第1讲基本方程精.ppt

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1、第1讲基本方程第1页，本讲稿共36页2Copyright by Li Xinliang版权声明：版权声明：本本PPT的版权为作者李新亮所有，作者将本的版权为作者李新亮所有，作者将本PPT公布至公布至“流体中文网流体中文网”，供各位相，供各位相关领域师生使用。关领域师生使用。如在论文、报告、专著中使用本如在论文、报告、专著中使用本PPT的内容，请务必进行标注。的内容，请务必进行标注。致谢：本感谢清华大学任玉新教授提供的清华大学计算流体力学课程PPT.本讲义（主要是第一讲）中采用了任玉新教授PPT的部分素材，特此表示感谢。第2页，本讲稿共36页第第1讲讲 流体力学基本方程流体力学基本方程计算流体力

2、学计算流体力学(CFD)的概念及意义的概念及意义 流体力学的基本方程流体力学的基本方程 偏微分方程组的类型偏微分方程组的类型 重点重点:了解了解N-S方程的由来及物理含义，熟练掌握方程的由来及物理含义，熟练掌握N-S方程方程 了解偏微方程的基本类型了解偏微方程的基本类型3Copyright by Li Xinliang第3页，本讲稿共36页1.计算流体力学的基本概念计算流体力学的基本概念计算流体计算流体(动动)力学力学Computational Fluid Dynamics 简称简称CFD“计算流体力学是通过计算流体力学是通过数值方法数值方法求解流体力求解流体力学控制方程，得到流场的学控制方程

3、，得到流场的离散的定量描述离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科并以此预测流体运动规律的学科”。第一章第一章 绪论绪论4Copyright by Li Xinliang第4页，本讲稿共36页流动控制方程流动控制方程 理论解理论解（解析解）（解析解）精确解：精确解：Poiseuille解，解，Blasius解，解，Plantdl 湍流边界层解湍流边界层解渐进解、近似解：渐进解、近似解：Stokes解解数值解数值解差分法、差分法、有限体积法、边界元法、谱（元）方法、有限体积法、边界元法、谱（元）方法、粒子方法粒子方法 借助计算机来实现数值求解借助计算机来实现数值求解在计算机产生之前，数值方法

4、已然产生在计算机产生之前，数值方法已然产生 Mach10正激波平板60方程复杂（非线性偏微方程组），方程复杂（非线性偏微方程组），解析解很难获得解析解很难获得5Copyright by Li Xinliang第5页，本讲稿共36页连续解连续解微分方程微分方程 网格划分网格划分数值方法数值方法 解的离散表示解的离散表示代数方程代数方程 离散方程求解离散方程求解数值计算数值计算 离散点上的数离散点上的数值解解Mach10正激波平板606Copyright by Li Xinliang第6页，本讲稿共36页计算流体力学计算流体力学(CFD):(CFD):在航空航天领域得到广泛应用在航空航天领域得到广

5、泛应用 1970 1970 年代，年代，飞机设计主要依赖风洞实验飞机设计主要依赖风洞实验 YF-17 YF-17研制，风洞实验研制，风洞实验13,50013,500小时小时 19801980年代，年代，CFDCFD逐渐发展，逐渐发展，部分取代实验部分取代实验 YF-23 YF-23，风洞实验，风洞实验5,5005,500小时，小时，CFDCFD计算计算15,00015,000机时机时YF17YF23YF177Copyright by Li Xinliang第7页，本讲稿共36页 90 90年代，年代，CFD CFD 在飞机设计中发挥了主力作用在飞机设计中发挥了主力作用 波音波音777777，C

6、FDCFD占主角占主角 2000 2000 之后，之后，CFD CFD 取代了大部分风洞实验取代了大部分风洞实验 波音波音787787：全机风洞实验仅：全机风洞实验仅3 3次次波音787波音777 航天领域，航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件实验难点：复现高空高速流动条件 8Copyright by Li Xinliang第8页，本讲稿共36页CFD 面临的挑战及主要任务：面临的挑战及主要任务：多尺度复杂流动的数学模型化多尺度复杂流动的数学模型化;湍流的计算模型；湍流的计算模型；转捩的预测模型；转捩的预测模型；燃烧及化学反应模型；燃

