随机变量;离散型随机变量及其分布律模板.pptx

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1、2023/2/201 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念1.为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入第1页/共52页2023/2/2022.随机变量的引入实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S=红色、白色 非数量将 S 数量化 可采用下列方法 红色红色 白色白色第2页/共52页2023/2/203即有即有 X(红色红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的 S

2、=红色，白色 数量化了.第3页/共52页2023/2/204实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.S=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有则有第4页/共52页2023/2/205二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义第5页/共52页2023/2/206随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变

3、量与普通的函数不同第6页/共52页2023/2/207随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系第7页/共52页2023/2/208实例3 掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即 X(e)是一个随机变量.第8页/共52页2023/2/209实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:若用 X 表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量 X(e),第9页/共52页20

4、23/2/2010实例5 设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:且 X(e)的所有可能取值为:第10页/共52页2023/2/2011实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则是一个随机变量.且 X(e)的所有可能取值为:第11页/共52页2023/2/2012实例8 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且 X(e)的所有可能取值为:

5、第12页/共52页2023/2/20133.随机变量的分类离散型(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量 X 的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它第13页/共52页2023/2/2014实例2 若随机变量 X 记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则 X 的可能值是:实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则 X 的所有可能取值为:第14页/共52页2023/2/2015实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量误差

6、”.则 X 的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则 X 的取值范围为第15页/共52页2023/2/2016一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律第16页/共52页2023/2/2017说明说明 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义第17页/共52页2023/2/2018离散型随机变量的分布律也可表示为第18页/共52页2023/2/2019解则有则有例1第1

7、9页/共52页2023/2/2020第20页/共52页2023/2/2021二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为则称 X 服从(01)分布或两点分布.1.两点分布 第21页/共52页2023/2/2022实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况.随机变量 X 服从(01)分布.其分布律为第22页/共52页2023/2/2023实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那么那么,若规定若规定取得不合

8、格品,取得合格品.则随机变量 X 服从(0 1)分布.第23页/共52页2023/2/2024 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明第24页/共52页2023/2/20252.等可能分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有第25页/共52页2023/2/2026将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若

9、各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1)重复独立试验3.二项分布第26页/共52页2023/2/2027(2)n 重伯努利试验 实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.第27页/共52页2023/2/202

10、8Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料伯努利资料第28页/共52页2023/2/2029且两两互不相容且两两互不相容.(3)二项概率公式第29页/共52页2023/2/2030称这样的分布为二项分布.记为二项分布二项分布两点分布两点分布第30页/共52页2023/2/2031二项分布的图形第31页/共52页2023/2/2032例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时

11、击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b(5,0.6)的二项分布的二项分布.第32页/共52页2023/2/2033分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例2第33页/共52页2023/2/2034解第34页/共52页2023/2/2035图示概率分布图示概率分布第35页/共52页2023/2/2036解因此因此例3第36页/共52页2023/2/2037

12、有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则解例4故所求概率为二项分布二项分布 泊松分布泊松分布第37页/共52页2023/2/20384.泊松分布 第38页/共52页2023/2/2039泊松资料泊松资料Born:21 June 1781 in Pithiv

13、iers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson第39页/共52页2023/2/2040泊松分布的图形第40页/共52页2023/2/2041泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松

14、分布.第41页/共52页2023/2/2042 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.第42页/共52页2023/2/2043电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水第43页/共52页2023/2/2044上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布分布分布演示演示第44页/共52页2023/2/2045 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用泊松定理计算所求概率为解例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有

15、大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?第45页/共52页2023/2/2046例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法发生故障时不能及

16、时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障第46页/共52页2023/2/2047故有即有第47页/共52页2023/2/2048 按第二种方法故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为 我们发现，在后一种情况尽管任务重了我们发现，在后一种情况尽管任务重了（平均每人维护（平均每人维护2727台），但工作效率不仅没台），但工作效率不仅没有降低，反而提高了。有降低，反而提高了。第48页/共52页2023/2/20495.几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称 X 服从几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回

17、的抽样检查放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品那么所抽到的产品数数 X 是一个随机变量是一个随机变量,求求X 的分布律的分布律.第49页/共52页2023/2/2050所以 X 服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解第50页/共52页2023/2/2051作业：作业：书面：书面：P55:2,3,6,8,12.看看:P30:例例1,2。P37 泊松分布泊松分布第51页/共52页2023/2/2052感谢您的观看！第52页/共52页