷分布的按照某个体密度分布密度分布,求电通量密度求电通量密度.

9、分析：分析：“球体球体”“对称性对称性”球座标！球座标！要分要分“球内球内”、“球外球外”分别计算！分别计算！方法一：方法一：Electrostatic Gausss LawElectrostatic Gausss Law第22页，本讲稿共99页方法二：静电场的基本方程注意“边界条件”微分方程定常数！r ra a时，时，r r 时，时，边界条件将在后文学到边界条件将在后文学到第23页，本讲稿共99页例例2.求电荷分布求电荷分布已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度.分析:由电场分布可知由电场分布可知,球对称球对称,电场只有径向分量；电场只有径向分量；可以直接运用散度方程求解；可以直接运用散

10、度方程求解；仍要分球内和球外两种情况；仍要分球内和球外两种情况；书书P29P29，例，例2.32.3第24页，本讲稿共99页 静电场的旋度方程静电场的旋度方程首先应注意，这是静电场不是任意电场；积分形式:电场沿任意闭合曲线的积分为0；C C指任意闭合曲线；指任意闭合曲线；C C自身方向与自身方向与C C所围曲面方向满足所围曲面方向满足右手规则右手规则；积分式即电场的环流量；积分式即电场的环流量；微分形式:静电场的旋度为0无论在有源区还是无源区；无论在有源区还是无源区；电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？积分形式微分形式第25页，本讲稿共99页旋度方程积分

11、形式的引出：旋度方程积分形式的引出：根据大学物理知识，电场中的点电荷沿任何轨迹移动后又回到原处，则电场力不做功。对点电荷电场的旋度方程积分形式，书P30有证明。对于多个电荷或者任意电荷分布所形成的电场，根据电场叠加原理，或者电场力做功叠加的原理，不难证明旋度方程的积分形式。第26页，本讲稿共99页旋度方程微分的引出：Stokess LawStokess Law积分形式积分形式请注意：对于有源或无源区都成立！详见书：详见书：P30P30第27页，本讲稿共99页2.2 电位及其梯度电位及其梯度Electric Potential1.静电场是无旋场2.定义电位函数：电场强度是电位的负梯度。第28页，

12、本讲稿共99页表示标量场：最大空间增长率的大小和方向的矢量矢量。“梯度”的物理含义？而电场强度方向是电位下降而电场强度方向是电位下降最快的方向。最快的方向。第29页，本讲稿共99页柱坐标系、球坐标系下Gradient?3.回忆：第30页，本讲稿共99页坐标系下坐标系下?笛卡儿坐标系中微分长度笛卡儿坐标系中微分长度笛卡儿坐标系中微分长度笛卡儿坐标系中微分长度柱面坐标系中微分长度柱面坐标系中微分长度柱面坐标系中微分长度柱面坐标系中微分长度球坐标系中微分长度球坐标系中微分长度球坐标系中微分长度球坐标系中微分长度第31页，本讲稿共99页4.空间空间A、B两点间的电位差：两点间的电位差：物理含义：B点到

13、A A点,电位的降低量电场力做的功电位的降低量电场力做的功类似物体下落！只与起点和终点位置有关，与路径无关!第32页，本讲稿共99页5.电位的参考点测量的参考点！6.“点电荷点电荷”的电位的电位令：令：无穷远处电位为零。令：无穷远处电位为零。点处电位：第33页，本讲稿共99页复杂电荷分布下计算电势复杂电荷分布下计算电势dq根据电荷分布不同来求体电荷、面电荷、线电荷体电荷、面电荷、线电荷积分积分离散点电荷的集合离散点电荷的集合求和求和若是真空，上式中为e0若已知电场分布，则第34页，本讲稿共99页例1.“电偶极子”的电位第35页，本讲稿共99页球座标下第36页，本讲稿共99页例2.书P32 例题

