第1章 预备知识精.ppt

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1、第1章 预备知识第1页，本讲稿共43页2023/2/202学习要求学习要求不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来第2页，本讲稿共43页2023/2/203学习重点学习重点1.用随机变量表示事件及其分解基本理论2.全概率公式基本技巧3.数学期望和条件数学期望基本概念第3页，本讲稿共43页2023/2/2041.1概率空间概率空间随机试验随机试验 要点：要点：在相同条件下，试验可重复进行；在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。预先断言究竟会出现哪个结果。

2、随机事件与概率随机事件与概率第4页，本讲稿共43页2023/2/205样本点样本点 对于随机试验E，以表示它的一个可能出现的试验结果，称为E的一个样本点。样本样本空间空间 样本点的全体称为样本空间，用表示。数学术语：数学术语：空间空间是指一种具有特殊性质及一些额外结是指一种具有特殊性质及一些额外结构的构的集合集合集合：具有某种特殊性质的个体的聚合集合：具有某种特殊性质的个体的聚合第5页，本讲稿共43页2023/2/206关于可数和不可数关于可数和不可数集合的映射：单射、满射和双射原像集像集单射（不同的原像具有不同的像）第6页，本讲稿共43页2023/2/207满射满射（每一个像都有原像）原像集

3、像集第7页，本讲稿共43页2023/2/208双射双射（既是单射，又是满射）原像集像集 从直觉上承认能建立双射关系的两个集合，其所含元素的“个数”一样多。第8页，本讲稿共43页2023/2/209可数和不可数的定义可数和不可数的定义凡是能和自然数集合或者自然数集合的一个子集建立双射关系的集合称为可数集合；否则称为不可数集合。可数和不可数是人类认识“无穷”所产生的概念，是对无穷的分类。已经证明连续的区间，和实数集等都是不可数集合：1,2,(0.1,0.01),R,等等第9页，本讲稿共43页2023/2/2010对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立对于自然数集 ，偶数集合是一个子集 ，但我们

4、将 中的 和 中的 建立对应关系，就发现这是一个双射。希尔伯特旅馆希尔伯特旅馆(自然数旅馆)的“故事”第10页，本讲稿共43页2023/2/2011无穷大的趣闻无穷大的趣闻三次数学危机三次数学危机第一次危机：无理数的发现（正方形的对角线）第二次危机：微积分中的无穷小量（确定无穷小是运动的量，无限趋于零但不等于零）第11页，本讲稿共43页2023/2/2012第三次数学危机罗素悖论 数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。第12页，本讲稿共43页2023/2/2013随机事件随机事件 粗略地说，样本空间的子集就是随

5、机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算事件的关系与运算 第13页，本讲稿共43页2023/2/2014第14页，本讲稿共43页2023/2/2015示性函数示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件第15页，本讲稿共43页2023/2/2016用示性函数的关系及运算来用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算表示相关事件的关系及运算第16页，本讲稿共43页2023/2/2017公理化定义公理化定义集类集类第17页，本讲稿共43页2023/2/2018第18页，本讲稿共43页19设设（，F F）为可测空间）为可测空间,映射映射P P：F F R R，A A P P（

6、A A）满足满足(1)(1)A A F F，0 0 P P（A A）1 1(2)(2)P P（）=1=1(3)(3)称称P P 是是可测空间可测空间(,F F)上的上的概率测度概率测度，简称，简称概率概率。称称(,F F,P P)为为概率空间概率空间，称，称F F为事件域。为事件域。若若A A F F，称，称A A为为随机事件随机事件，P P(A A)为事件为事件A A的概率。的概率。第19页，本讲稿共43页2023/2/2020第20页，本讲稿共43页集函数是测度论中定义的概念集函数是测度论中定义的概念设设F F是是上的非空集合类。若对于每一个上的非空集合类。若对于每一个AF,AF,都有一个

7、实数或者都有一个实数或者之一与之对应，之一与之对应，记为记为P(A)P(A)，且至少有一个，且至少有一个AF,AF,使得使得P(A)P(A)取取有限值，称有限值，称P(A)P(A)为定义在为定义在F F上的集函数。上的集函数。2023/2/2021概率是满足概率是满足 1 1）非负性；）非负性；2 2）归一性；）归一性；3 3）可列可加性；）可列可加性；的集函数。的集函数。第21页，本讲稿共43页2023/2/2022第22页，本讲稿共43页2023/2/2023概率的性质概率的性质1.2.3.有限可加性有限可加性 第23页，本讲稿共43页2023/2/20244.5.6.第24页，本讲稿共4