7、烧及化学反应模型；噪声模型噪声模型可处理间断及多尺度流场的高可处理间断及多尺度流场的高分辨率分辨率、强鲁棒性、高效强鲁棒性、高效数值方法；数值方法；高精度激波捕捉法；高精度激波捕捉法；间断有限元法间断有限元法;可处理复杂外形、易用性强的算法；可处理复杂外形、易用性强的算法；复杂外形复杂外形 网格生成工作量大网格生成工作量大 多块分区算法；多块分区算法；无网格法；无网格法；粒子算法；粒子算法；9Copyright by Li Xinliang第9页，本讲稿共36页课程安排课程安排1.流体力学基本方程流体力学基本方程2.双曲型方程组及其特性双曲型方程组及其特性3.差分法差分法 （1）：差分方法的数

8、学基础差分方法的数学基础4.差分法差分法 （2）：）：差分格式的构造及分析差分格式的构造及分析5.可压缩流体力学方程组的离散方法可压缩流体力学方程组的离散方法6.激波高分辨率差分方法激波高分辨率差分方法7.代数方程组的求解代数方程组的求解8.不可压方程的数值方法不可压方程的数值方法9.网格生成技术网格生成技术10.并行计算的并行计算的MPI编程初步编程初步（Part 1,Part 2）11.湍流的计算方法湍流的计算方法（1）：）：RANS 12.湍流的计算方法（湍流的计算方法（2）：LES及及DNS;计算声学初步计算声学初步13.常用常用CFD软件（软件（Fluent）及可视化软件（）及可视化

9、软件（Tecplot,AVS）介绍介绍14.案例教学案例教学(1)15.案例教学案例教学（2）10Copyright by Li Xinliang第10页，本讲稿共36页 1.1 流体力学基本方程组流体力学基本方程组连续介质假设；连续介质假设；宏观守恒律：宏观守恒律：质量守恒、动量守恒、能量守恒质量守恒、动量守恒、能量守恒 考虑任意控制体考虑任意控制体;计算计算dt 时刻内流出的质量时刻内流出的质量控制体（1）1）质量守恒律质量守恒律单位时刻表面微元单位时刻表面微元ds的流出质量为：的流出质量为：总质量流出为总质量流出为根据质量守恒：根据质量守恒：控制体内质量的增加控制体内质量的增加=流入控制

10、体的质量流入控制体的质量第二章第二章 流体力学基本方程及其数学性质流体力学基本方程及其数学性质1.基本方程的推导基本方程的推导基本概念基本概念:随体导数随体导数（Euler型）控制体特性：型）控制体特性：不不运动、不变形运动、不变形控制体的任意性控制体的任意性11Copyright by Li Xinliang第11页，本讲稿共36页2）动量守恒律动量守恒律单位时刻单位时刻内，流出面元内，流出面元ds的动量为：的动量为：总流出动量为总流出动量为:根据动量守恒：根据动量守恒：外力的合力：外力的合力：质量力质量力：表面力表面力：控制体内的动量增加控制体内的动量增加=流入的动量流入的动量+表面力的冲

11、量表面力的冲量+体积力的冲量体积力的冲量12Copyright by Li Xinliang第12页，本讲稿共36页根据本构方程（广义牛顿粘性定律）根据本构方程（广义牛顿粘性定律）通常情况下：通常情况下：基本概念：基本概念：应力应力（张量）（张量）“把固体切开，其内部的力才暴露把固体切开，其内部的力才暴露出来出来”“切的方向不同，表面上的力也切的方向不同，表面上的力也不同不同”给定方向，就能得到表面力给定方向，就能得到表面力 普通的线性应力普通的线性应力-应变关系：应变关系：各向同性假设 静止流体应力张量保持各向同性（帕斯卡定律）：静止流体应力张量保持各向同性（帕斯卡定律）：静止流体：静止流体

12、：静止部分：静止部分+运动部分运动部分通常情况下，第二粘性系数（膨胀粘性）可忽略13Copyright by Li Xinliang第13页，本讲稿共36页3）能量守恒律能量守恒律单位体积内流体的总能量单位体积内流体的总能量=动能动能+内能内能流出的体积流出的体积dV带走的能量带走的能量外力做功外力做功质量力质量力：表面力：表面力：热传递：热传递：控制体内的能量变化控制体内的能量变化=流入的能量流入的能量+表面力做功表面力做功+体积力做功体积力做功+传入热量传入热量Fourier传热定律：传热定律：14Copyright by Li Xinliang第14页，本讲稿共36页最终N-S方程组为：

