计量经济学课件3.pptx
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1、1本章主要介绍以下内容:第一节双变量线性回归模型的估计第二节最小二乘法估计量的性质第三节拟合优度的测度第四节双变量回归中的区间估计和假设检验第五节预测第六节有关最小二乘法的进一步讨论第1页/共113页2第一节 双变量线性回归模型的估计 一.双变量线性回归模型的概念 1.双变量线性回归模型的形式 总体线性回归模型(方程)(直线)需求函数Q=Pu(3.1)凯恩斯消费函数C=Du(3.2)双变量总体线性回归模型的一般形式为:Y=Xu(3.3)第2页/共113页3 设Y表示消费,X表示收入,则凯恩斯消费函数计量经济模型为 Y=Xu 其中 u 为扰动项或误差项,Y为因变量或被解释变量,X为自变量或解释变
2、量。和为未知参数。第3页/共113页4 设有Y和X的n对观测值数据,则根据(3.3)式,变量Y的每个观测值由下式决定:Yi=+Xi+ui,i=1,2,.,n (3.4)在实践中,(3.4)式称为双变量线性总体回归模型或简单线性总体回归模型。其中 和 为未知的总体参数,也称为回归模型的系数(coefficients),下标 i是观测值的序号。当数据为时间序列时,用下标 t来表示观测值的序号,从而(3.4)式变成 Yt=+Xt+ut,t=1,2,.,n (3.5)第4页/共113页5下面对总体线性回归模型Yi=+Xi+ui,i=1,2,.,n (3.4)作进一步分析:Xi为非随机变量,ui、Yi为
3、随机变量;若对每个给定的Xi值反复观测Yi,可得一系列与给定的Xi相关的Yi值,ui服从正态分布,故Yi也服从正态分布,期望值记为E(Yi),方差记为Var(Yi)。第5页/共113页6在各个给定Xi值条件下Yi的期望值轨迹也称为总体回归模型(方程)。即E(Yi)=+Xi。此模型也可通过对(3.4)两边取期望得到,即E(Yi)=E(+Xi+ui)=+Xi+E(ui)=+Xi (E(ui)=0),图示如下:第6页/共113页70 x1 x2 x3 xn-1 xn xYE(Yi)E(Yi)=+XiY3E(Y3)u3 ui=Yi-E(Yi)总体回归模型图示第7页/共113页8样本线性回归模型(方程)
4、(直线)给出了总体回归方程E(Yi)=+Xi,希望能求出总体回归参数和,但对Yi进行足够多次反复观测不现实,故Yi的总体分布未知,E(Yi)未知,从而和的真值不可能求出。第8页/共113页9但对于每一个Xi,可随机抽取一个样本值Yi(作一次观测),可得n对样本观测值(Xi,Yi)(i=1,2,.,n)。使用某种估计方法寻找一条与样本观测值拟合最好的直线去近似地代替总体回归直线,这条直线就称为样本回归直线。相应的估计方程称为样本回归方程,即 第9页/共113页10式中 ,为样本回归参数,是总体参数和的估计,为因变量的估计值或者说拟合值,也可以说预测值,Yi与 的差称为残差,记为 故样本回归模型也
5、可表达成ei可作为ui的估计.图示如下第10页/共113页110 x1 x2 x3 xn-1 xn xYE(Yi)E(Yi)=+XiY1E(Y1)u2 ui=Yi-E(Yi)=Yi-Xi总体、样本回归模型图示Yn第11页/共113页122.为何要在模型中包括扰动项u 在前面已初步作了阐述,下面进一步说明:(1)模型省略了变量变量间真正的关系是Y=f(X1,X2,),但X2,X3,相对不重要,用u代表之。(2)数学模型形式的误差两变量之间的关系可能不是严格线性的,u反映了与直线的偏差。第12页/共113页13 (3)经济现象的随机性质经济行为是随机的,用Y=+X解释“平均、典型”的行为,而用u来
6、表示个体偏差。(4)测量与归并误差总会出现测量与归并误差,使得任何精确的关系不可能存在。即 其中 ,是消费和收入的真实值,而实际测量的消费和收入值为Y和X,则模型应为 Y=+X+u第13页/共113页14 二.普通最小二乘法(OLS法,Ordinary Least squares)1.1.双变量线性回归模型的双变量线性回归模型的统计假设统计假设模型:模型:Y Yt t=+X Xt t+u+ut t,t=1,2,.,n,t=1,2,.,n由由Y Y和和X X的观测值(即的观测值(即样本数据样本数据)来估计)来估计 和和 的的值值,常用的估计方法就是,常用的估计方法就是最小二乘最小二乘法法。应用最
7、小二乘法,应用最小二乘法,要得到好的估计量要得到好的估计量,模型需要满足一些统计假设条件。模型需要满足一些统计假设条件。第14页/共113页15双变量线性回归模型的统计假设 (1)(1)E(uE(ut t)=0)=0,t=1,2,.,n,t=1,2,.,n 即各期扰动项的均值即各期扰动项的均值(期望值期望值)为为0.0.(2)Cov(u2)Cov(ui i,u,uj j)=E(u)=E(ui iu uj j)=0 i)=0 i j j 即各期扰动项互不相关即各期扰动项互不相关.(3)(3)Var(uVar(ut t)=E(u)=E(ut t2 2)=)=2 2 ,t=1,2,.,n t=1,2
