试验设计与数据处理李云雁全套误差分析.pptx

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1、引引 言言第1页/共67页0.1 试验设计与数据处理的发展概况20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇（RAFisher）提出了方差分析 20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化 数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法”我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计 第2页/共67页0.2 试验设计与数据处理的意义0.2.1 试验设计的目的:合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了例：某试验研究了3个影响因素：个影响因素：A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验

2、：9次第3页/共67页0.2.2 数据处理的目的通过误差分析，评判试验数据的可靠性；确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率；确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化；试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；确定最优试验方案或配方。第4页/共67页第第1 1章章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析第5页/共67页误差分析（error analysis）：对原始数据的可靠性进行客观的评定 误差（error）：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科试验结果都具有误差，误差自始至终存在

3、于一切科学实验过程中学实验过程中客观真实值客观真实值真值真值第6页/共67页1.1 真值与平均值 1.1.1 真值（true value）真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的相对的意义上来说，真值又是已知的平面三角形三内角之和恒为平面三角形三内角之和恒为180国家标准样品的标称值国家标准样品的标称值国际上公认的计量值国际上公认的计量值 高精度仪器所测之值高精度仪器所测之值多次试验值的平均值多次试验值的平均值第7页/共67页1.1.2 平均值（mean）（1）算术平均值（arithmetic mean）n 等精度试验值适合：适合：n 试验值服从正态分布第8页/共6

4、7页（2）加权平均值(weighted mean)适合不同试验值的精度或可靠性不一致时wi权重权重加权和加权和第9页/共67页（3）对数平均值（logarithmic mean）说明：若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值对数平均值算术平均值如果1/2x1/x22 时，可用算术平均值代替设两个数：x10，x2 0，则第10页/共67页（4）几何平均值（geometric mean）当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。几何平均值算术平均值设有n个正试验值：x1，x2，xn，则第11页/共67页（5）调和平均值（harmonic mean）常用在涉及到与一些量

5、的倒数有关的场合调和平均值几何平均值算术平均值设有n个正试验值：x1，x2，xn，则：第12页/共67页1.2 误差的基本概念1.2.1 绝对误差（absolute error）（1）定义 绝对误差试验值真值 或（2）说明n真值未知，绝对误差也未知n 可以估计出绝对误差的范围：绝对误差限或绝对误差上界绝对误差限或绝对误差上界 或第13页/共67页绝对误差估算方法：最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；根据仪表精度等级计算：根据仪表精度等级计算：绝对误差绝对误差=量程量程精度等级精度等级%第14页/共67页1.2.2 相对误差（rel

6、ative error）（1）定义：或 或（2）说明：n 真值未知，常将x与试验值或平均值之比作为相对误差：或第15页/共67页n 可以估计出相对误差的大小范围：相对误差限或相对误差上界相对误差限或相对误差上界 n 相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）第16页/共67页1.2.3 算术平均误差(average discrepancy)定义式：n可以反映一组试验数据的误差大小 试验值试验值与算术平均值与算术平均值之间的偏差之间的偏差 第17页/共67页1.2.4 标准误差(standard error)当试验次数n无穷大时，总体标准差：n 试验次数为有限次时，样本标准差：n表示试验值的精密

7、度，标准差，试验数据精密度第18页/共67页（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小差时正时负，时大时小（2）产生的原因：偶然因素偶然因素（3）特点：具有统计规律小误差比大误差出现机会多小误差比大误差出现机会多正、负误差出现的次数近似相等正、负误差出现的次数近似相等当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差可以通过增加试验次数减小随机误差随机误差不可完全避免的随机误差不可完全避免的 1.3.1 1.3.1 随机误差随机误差 （random error rand

8、om error）1.3 试验数据误差的来源及分类第19页/共67页1.3.2 系统误差（systematic error）（1）定义：一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差一确定的规律起作用而形成的误差（2）产生的原因：多方面多方面（3）特点：系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小的平均值而减小只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它只要对系统误差产生的原因有了充分

9、的认识，才能对它进行校正，或设法消除。进行校正，或设法消除。第20页/共67页1.3.3 过失误差（mistake）（1）定义：一种显然与事实不符的误差一种显然与事实不符的误差（2）产生的原因：实验人员粗心大意造成实验人员粗心大意造成（3）特点：可以完全避免可以完全避免 没有一定的规律没有一定的规律 第21页/共67页1.4.1 精密度（precision）（1）含义：反映了随机误差大小的程度在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）说明：可以通过增加试验次数而达到提

