超静定梁的解法.pptx

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1、2023/2/191基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为第第1页页/共共24页页2023/2/192从而解得“多余”未知力所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为第第2页页/共共24页页2023/2/193该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考思考 1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？2.该超静定梁可否取简支梁为基本静

2、定系求解？如何求解？第第3页页/共共24页页2023/2/194 例题例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。第第4页页/共共24页页2023/2/195 解解:1.该系统共有三个未知力(图b)FN,FB,FC，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。2.取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。第第5页页/共共24页页2023/2/1963.物理关系(参见图c,d)为需要注意，因DlDA亦即图b中

3、的 是向下的，故上式中wAF为负的。第第6页页/共共24页页2023/2/1974.于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得第第7页页/共共24页页2023/2/198 例题例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。第第8页页/共共24页页2023/2/199 解解:1.两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。第第9页页/共共24页页2023/2/1910 2.为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面

4、上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为第第10页页/共共24页页2023/2/19113.利用教材中的附录可得物理关系为 应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。第第11页页/共共24页页2023/2/1912 4.将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。5.利用图

5、b可得约束力：第第12页页/共共24页页2023/2/1913(c)(d)然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。第第13页页/共共24页页2023/2/1914(二)梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l(a)第第14页页/共共24页页2023/2/1915 现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，

6、右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。l(a)(b)(c)第第15页页/共共24页页2023/2/1916 如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：l第第16页页/共共24页页2023/2/1917式中一些符号的意义见图c,d,e。(c)(d)(e)第第17页页/共共24页页2023/2/1918 现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，

7、右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。第第18页页/共共24页页2023/2/1919将此式积分，并利用边界条件得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为第第19页页/共共24页页2023/2/1920从而有至于温差引起轴向位移Bt则为第第20页页/共共24页页2023/2/1921 位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为第第21页页/共共24页页2023/2/1922位移相容条件已得出的物理关系第第22页页/共共24页页2023/2/1923 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得l第第23页页/共共24页页2023/2/1924感谢您的观看。感谢您的观看。第第24页页/共共24页页