14、2.5半径为半径为a a的带电圆盘的带电圆盘,求中心垂直求中心垂直轴线轴线上的上的场强场强.分析：有没有对称性？有没有对称性？有有!能否使用能否使用E-GaussE-Gauss？否否!如何下手？如何下手？法一：直接求场强法一：直接求场强法二：由电位推出场强法二：由电位推出场强第37页，本讲稿共99页方法一：方法一：“直接法直接法”求场强求场强 (柱座标柱座标)：(1)(1)电场电场:，(2)(2)场点：场点：0,0,0,0,z z 环：环：直接法以点电荷为基础直接法以点电荷为基础环上的微分面积环上的微分面积第38页，本讲稿共99页第39页，本讲稿共99页注意“盘子”上下两侧电场的方向！第40页

15、，本讲稿共99页方法二：“间接法”步骤一：求出电位(标量数值叠加！)步骤二：电位电场强度！第第1：“dr圆环”电荷区在场点0,0,z处产生的电位第第2：“圆盘圆盘”电荷区在场点电荷区在场点0,0,z0,0,z处产生的电位第第3：电场强度是电位的负梯度！注意:电场方向是“电位”下降最快的方向！请大家自行验证结果与方法一是否相同请大家自行验证结果与方法一是否相同第41页，本讲稿共99页2.3 两个方程两个方程1.泊松方程2.拉普拉斯方程Poissons EquationLaplaces Equation第42页，本讲稿共99页方程的来源方程的来源静电场的基本方程静电场的基本方程1.真空中的高斯定理

16、2.静电系统的守恒定理3.物质特征方程第43页，本讲稿共99页Poissons Equation(Laplacian):拉普拉斯算符第44页，本讲稿共99页LaplaceLaplaces Equations Equation“条件条件”：空间内没有“体体”电荷分布时：LaplaceLaplaces Equations EquationPoissons Equation第45页，本讲稿共99页需要掌握直角坐标系下该算符的展开形式：Laplacian拉普拉斯算符拉普拉斯算符含义：“梯度”的“散度”标量第46页，本讲稿共99页笛卡儿坐标系第47页，本讲稿共99页微分长度微分长度柱坐标系柱坐标系第48

17、页，本讲稿共99页微分长度微分长度球坐标系第49页，本讲稿共99页例题例题 书书P35 例例2.6第50页，本讲稿共99页例例 2已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?)求：球外的电位？分析：对称性？对称性？球对称！球对称！有几种方法可以求有几种方法可以求“电位电位”？直接求解直接求解积分或代数叠加积分或代数叠加场强求电位场强求电位拉氏方程拉氏方程第51页，本讲稿共99页解法解法1 1因为？球座标系下展开：又因为？确定两个待定常数边界条件直接积分得：第52页，本讲稿共99页解法解法2利用“电位”定义电场力做的功设：导体球带电荷为Q回忆：讲电场强度时所举的例2例2.球面电荷真空中半径为a带电为

18、Q的导体球,球内与球外电场?第53页，本讲稿共99页利用：E-Gausss Law球内(rara)：因为：对称性！第54页，本讲稿共99页2.4 2.4 电偶极子电偶极子(Electric DipoleElectric Dipole)由间距由间距“很小很小”的的2 2个等量正负个等量正负“点点”电荷组成电荷组成 间距：间距：l l“点点”电荷：电荷：q q1 1=q=q、q q2 2=q q+第55页，本讲稿共99页余弦定理余弦定理泰勒级数(lrlr)-+第56页，本讲稿共99页球坐标系下球坐标系下第57页，本讲稿共99页电偶极子的电矩矢量电矩矢量令：令：大小：？方向：？Electric Di

19、pole MomentElectric Dipole Moment+-第58页，本讲稿共99页电偶极子的电距矢量单位：第59页，本讲稿共99页第60页，本讲稿共99页第61页，本讲稿共99页电力线方程：电力线与场强平行球坐标系下微分长度:电偶极子的电力线电力线方程：图形？(1)(2)第62页，本讲稿共99页2.5 2.5 静电场中的导体（略讲）静电场中的导体（略讲）导体？带有大量自由电荷的物质带有大量自由电荷的物质.静电场中,平衡状态下,导体内部电场处处为0.一些结论（适用于静电场）：导体所带的含净电荷一定分布于表面；导体所带的含净电荷一定分布于表面；是均匀分布？面电荷密度是常数？是均匀分布？