10、高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求 1.4 试验数据的精准度 第22页/共67页（3）精密度判断 极差（range）标准差（standard error）R，精密度标准差，精密度第23页/共67页方差（variance）标准差的平方：样本方差（s2）总体方差（2）方差，精密度第24页/共67页1.4.2 正确度（correctness）（1）含义：反映系统误差的大小（2）正确度与精密度的关系：n 精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度 n 精密度高并不意味着正确度也高（a）（b）（c）第25页/共6

11、7页1.4.3 准确度（accuracy）（1）含义：反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度（2）三者关系无系统误差的试验 精密度精密度：ABC正确度：正确度：ABC准确度：准确度：ABC第26页/共67页有系统误差的试验 精密度精密度：A B C 准确度：准确度：A B C ，A B，C第27页/共67页1.5.1 随机误差的检验 1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1.1检验（-test）（1）目的：对试验数据的随机误差或精密度进行检验。对试验数据的随机误差或精密度进行检验。在试验数据的总体方差在试验数据的总体方差已知的情况下，已知的情况下，（2）检验步骤：

12、若试验数据若试验数据服从正态分布，则服从正态分布，则 计算统计量第28页/共67页查临界值 服从自由度为服从自由度为的的分布分布显著性水平显著性水平 一般取一般取0.01或或0.05，表示有显著差异的概率，表示有显著差异的概率n 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test)：检验 若若则判断两方差无显著差异，否则有显著差异则判断两方差无显著差异，否则有显著差异 第29页/共67页单侧（尾）检验(one-sided/tailed test)：左侧（尾）检验左侧（尾）检验：则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾

13、）检验右侧（尾）检验 则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大 若若若若（3）Excel在检验中的应用 第30页/共67页1.5.1.2 F检验(F-test)（1）目的：对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较较（2）检验步骤计算统计量设有两组试验数据：设有两组试验数据：都服从正态分布，样本方差分别为都服从正态分布，样本方差分别为和和和和，则，则第一自由度为第一自由度为第二自由度为第二自由度为服从服从F分布，分布，第31页/共67页查临界值给定的显著水平给定的显著水平查查F分布表

14、分布表临界值临界值n 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test)：检验 若若则判断两方差无显著差异，否则有显著差异则判断两方差无显著差异，否则有显著差异 第32页/共67页单侧（尾）检验(one-sided/tailed test)：左侧（尾）检验左侧（尾）检验：则判断该判断方差则判断该判断方差1 1比方差比方差2 2无显著减小，否则有显著减小无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾）检验右侧（尾）检验 则判断该方差则判断该方差1比方差比方差2无显著增大，否则有显著增大无显著增大，否则有显著增大 若若若若（3）Excel在F检验中的应用 第33页/共67页1.5.2 系统误差的检

15、验1.5.2.1 t检验法（1）平均值与给定值比较 目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异检验步骤：计算统计量：服从自由度服从自由度的的t分布分布(t-distribution)给定值（可以是真值、期望值或标准值）给定值（可以是真值、期望值或标准值）第34页/共67页双侧检验：若若则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异 n 单侧检验 左侧检验左侧检验 若若且且则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小 右侧检验右侧检验 若若且且则判断该平均值与给定值无显

16、著增大，否则有显著增大则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大 第35页/共67页（2）两个平均值的比较 目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异显著差异计算统计量：两组数据的方差无显著差异时 服从自由度服从自由度的的t分布分布 s合并标准差：合并标准差：第36页/共67页两组数据的精密度或方差有显著差异时 服从服从t t分布，其自由度为：分布，其自由度为：t检验第37页/共67页双侧检验：若若则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异 n 单侧检验 左侧检验左侧检验 若若且且则判

17、断该平均值则判断该平均值1较平均值较平均值2无显著减小，否则有显著减小无显著减小，否则有显著减小 右侧检验右侧检验 若若且且则判断该平均值则判断该平均值1较平均值较平均值2无显著增大，否则有显著增大无显著增大，否则有显著增大 第38页/共67页（3）成对数据的比较 目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差计算统计量：成对测定值之差的算术平均值：成对测定值之差的算术平均值：零或其他指定值零或其他指定值 n对试验值之差值的样本标准差：对试验值之差值的样本标准差

18、：服从自由度为服从自由度为的的t分布分布 第39页/共67页 t检验 若否则两组数据之间存在显著的系统误差否则两组数据之间存在显著的系统误差，则成对数据之间不存在显著的系统误差，则成对数据之间不存在显著的系统误差，（4）Excel在t检验中的应用 第40页/共67页1.5.2.2 秩和检验法（rank sum test）（1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等，不要求数据具有正态分布（2）内容：设有两组试验数据，相互独立，n1，n2分别是两组数据的个数，总假定 n1n2；将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列 每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（ran