8、,.,n 即各期扰动项方差是一常数即各期扰动项方差是一常数.(4)(4)解释变量解释变量X Xt t 为非随机变量为非随机变量,即即X Xt t的取值是确定的的取值是确定的,或或Cov(XCov(Xt tu ut t)=0,t=1,2,.,n)=0,t=1,2,.,n (5)(5)u ut t N(0,N(0,2 2),t=1,2,.,n,t=1,2,.,n 即各期扰动项服从正态分布即各期扰动项服从正态分布.第15页/共113页16下面简单讨论一下上述假设条件。(1)E(ut)=0,t=1,2,n扰动项被认为是对因变量产生微小影响的多种次要因素的总和。平均来看,给定Xt值,ut随机取值,有正有
9、负,有相互抵消的趋势,因此扰动项均值为0的假设是合理的。第16页/共113页17(2)Cov(ui,uj)=0 i j假定各期扰动项之间无自相关或无序列相关。实际上该假设等同于:E(uiuj)=0 i j这是因为:cov(ui,uj)=Eui-E(ui)uj-E(uj)=E(uiuj)根据假设(1)(3)Var(ut)=E(ut2)=2,t=1,2,n假定各期扰动项的方差是一常数,各扰动项具有同方差性。Var(ut)=Eut-E(ut)2=E(ut2)根据假设(1)第17页/共113页18(4)Xt为非随机变量 即Xt的取值是确定的,而不是随机的。有的书上采用弱一些的条件:Cov(Xtut)=
10、E(Xt-E(Xt)(ut-E(ut)=E(Xtut)=0,t=1,2,n 即解释变量X与扰动项u不相关。(5)ut N(0,2),t=1,2,.,n 即扰动项服从正态分布。因为ut代表了所有未列入模型的那些次要因素的综合影响,由中心极限定理,只要这些次要因素相互独立,且数量足够多,则ut趋于正态分布。第18页/共113页19 满足条件(1)(4)的线性回归模型称为古典线性回归模型(CLR模型)。为什么要有这些条件?如果不满足,会出现什么情况?将在后面讨论。第19页/共113页202.最小二乘原理总体模型为Yt=+Xt+ut,若有X和Y的一组观测值(X1,Y1),(X2,Y2),.,(Xn,Y
11、n),如何求出和 的估计值 和 ,使得估计结果最佳。直观上看,也就是要求在X和Y的散点图上根据各观测点画出一条“最佳”直线,如下图所示。第20页/共113页21 *YXXt 图 2 Yt0et第21页/共113页22第一部分是Yt的拟合值或预测值 :,t=1,2,n第二部分是et,代表观测点对于回归线的误差,称为拟合或预测的残差residuals:,t=1,2,n即 ,t=1,2,n拟合的直线 称为拟合的回归线.对于任何数据点(Xt,Yt),此直线将Yt 的总值 分成两部分。第22页/共113页23如何决定估计值 和?最小二乘法就是选择一条直线,使其残差平方和达到最小值的方法。即选择 和 ,使
12、得直观地看,要求估计的直线尽可能地靠近各观测点,这意味着应使各残差尽可能地小。要做到这一点,就必须用某种方法将每个点相应的残差加在一起,使其达到最小。理想的测度是残差平方和,即第23页/共113页24 运用微积分知识,使上式达到最小值的必要条件为:即达到最小值。第24页/共113页25整理,得:此二式称为正规方程。解此二方程,得:第25页/共113页26其中:样本均值 离差第26页/共113页27(5)式和(6)式称为线性回归模型 Yt=+Xt+ut 的参数 和 的普通最小二乘估计量(OLS estimators)。估计值是从一组具体观测值用公式计算出的数值。一般说来,好的估计量所产生的估计值
13、将相当接近参数的真值,即好的估计值。可以证明,对于CLR模型,普通最小二乘估计量正是这样一个好估计量。第27页/共113页283.例子 例1 对于前面的凯恩斯消费函数,若根据数据得到:则有因而第28页/共113页29例2 设Y和X的5期观测值如下表所示,试估计方程 Yt=+Xt+ut 序号 1 2 3 4 5 Yt 14 18 23 25 30 Xt 10 20 30 40 50 解:采用列表法计算。计算过程如下:第29页/共113页30序号序号YtXtyt=Yt-xt=Xt-xtyt11410-8-2016040021820-4-1040100323301000425403103010053