8、3页2023/2/20257.8.可列次可加性可列次可加性9.概率连续性概率连续性第25页，本讲稿共43页2023/2/2026条件概率条件概率设设(,F F,P P)为概率空间，为概率空间，若事件若事件 A A，B B F F，第26页，本讲稿共43页2023/2/2027全概率公式全概率公式第27页，本讲稿共43页2023/2/2028事件之间的关系：独立事件之间的关系：独立设设(,F F,P P)为概率空间，为概率空间，若对任意若对任意A A1 1,A A2 2,A An n F F，n n=1,2,=1,2,，即即 A A1 1,A A2 2,A An n F F，有有 则称则称 A

9、A1 1,A A2 2,A An n 为为独立事件族独立事件族。事件事件A,B A,B 独立，有独立，有 P P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B)第28页，本讲稿共43页2023/2/2029事件之间的关系：独立和互斥事件之间的关系：独立和互斥独立的两个事件不一定互斥独立的两个事件不一定互斥互斥的两个事件不一定独立互斥的两个事件不一定独立第29页，本讲稿共43页2023/2/2030事件的独立性事件的独立性第30页，本讲稿共43页2023/2/2031 几个事件的独立性几个事件的独立性事件事件A,B,C相互独立，有相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(

10、C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)第31页，本讲稿共43页2023/2/2032第32页，本讲稿共43页2023/2/2033比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？第33页，本讲稿共43页2023/2/2034机遇偏爱有心人！机遇偏爱有心人！第34页，本讲稿共43页2023/2/2035 一次成功的概率只有一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！至少一次成功就是大概率事件！第35页，本讲稿共43页2023/2/2036只要功夫深，铁杵磨成针！第3

11、6页，本讲稿共43页A1：假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央，帽子先被弄混了，随后每个人在其中中央，帽子先被弄混了，随后每个人在其中随机地选取一个。问三人中没有人选到他自随机地选取一个。问三人中没有人选到他自己的帽子的概率是多少？己的帽子的概率是多少？2023/2/2037第37页，本讲稿共43页A2：（a a）某赌徒在衣袋中放有一枚均匀的硬币和）某赌徒在衣袋中放有一枚均匀的硬币和一枚两面都是正面的硬币。他随机选取一枚，一枚两面都是正面的硬币。他随机选取一枚，抛后结果是正面。问它是均匀的硬币的概率抛后结果是正面。问它是均匀的硬币的概率是多少？是多少

12、？（b b）假定他对同一枚硬币抛第二次，它又出）假定他对同一枚硬币抛第二次，它又出现正面。现在，它是均匀的硬币的概率是多现正面。现在，它是均匀的硬币的概率是多少？少？（c c）假定他对同一枚硬币抛第三次，它出现）假定他对同一枚硬币抛第三次，它出现反面。现在，它是均匀的硬币的概率是多少反面。现在，它是均匀的硬币的概率是多少？2023/2/2038第38页，本讲稿共43页A3：一个瓮中有一个瓮中有b b个黑球，个黑球，r r个红球。从中随机选个红球。从中随机选取一个球，但是当将它放回瓮中的时候，又取一个球，但是当将它放回瓮中的时候，又加进了加进了c c个与之同色的球。现在我们再取另一个与之同色的球

13、。现在我们再取另一球。证明已知取到的第二个球是红球时，取球。证明已知取到的第二个球是红球时，取到的第一个球是黑球的条件概率是到的第一个球是黑球的条件概率是 b/(b+r+c)b/(b+r+c)2023/2/2039第39页，本讲稿共43页2023/2/2040第40页，本讲稿共43页代数通常由三部分组成；代数通常由三部分组成；1 1一个集合，叫做代数的载体。一个集合，叫做代数的载体。2 2定义在载体上的运算定义在载体上的运算3 3载体的特异元素，也称代数常数载体的特异元素，也称代数常数群、环、域群、环、域2023/2/2041第41页，本讲稿共43页群：设群：设G,是代数系统，是代数系统，为二

14、元运算为二元运算 1 1）如果）如果 运算是可结合的（半群），运算是可结合的（半群），2 2）存在单位元）存在单位元 e Ge G，3 3）对）对G G中的任何元素中的任何元素x x都有都有 x-1 Gx-1 G2023/2/2042第42页，本讲稿共43页环：设环：设G,+,是代数系统，是代数系统，,+,+为二元运算为二元运算 1 1）构成交换群构成交换群 2 2）G,构成半群构成半群 3 3）关于关于+适合分配率适合分配率2023/2/2043域：设域：设G,+,是环，是环，,+,+为二元运算为二元运算 1 1）+，均可交换，可结合均可交换，可结合 2 2）存在单位元存在单位元 ，幺元，幺元，逆元逆元Back第43页，本讲稿共43页