20、面电荷密度是常数？导体是等势体，导体表面是等势面；导体是等势体，导体表面是等势面；等势面与电力线相垂直，所以等势面与电力线相垂直，所以请大家自学书P39,例2.7第63页，本讲稿共99页2.6 2.6 静电场中的介质（略讲）静电场中的介质（略讲）“电场电场”对外界的作用：对外界的作用：对“导体”“法拉第圆筒”对“电介质”“极化”Polarization of DielectricPolarization of DielectricWhat is Polarization?介质中介质中“束缚电荷束缚电荷”电子、离子或分子电子、离子或分子受电场影响感应出：电偶极子受电场影响感应出：电偶极子极化极化

21、第64页，本讲稿共99页“极化强度极化强度”的定义的定义外电场作用下介质中某点处合成电距体密度。单位：C/m2极化介质体内的束缚电荷密度：极化介质体表的束缚电荷密度：极化介质体表的束缚电荷密度：第65页，本讲稿共99页介质中的电位移介质中的电位移 DisplacementDisplacement对于各向同性的均匀介质：对于各向同性的均匀介质：极化率、极化系数：极化率、极化系数单位：无单位：无电容率（电容率（PermittivityPermittivity）介电常数（介电常数（Dielectric ConstantDielectric Constant）定义相对介电常数：定义相对介电常数：第66

22、页，本讲稿共99页介质中的高斯定理介质电场介质电场 束缚电荷 束缚电荷电场束缚电荷电场束缚电荷电场原有电场 新电场fc:Free Chargefc:Free Chargepc:Polarization Chargepc:Polarization Charge第67页，本讲稿共99页电位移电位移 极化强度极化强度 电场强度电场强度DisplacementDisplacementPolarization Polarization Electric FElectric F 介质中的高斯定理介质中的高斯定理第68页，本讲稿共99页静电场的动画演示静电场的动画演示第69页，本讲稿共99页2.7 静电场的

23、边界条件静电场的边界条件什么是边界条件？边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间的关系。边界的分类：第第1 1类类:已知整个边界上的电位已知整个边界上的电位Dirichlet Problems Dirichlet Problems 狄理赫利问题狄理赫利问题第第2 2类类:已知整个边界上电位的法导已知整个边界上电位的法导Neumann Problems Neumann Problems 纽曼问题纽曼问题第第3 3类类:已知部分边界电位已知部分边界电位+另一部分边界电位法导另一部分边界电位法导Hybrid ProblemsHybrid Problems 混合问题混合问题第70页，本讲稿共

24、99页1.1.电介质的边界条件电介质的边界条件-法向利用利用GaussGauss定理做一个很扁很扁的的“扁盒子”-界面上自由电荷面密度第71页，本讲稿共99页讨讨 论论界面上没有自由电荷时导体表面第72页，本讲稿共99页2.2.电介质的边界条件电介质的边界条件-切向切向利用势能定理利用势能定理做一条“闭合回路”Dh h 0第73页，本讲稿共99页电介质的边界条件-小结1.法向：2.切向：第74页，本讲稿共99页3.电介质的边界条件电介质的边界条件-应用应用“光线折射”第75页，本讲稿共99页2.8 导体系统的电容导体系统的电容电容的定义1.1.传统的定义：两个导体传统的定义：两个导体,分别带电

25、分别带电q q和和q q,电位差电位差UU，则，则C C=q/Uq/U;2.2.自电容：孤立导体自电容：孤立导体,带电带电q q,电位电位y y,则则C=q/C=q/y y;3.3.部分电容：多个导体部分电容：多个导体,较复杂的带电情况较复杂的带电情况,两两导两两导体之间的相对电容参数体之间的相对电容参数是一种分布参数是一种分布参数.电容的大小与导体系统的尺寸和介电常数有关，与它是否带电无关。下面，先学习传统定义电容的计算。第76页，本讲稿共99页例例1：理想电容器理想电容器电容器 Capacitor，电容Capacitance平板电容,两块板面积S,间距d,板间介质e,求电容。假设有电压U,