14、050820160400n=5 Yt=110 Xt=150 yt=0 xt=0 xtyt=390 =1000第30页/共113页31估计方程为第31页/共113页32实例:有一个由美国212个家庭组成的随机样本,根据OLS法得到的回归方程如下:其中,Y表示家庭支付的联邦收入税,X表示家庭收入,它们均以千美元度量。第32页/共113页33大多数情况,截距没有明显的经济含义。本例从字面上解释截距就是家庭收入为零时的税赋,即家庭收入为零时的税赋为-1924美元,实际上就是政府付给家庭1924美元。回归结果表明:在其他条件不变的情况下,家庭收入每增加1000美元,平均而言,税收将增加190美元。第33
15、页/共113页34实例:布鲁金斯学会主席,美国前总统经济顾问委员会主席奥肯根据美国1947-1960年的数据,得到如下回归方程,称之为奥肯定律:其中Y表示失业率的变动百分数,X表示实际产出的增长率百分数,用实际GNP度量,2.5是对美国历史观察得到的长期产出增长率。第34页/共113页35本例中,截距为零,斜率为-0.4。奥肯定律的含义是实际GNP的增长每超过2.5一个百分点,失业率将降低0.4个百分点。奥肯定律被用来预测为使失业率减少到一定的百分点而所需的实际GNP的增长率。因此,实际GNP的增长率为5时,将使失业率减少一个百分点,若要使实际GNP的增长率达到7.5,则需减少失业率2个百分点
16、。第35页/共113页36实例:名义汇率与相对价格之间的关系下表给出了德国马克与美元之间的汇率 一美元兑换多少德国马克,以及两个国家的消费者价格指数。第36页/共113页37年份年份GM/$美国美国CPI德国德国CPI年份年份 GM/$美国美国CPI德国德国CPI19801.8175 82.486.71988 1.7570 118.3106.319812.2632 90.992.21989 1.8808 124.0109.219822.4281 96.597.11990 1.6166 130.7112.219832.5539 99.6100.31991 1.6610 136.2116.2198
17、42.8455 103.0102.71992 1.5618 140.3120.919852.9420 107.6104.81993 1.6545 144.5125.219862.1705 109.6104.71994 1.6216 148.2128.619871.7981 113.6104.9第37页/共113页38令Y代表德国马克对美元的汇率,X代表美国与德国的消费者价格指数之比,即X表示了两个国家的相对价格。得到如下回归方程:在这个回归方程中,斜率为-4.318,表明在1980-1994年期间,相对价格每上升一单位,平均而言,马克对美元的汇率下降4.318个单位,即美元将会贬值,因为一美元
18、将兑换更少的德国马克。第38页/共113页39斜率的经济含义是:如果价格在美国上涨得比在德国上涨得快,则美国国内的消费者将转向消费德国产品,因此对马克的需求上升;从而导致马克的增值。这就是购买力平价理论的实质。截距6.682表示若相对价格为零,则马克对美元汇率的均值为6.682,即1美元可以兑换6.682德国马克。但这种解释并没有什么经济意义。第39页/共113页40第二节 最小二乘法估计量的性质一.和 的均值第40页/共113页41即第41页/共113页42两边取期望值,有:假设(4)=假设(1)这表明,是的无偏估计量。在证明 无偏性的过程中,仅用到(1)和(4)两条假设条件。第42页/共1
19、13页43即即 是是 的无偏估计量。的无偏估计量。由 ,我们有:第43页/共113页44二二.和和 的方差的方差 Var()=E -E()2 根据定义 =E(-)2 由无偏性E()=由上段结果:即 第44页/共113页45两边取期望值,得:第45页/共113页46由于E()=2,t=1,2,n 根据假设(3)E(ui uj)=0,ij 根据假设(2)所以即与此类似,可得出:第46页/共113页47三三.高斯高斯-马尔柯夫定理马尔柯夫定理(Gauss-Markov Theorem)对于满足统计假设条件(1)-(4)的线性回归模型Yt=+Xt+ut,普通最小二乘估计量 (OLS估计量)是最佳线性无
20、偏估计量(BLUE,The Best Linear Unbiased Estimator)。或者说对于古典线性回归模型(CLR模型)Yt=+Xt+ut,普通最小二乘估计量(OLS估计量)是最佳线性无偏估计量(BLUE)。第47页/共113页48下面以估计量 为例加以说明:1.无偏性根据第一段的结果E()=可知 具有无偏性2.线性性根据第一段的结果有这表明,是诸样本观测值Yt(t=1,2,n)的线性函数,故 是线性估计量。3.最佳性,即 的方差小于等于的其他任何线性无偏估计量的方差,可以证明这一点。有兴趣的同学请参见教科书。第48页/共113页49四、和 的分布前面的假设条件(5)ut N(0,
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