13、也可写成如下分量形式 （计算流体力学2.1.1）补充状态方程：15Copyright by Li Xinliang第15页，本讲稿共36页2.N-S方程的无量纲化方程的无量纲化采用无量纲方程的优缺点采用无量纲方程的优缺点 无量纲方式可以无量纲方式可以任意任意出现的无量纲参数：作业：作业：推导推导N-S方程的无量纲化形式方程的无量纲化形式 不同的无量纲方式得到的方程的形式不同无量纲状态方程：16Copyright by Li Xinliang第16页，本讲稿共36页3.N-S方程的简化方程的简化1）不可压情况下2）无粘情况下（Euler方程）通常：变形：假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）1

14、7Copyright by Li Xinliang第17页，本讲稿共36页 2.2 偏微方程的分类及特征偏微方程的分类及特征1.一阶偏微方程一阶偏微方程采用特征线法，可转化为常微分方程采用特征线法，可转化为常微分方程考虑曲线G:显然，沿着该曲线G有：如果该曲线G满足：则有：偏微方程在特征线上变成了常微分方程偏微方程在特征线上变成了常微分方程特征线特征线特征相容关系特征相容关系18Copyright by Li Xinliang第18页，本讲稿共36页 特例：常系数线性单波方程特例：常系数线性单波方程特征线G：特征关系式：或 扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为扰动沿特征线以有限速度传播的方程称

15、为“双曲型双曲型”方程方程 基本特征：基本特征：扰动以有限速度传播扰动以有限速度传播 局部依赖关系局部依赖关系-“依赖域依赖域”、“影响域影响域”19Copyright by Li Xinliang第19页，本讲稿共36页2.一阶常系数偏微方程组一阶常系数偏微方程组如果矩阵如果矩阵A 可以被对角化：可以被对角化：令：有即：m个方程完全解耦，解耦，可独立求解可独立求解有有m 条特征线：条特征线：m个特征相容关系式个特征相容关系式：如果矩阵如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型双曲型的的20Copyright by Li Xinliang第20页，本讲

16、稿共36页 如果矩阵如果矩阵A 具有具有m个实特征值，个实特征值，这些特征值共具有这些特征值共具有m个线性无关的特征个线性无关的特征向量，向量，则称为则称为双曲型方程双曲型方程 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。如果如果A A的特征值为的特征值为m m重根，而且对应的独立特征向量数小于重根，而且对应的独立特征向量数小于m m，则称为，则称为抛物型抛物型方程。方程。如果其如果其A A的特征值均为复数，则称为的特征值均为复数，则称为椭圆型椭圆型方程方程组合情况：组合情况：双曲双曲-椭圆型椭圆型 双曲双曲-抛物型抛物型思考题：思考题：如果如果A为变系数情况？为

17、变系数情况？21Copyright by Li Xinliang第21页，本讲稿共36页3.高阶偏微方程高阶偏微方程 可转化为一阶方程组可转化为一阶方程组原方程化为一阶方程组：原方程化为一阶方程组：转化为一阶偏微方程组转化为一阶偏微方程组矩阵矩阵特征方程（特征方程（3）有两个互异实根）有两个互异实根-矩阵矩阵A可对角化可对角化-双曲型双曲型 特征方程（特征方程（3）有两个相同实根，且无法对角化有两个相同实根，且无法对角化 -抛物型抛物型特征方程（特征方程（3）无实根）无实根 -椭圆型椭圆型对于变系数情况，对于变系数情况，局部讨论局部讨论22Copyright by Li Xinliang第22

18、页，本讲稿共36页4.讨论讨论Euler方程组方程组作业题作业题1-1：给出给出A,S,S-1,的具体推导过程的具体推导过程将矩阵将矩阵A对角化对角化一维非定常一维非定常Euler方程转化为方程转化为三个单波方程三个单波方程 扰动波分别以速度扰动波分别以速度 传播传播一维非定常流动：23Copyright by Li Xinliang第23页，本讲稿共36页二维二维非定常非定常Euler方程组方程组作业题：作业题：判断二维定常判断二维定常Euler方程的类型（双曲、抛物、椭圆）方程的类型（双曲、抛物、椭圆）24Copyright by Li Xinliang第24页，本讲稿共36页二维定常二维