26、板间无电荷,Laplaces Equ.第77页，本讲稿共99页边界条件：边界条件：DirichletDirichlet Problems Problems第78页，本讲稿共99页例例2.书书pp.48-49同心导体球壳，求电容。一般计算方法的第一步是假设有Q或U。第79页，本讲稿共99页2.9 电场能量静电力 电场能量第80页，本讲稿共99页电位做功空间某点的电位：等于把单位正电荷从电位参考点处移动到该点，外力做的功。或者说：.静电场是保守场路径无关！令：无穷远处，电位为零：令：无穷远处，电位为零：“点电荷”的电位：第81页，本讲稿共99页电场具有能量能量的来源：建立电荷系统的过程中，外界做功

27、提供的能量能量是守恒的！第82页，本讲稿共99页问题的提出：如何研究系统的电场能量？问题的提出：如何研究系统的电场能量？思路：归纳法！思路：归纳法！(1)只有1个点电荷时，个点电荷时，产生电位产生电位(2)系统由2 2个个点电荷组成时，(3)(3)系统由3 3个点电荷组成时，点电荷组成时，(4)系统由n个点电荷组成时，个点电荷组成时，第83页，本讲稿共99页“点电荷”在场点产生的电位：系统只由一个电荷组成时：系统只由一个电荷组成时：第84页，本讲稿共99页 把电荷Q2从无穷远处移动到移动到离电荷Q1 1的距离是R R12的位置时，外力做的功：的位置时，外力做的功：组建一个只有组建一个只有2 2

28、个电荷的个电荷的“电荷系统电荷系统”同理：取：第85页，本讲稿共99页组建一个有组建一个有3 3个电荷的个电荷的“电荷系统电荷系统”先组建一个只有先组建一个只有2 2个电荷的系统，个电荷的系统，再再“加上加上”第三个电荷第三个电荷：其余电荷在i点处产生的电位第86页，本讲稿共99页多电荷系统离散电荷其中：第87页，本讲稿共99页多电荷系统体电荷利用：利用：第88页，本讲稿共99页化简：各向同性引入能量密度：单位：J/m3第89页，本讲稿共99页能量密度：能量密度第90页，本讲稿共99页1.1.由带有固定电荷的物体组成的孤立系统2.由具有固定电位的导体组成的系统解题注意事项：1.1.电位固定电位

29、固定还是还是电荷固定电荷固定！2.2.移动方向，移动方向，什么是变量什么是变量，不是常量！，不是常量！3.3.必须首先设定虚位移的必须首先设定虚位移的正方向正方向！第91页，本讲稿共99页例：电容器极板受力分析解题注意事项：解题注意事项：1.1.电位固定电位固定还是还是电荷固定电荷固定！2.2.移动方向，移动方向，什么是变量什么是变量，不是常量！，不是常量！3.3.必须首先设定虚位移的必须首先设定虚位移的正方向正方向！第92页，本讲稿共99页方法一：固定电荷法方法一：固定电荷法含义：z第93页，本讲稿共99页方法二：固定电位法思考：第94页，本讲稿共99页2.10 单位冲激函数及其性质单位冲激

30、函数及其性质d d第95页，本讲稿共99页1.单位冲激函数单位冲激函数d d(t)定义定义:d d(t t)是定义在整个实数上的函数，其定义式为是定义在整个实数上的函数，其定义式为:第96页，本讲稿共99页2.基本性质基本性质对于任意的连续函数f(t)有d(t)是偶函数，d(t)d(t)；d(t)的傅立叶变换为：所以称为单位冲激函数。所以称为单位冲激函数。第97页，本讲稿共99页3.在电磁场中的应用在电磁场中的应用1.冲量定理法求解非齐次偏微分方程；2.描述点电荷体密度3.筛选特性：筛选特性：第98页，本讲稿共99页4.函数表示：若 r2=x2+y2+z2，则与封闭面对其内一点的立体角有关？与封闭面对其内一点的立体角有关？与点电荷周围的电位有关？与点电荷周围的电位有关？格林定理(Greens Law)第一恒等式第二恒等式唯一性定理(Uniqueness Theorem)第99页，本讲稿共99页