第1讲相似矩阵及二次型精.ppt

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1、第1讲相似矩阵及二次型第1页，本讲稿共44页1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性第2页，本讲稿共44页1.1.定义：定义：内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质第3页，本讲稿共44页说明1 维向量的内积是3维向量内积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义第4页，本讲稿共44页2.内积的运算性质（施瓦兹不等式）（施瓦兹不等式）第5页，本讲稿共44页1.1.定义：定义：令长度范数2.性质：性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质第6页，本讲稿共44页3.单位向量：4.n维向量间的夹角维向量间的夹角第7页，本讲稿共44页1.1.正交的概念正交的概念2.2.正交向量组的概念

2、正交向量组的概念三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组第8页，本讲稿共44页证明：证明：3.正交向量组的性质第9页，本讲稿共44页4.向量空间的正交基例例是二维向量空间的一个正交基是二维向量空间的一个正交基第10页，本讲稿共44页5.5.规范正交基规范正交基例如例如第11页，本讲稿共44页第12页，本讲稿共44页 同理可知第13页，本讲稿共44页（）正交化正交化：（2）求规范正交基的方法步骤：步骤：取 ，第14页，本讲稿共44页（）单位化）单位化：取施密特正交化施密特正交化 过程过程 第15页，本讲稿共44页例1 用施密特

3、正交化方法，将向量组正交规范化.解：解：取取先正交化先正交化.第16页，本讲稿共44页再单位化，再单位化，得规范正交向量组如下：得规范正交向量组如下：第17页，本讲稿共44页1.1.正交矩阵正交矩阵（2 2）定理：）定理：四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换（1）定义：）定义：A的列（或行）向量都是单位向量且两两正交A 为正交矩阵注：注：正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空间Rn 的一个规范正交基第18页，本讲稿共44页（3）性质：正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换2.2.正交变换正交变换（1 1）定义：）定义：（2 2）

4、性质：）性质：第19页，本讲稿共44页例2 判别下列矩阵是否为正交阵解：解：所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于第20页，本讲稿共44页所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于解：第21页，本讲稿共44页2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量第22页，本讲稿共44页注：注：一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第23页，本讲稿共44页2.特征方程与特征多项式第24页，本讲稿共44页3.特征值的性质例1 第25页，本讲稿共44页解解例2 第26页，本讲稿共44页第27页，本讲稿共44页例 3 解解第28页，本讲稿

5、共44页第29页，本讲稿共44页第30页，本讲稿共44页例 4 设求A的特征值与特征向量解解第31页，本讲稿共44页第32页，本讲稿共44页得基础解系为：得基础解系为：第33页，本讲稿共44页例 5 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤 次，就得第34页，本讲稿共44页（3）第35页，本讲稿共44页求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结：小结：第36页，本讲稿共44页证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质第37页，本讲稿共44页把上列各式合写成矩阵形式，得第38页，本讲稿共44页注：注：1 10 0 属于不

6、同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的3 30 0 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征一个特征向量不能属于不同的特征值向量不能属于不同的特征值20 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量第39页，本讲稿共44页第40页，本讲稿共44页例 6 设A是 阶方阵，其特征多项式为：解：解：AT与与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值有相同的特征多项式，也有相同的特征值第41页，本讲稿共44页1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化小结：小结：2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第42页，本讲稿共44页思考题：思考题：第43页，本讲稿共44页思考题解答：思考题解答：第44页，本讲稿共44页