19、定常Euler方程方程25Copyright by Li Xinliang第25页，本讲稿共36页 2.3 模型方程及其数学性质简化的模型方程：简化的模型方程：线性单波方程线性单波方程 最简单的双曲型方程最简单的双曲型方程 热传导方程热传导方程 抛物型抛物型 Laplace方程方程椭圆型椭圆型 Burgers方程方程混合型混合型目的：目的：通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法偏微分方程的分类：椭圆型抛物型双曲型26Copyright by Li Xinliang第26页，本讲稿共36页1.线性单波方程线性单波方程方程的

20、精确解：方程的精确解：含义：含义：以常速度以常速度c向右传播。向右传播。波形，振幅保持不变波形，振幅保持不变ABc0 扰动波向右传播：扰动波向右传播：左端左端(A)需要给定边界条件；需要给定边界条件；右端右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件只能被动接受，无法给定边界条件 （即使给定，对计算域也无任何影响（即使给定，对计算域也无任何影响,且造成且造成B端的非适定性）。端的非适定性）。c0 扰动波向左传播：扰动波向左传播：右端右端(B)需要给定边界条件；需要给定边界条件；左端左端(A)无需给定无需给定线性单波方程的边界条件线性单波方程的边界条件:对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一

21、、且连续依赖于初始对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是值，则称数学问题的提法是适定的适定的。对流方程的典型模型对流方程的典型模型27Copyright by Li Xinliang第27页，本讲稿共36页xtxaxbA1)波动方程有两条特征线和两个特征相容波动方程有两条特征线和两个特征相容关系；每个特征相容关系携带了偏微分方关系；每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息，在相应的特征线上传播，程的部分信息，在相应的特征线上传播，信息传播的速度就是相应特征值。信息传播的速度就是相应特征值。特点特点:2)两条特征线上的特征相容关系综合起来，和

22、原来的偏两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程的方法称为特征线法。的方法称为特征线法。28Copyright by Li Xinliang第28页，本讲稿共36页xtxaxbA4)边界条件边界条件边界条件个数=边界处指向求解域内的特征线条数5）时间变量的单向性）时间变量的单向性 29Copyright by Li Xinliang第29页，本讲稿共36页2.热传导方程热传导方程 抛物型方程抛物型方

23、程精确解精确解：特点：扰动解瞬时传遍整个计算域扩散方程的典型模型扩散方程的典型模型30Copyright by Li Xinliang第30页，本讲稿共36页抛物型方程特点抛物型方程特点由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物

24、型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于 整个求解域。整个求解域。抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向性，可抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向性，可以用推进的方法求解。同双曲型方程一样，抛物型方程也是发展型方程。以用推进的方法求解。同双曲型方程一样，抛物型方程也是发展型方程。tx31Copyright by Li Xinliang第31页，本讲稿共36页3.Burgers方程方程对流对流-扩散方程扩散方程精确解：含义：含义：扰动波既下下游传播，同时进行扩散扰动波既下下游传播，同时进行扩散32Copy

25、right by Li Xinliang第32页，本讲稿共36页4.椭圆型方程椭圆型方程：Laplace方程33Copyright by Li Xinliang第33页，本讲稿共36页椭圆型方程特点椭圆型方程特点椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以，特征线、相容关系椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以，特征线、相容关系等均无定义；不能沿某一方向推进求解（必须整个求解域同时等均无定义；不能沿某一方向推进求解（必须整个求解域同时求解）；求解）；椭圆型方程不存在有限的影响域和依赖域，或者说，任何一点椭圆型方程不存在有限的影响域和依赖域，或者说，任何一点的影响域和依赖域都是整个求解域；的影响域和依赖域

26、都是整个求解域；椭圆型方程只能提边值问题。椭圆型方程只能提边值问题。在物理上，椭圆型方程对应着一种稳态平衡的过程，称为平在物理上，椭圆型方程对应着一种稳态平衡的过程，称为平衡方程。衡方程。34Copyright by Li Xinliang第34页，本讲稿共36页椭圆型方程边界条件的提法：椭圆型方程边界条件的提法：第1类边界条件（Dirichlet问题）第2类边界条件（Neumann问题）第3类边界条件（Robin问题）35Copyright by Li Xinliang第35页，本讲稿共36页Copyright by Li Xinliang36作业1.推导无量纲的Navier-Stokes方程2.对于一维Euler方程组 推导Jocabian矩阵 以及 中 的表达式。要求：给出具体推导过程，切忌从书上抄录公式第36页，本讲稿共36页