19、k）将属于第1组数据的秩相加，其和记为R1 R1第1组数据的秩和（rank sum）如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小第41页/共67页查秩和临界值表：根据显著性水平 和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 检验：如果R1T2 或R1 T1，则认为两组数据有显著差异，另一组数据有系统误差如果T1R1T2，则两组数据无显著差异，另一组数据也无系统误差 第42页/共67页（3）例：设甲、乙两组测定值为：甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测

20、定值是否有系统误差。（0.05）解:（1）排序：秩秩1234567891011.511.5131415甲甲8.68.89.19.19.910.0乙乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2第43页/共67页（2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568（3）查秩和临界值表 对于 0.05，n1=6，n2=9得 T1=33，T263，R1T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差 第44页/共67页1.5.3 异常值的检验 可疑数据、离群值、异常值可疑数据、离群值、异常值 一般处理原则为：在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误试验结束后，

21、在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法 第45页/共67页1.5.3.1 拉依达（）检验法内容：可疑数据xp，若则应将该试验值剔除。说明：n计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内n 3s相当于显著水平 0.01，2s相当于显著水平 0.05 第46页/共67页可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数，应重新计算平均值

22、及标准偏差方法简单，无须查表 该检验法适用于试验次数较多或要求不高时3s3s为界时，要求为界时，要求n n10102s2s为界时，要求为界时，要求n n5 5 第47页/共67页 有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去?（0.01）解：（1）计算例：（2）计算偏差（3）比较 3s30.011160.03350.027 故按拉依达准则，当 0.01时，0.167这一可疑值不应舍去 第48页/共67页（2）格拉布斯（Grubbs）检验法 内

23、容：可疑数据xp，若 则应将该值剔除。Grubbs检验临界值检验临界值 第49页/共67页格拉布斯（Grubbs）检验临界值G(,n)表第50页/共67页说明：计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数，应重新计算平均值及标准偏差能适用于试验数据较少时 格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据偏大的情况 例：例1-13第51页/共67页（3）狄克逊（Dixon）检验法 单侧情形将n个试验数据按从小到大的顺序排列：x1x2xn-1xn 如果有异常值存在，必然出现在两端

24、，即x1 或xn计算出统计量D或D查单侧临界值 检验xn时，当 时，可剔除xnn 检验 检验x1时，当 时，可剔除x1第52页/共67页双侧情形计算D和 D查双侧临界值 n 检验 当当 ，判断判断为异常值为异常值 当当 ，判断判断为异常值为异常值 第53页/共67页说明适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 剔除一个数后，如果还要检验下一个数，应重新排序 例：例1-14 第54页/共67页1.6.1 有效数字（significance figure）能够代表一定物理量的数字能够代表一定物理量的数字有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度数据

25、中小数点的位置不影响有效数字的位数例如：例如：50，0.050m，5.0104m第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字例如：例如：29和和29.00第一位数字等于或大于8，则可以多计一位例如：例如：9.99 1.6 有效数字和试验结果的表示第55页/共67页1.6.2 有效数字的运算（1）加、减运算：与其中小数点后位数最少的相同（2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准（3）乘方、开方运算：与其底数的相同：例如：例如：2.42=5.8（4）对数运算：与其真数的相同 例如例如ln6.841.92；lg0.000044第56页/共67页（5）在4个以上数

26、的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位（6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。（7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的 例如，圆周率例如，圆周率、重力加速度、重力加速度g g、1/31/3等等（8）一般在工程计算中，取23位有效数字第57页/共67页1.6.3 有效数字的修约规则4：舍去5，且其后跟有非零数字，进1位例如：例如：3.14159 3.1425，其右无数字或皆为0时，“尾留双”：若所保留的末位数字为奇数则进若所保留的末位数字为奇数则进1若所保留的末位数字为偶数则舍弃若所保留的末位数字为偶数则舍弃例如：例如：3.141

27、5 3.142 1.3665 1.366第58页/共67页1.7 误差的传递误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差1.7.1 误差传递基本公式 间接测量值y与直接测量值xi之间函数关系：全微分全微分第59页/共67页函数或间接测量值的绝对误差为：n相对误差为：误差传递系数 直接测量值的绝对误差；间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。第60页/共67页函数标准误差传递公式：1.7.2 常用函数的误差传递公式 表1-4 第61页/共67页1.7.3 误差传递公式的应用（1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源：例例1-16（2）选择合适的测量仪器或方法：例例1-17第62页/共67页第63页/共67页第64页/共67页秩和临界值表 第65页/共67页n检验高端异常值检验高端异常值检验低端异常值检验低端异常值3781011131430统计量D计算公式第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页