计算机数学基础第章导数与微分.pptx

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1、对于匀速直线运动来说，其速度公式为:一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间的函数关系为 ,称为位置函数2.1.1 引例到时刻设物体在时刻内经过的路程为例1 变速直线运动的速度2.1 导数的概念第1页/共51页瞬时速度无限变小时，平均速度就无限接近于时刻的越小,平均速度 就越接近于物体在时，平均速度的极限值就是物体在时刻的瞬时速度 ，即到时刻于是，物体在时刻的平均速度为第2页/共51页例2 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示,在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为第3页/共51页这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则

2、此极限值k就是所求切线MT的斜率，即第4页/共51页定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记 若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0 处的导数，记为或2.1.2 导数的概念与几何意义1.导数的概念第5页/共51页导数定义与下面的形式等价：若y=f(x)在x=x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y=f(x)在x=x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.第6页/共51页2.左导数与右导数 左导数:右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.

3、1 y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.第7页/共51页3.导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.M0M第8页/共51页 曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数 的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.M0M第9页/共51页 设函数y=f(x)在点处可导，则

4、曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当 时,曲线 在 的切线方程为(即法线平行y轴).当 时,曲线 在 的法线方程为而当 时,曲线 在 的法线方程为第10页/共51页例3 求函数 的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.第11页/共51页例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:即第12页/共51页2.1.3 可导性与连续性的关系定理2 若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.证 因为f(x)在点x0处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系,

5、可得:两端乘以 得:由此可见:即函数y=f(x)在点x0 处连续.证毕.第13页/共51页例5 证明函数 在x=0处连续但不可导.证 因为所以 在x=0连续而即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.第14页/共51页 设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 求导法则特别地,如果可得公式第15页/共51页注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则第16页/

6、共51页解：例2 设解：例1第17页/共51页解：即 类似可得例3 求y=tanx 的导数第18页/共51页解：即类似可得例4 求 y=secx 的导数第19页/共51页 定理二如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.2 复合函数的导数第20页/共51页例7解：解：例6第21页/共51页定理三如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有或证 因为 的反函数 上式两边对x求导得或或2.2.3 反函数的求导法则第22页/共51页解：y=arcsinx 是

7、x=siny 的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有即同理求函数y=arcsinx 的导数例8 第23页/共51页基本导数公式表2.2.4 基本初等函数的导数第24页/共51页第25页/共51页解：例5第26页/共51页1.隐函数的导数例9 求方程 所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 。即第27页/共51页例10解：两边对x求导得第28页/共51页解一例11第29页/共51页两边对x求导，由链导法有 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积

8、函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：解二第30页/共51页解：将函数取自然对数得两边对x求导得例12第31页/共51页且设均可导,具有单值连续反函数，则参数方程确定的函数可看成与复合而成的函数，根据求导法则有：求得y对x的导数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中t 称为参数第32页/共51页 解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为 y=x求曲线在t=1处的切线方程例13第33页/共51页即或记作或二

9、阶导数：如果函数f(x)的导函数仍是x的可导函数，就称的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.2.6 高阶导数第34页/共51页解：特别地例15解：即同理例14第35页/共51页解如图，正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为A=x2,受热后当边长由x0伸长到x0+时,面积A相应的增量为2.3.1 微分的概念例1 设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？2.3 微分第36页/共51页的线性函数从上式可以看出，这表明这部分就是面积的增量的主要部分（线性主部）所

10、以上式可写成第37页/共51页 可以表示为定义设函数在点的某邻域内有定义，处的增量在点如果函数于是,（2.3.1)式可写成处的微分，可微，称为在点处在点高阶的无穷小，则称函数时其中A是与无关的常数，是当比记为第38页/共51页由微分定义，函数f(x)在点x0处可微与可导等价，且,因而在点 x0处的微分可写成上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，则称该函数在(a,b)内可微。于是函数通常把记为，称自变量的微分，f(x)在点x0 处的微分又可写成d xf(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为第39页/共51页解：例2 求函数 y=x2

11、在 x=1,时的改变量和微分。于是 面积的微分为 解：面积的增量面积的增量与微分当半径增大例3半径为r的圆的面积时，求在点处，第40页/共51页2.3.2 微分的几何意义当自变量x有增量时，切线MT 的纵坐标相应地有增量因此，微分几何上表示当x有增量时，曲线 在对应点处的切线的纵坐标的增量 用近似代替就是用QP近似代替QN，并且设函数y=f(x)的图形如下图所示.过曲线y=f(x)上一点M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为T第41页/共51页2.3.3 微分的运算法则1.微分的基本公式：第42页/共51页续前表第43页/共51页2.微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微，则

12、（C 为常数）；第44页/共51页3复合函数的微分法则都是可导函数，则设函数的微分为复合函数 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分.这就是一阶微分形式不变性.可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有而第45页/共51页解：解：对方程两边求导，得的导数与微分例5 求由方程所确定的隐函数即导数为 微分为 例4 第46页/共51页 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学第47页/共51页2.3.4 微分在近似计算中的应用或写成（1）上式中令（2），则特别地,当x0=0，很小时,有（3）公式(1)(2)(3)可用来求函数f(x)的近似值。，且很小时，我们有近似公式在 x0 点的导数由微分的定义可知，当函数第48页/共51页注：在求的近似值时，要选择适当的，使，容易求得，且较小应用（3）式可以推得一些常用的近似公式,当很小时,有(1)（用弧度作单位）(3)(4)(5)(2)(用弧度作单位）第49页/共51页例6则解:设取，于是由（2）式得即第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页