静态电磁场及其边值问题的解.pptx

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1、第1页静态电磁场：静态电磁场：电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的恒定电场：恒定电场：导电媒质中恒定运动电荷形成，电源提供能量 恒定磁场：恒定磁场：恒定电流产生电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静电场：静电场：静止电荷产生第1页/共124页第2页由3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件得 第一节第一节 静电场分析静电场分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第2页/共124页第3页积分形式 微分形式 意义一、基本方程(适用于任何介质的

2、静电场)电荷是静电场的源 静电场是保守场 本构关系：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第3页/共124页第4页电场强度的切向分量总是连续的 分界面上有自由电荷 分界面上无自由电荷 二、边界条件即(时，的法向分量是不连续的，因为分界面上存在束缚电荷)折射关系：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第4页/共124页第5页一、电位和电位差若(梯度没有旋度)，由此定义 3.1.2 电位函数电位函数，则 电位函数：；电位单位：V(伏特)在直角坐标中，沿任意方向的投影：电位函数和电场的

3、积分关系：A、B 两点的电位差：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第5页/共124页第6页或定义点A电位：(P 为参考点，)说明：电位有明确的物理意义；电位差与参考点的选择无关；同一问题中只能有一个参考点；应使电位表达式最简单：电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，均匀场或无限大带电体一般选择()()为参考点。选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第6页/共124页第7页 体分布 面分布 线分布 分布电荷的电位 点电荷电位：电磁场

4、与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第7页/共124页第8页解：由高斯定律，球外 球内 时，例 电荷按体密度 分布于一个半径的球形区域内，其中 为常数，计算球内外的电场(第二章求过)和电位函数。时，即：；取无穷远点电位为零，则 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第8页/共124页第9页球内：球外：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第9页/共124页第10页解：设内外圆柱上单位长度电量为 单位长度上:例 两无限长同轴导电

5、圆柱，内外半径为a、b，其间加电压U，求两圆柱间场强和单位长度电容。()ab单位长度电容为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第10页/共124页第11页静电场是位场电位梯度代替电场强度 1、的微分方程二、静电位的微分方程 将 代入 得拉普拉斯算符 泊松方程 拉普拉斯方程 静电问题求解:求电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第11页/共124页第12页直角坐标：圆柱坐标：球 坐 标：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题

6、的解第12页/共124页第13页2、的边界条件分界面上电位是连续的 用电位表示的 的法向分量的边界条件 有自由电荷时 无自由电荷时 由(上例结果)导体表面上，电位的边界条件为 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第13页/共124页第14页例 半径为 a 的导体球电位为U(无穷远处电位为0)，求球外的 电位函数。解：在 球 外：满足拉普拉斯方程 边界条件：球的场具有球面对称性：拉普拉斯方程：无穷远为电位参考点：故第14页/共124页第15页 例3.1.1 求电偶极子的电位解:我们关心远离电偶极子的场，即 rd的情形：采用球坐标，原点在

7、偶极子中心，z 轴与 l 结合，在远处的一点()的电 位等于两点电荷电位迭加：由余弦定理：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第15页/共124页第16页当 rd 时，略去，将 展开，再略去高阶项 由二项式定理：定义电偶极矩矢量：(单位 )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第16页/共124页第17页偶极子的特点：具备轴对称性(在球坐标中与 无关)偶极子的电场(与 无关)：或 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第

8、17页/共124页第18页例 画出电偶极子的电场线和等位线。解：等值面方程和矢量线方程：在球坐标中为：中，为常数故 等位面方程：(可画出 对 的曲线)，而 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第18页/共124页第19页解：问题的边界条件是：，；，介质分界面上:用高斯定律试探解：设 ，C为常数，则 电位满足在圆柱表面为常数的条件，即满足电场在分界面相切，即沿径向分布，有 故而电场无法向分量，故，因而满足 试探解是真实解 ，故 例 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。第19页/共124页第20页：内单位长度面电荷密度；：内单位长度

9、面电荷密度 则 内导体单位长度表面电量为:单位长度电容为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第20页/共124页第21页 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力物理量。3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容孤立导体电容：q 为导体电量，为电位，其参考点在 大地也是导体，取 两个带等量异号电荷(q)导体电容：电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关(该比值为常数)电容的计算：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边

10、值问题的解第21页/共124页第22页电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。当有三个以上导体存在时，计算两个导体间的电容，就必须考虑其它导体的存在。在在多多导导体体系系统统中中，任任何何两两个个导导体体间间的的电电压压都都要要受受到到其其余余导导体体上上的的电电荷荷的的影影响响。因因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推

11、广，引入部分电容的概念。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第22页/共124页第23页大地12如图，大地也是导体，但电位为零，图中 都是部分电容，如果要计算两个导体1、2 之间的电容，不能只算 ，而是 与 串联后再与 并联：部分电容：在多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容 导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第23页/共124页第24页电场

12、能量来源：建立电荷系统过程中外界提供给系统的总能量3.1.4 静电场的能量静电场的能量设系统从零开始充电，最终带电量为q，电位为 ；充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为 (0 1);当增加为(+d d)时，外电源做功为:(q d d)；对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为：根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We ，即 对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第24页/共124页第25页只适用于静电场 如果电荷分布于表面 公式中的电

13、荷全是自由电荷；有电荷的区域对积分才有贡献(上式计算结果与电位参考点有关)如果带电体是导体，则 变为 也适用于点电荷系统，只是这时 是除 外的所有点电荷产生的电位，即这时 给出的是相互作用能，不含自能，因为点电荷的自能无意义；而带电体导体系统的 既包括相互作用能，又包括自能 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第25页/共124页第26页一个导体情形 两个导体情形 场量表示电场能量(静电场和时变场均适用)(该公式使用前提：电位的参考点为无穷远)电场能量密度：场蕴藏着能量 电场能量分布于有电场的空间中，而不是唯一有电荷的地方电磁场与电磁

14、波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第26页/共124页第27页例3.1.6 计算一均匀分布电荷密度 的球的静电能,球的半径为R,球内外介质为真空。解：可用两种方法计算：或 式时，时，第27页/共124页第28页由 式(对有电荷的区域积分)由 式(对有场的区域积分)3.1.5 静电力(略)电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第28页/共124页第29页静电场解题 一、已知电荷分布求电场 用电场强度计算公式 用高斯定理-场对称/有介质分界面时：分界面上只有 或 由电位梯度二、已知电荷分布求

15、电位 用电位计算公式 由电场强度的积分 解泊松方程或拉普拉斯方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第29页/共124页第30页 由边界条件 计算四、求电容 假设板极上有电荷q，则 假设板极间的电位为U，则电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解三、求自由电荷 已知电场或电位分布，由 或 计算第30页/共124页第31页第二节第二节 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场:导体中有直流电流时导体中的电场恒定电场特点导体中有电场，导体不是等位体电流、电场不随时间变

16、化研究恒定电场意义分析导体中的电流分布计算导体的电阻、功率损耗恒定电场与静电场的重要区别：(1)(1)恒定电场可以存在于导体内部；(2)(2)恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第31页/共124页第32页应用：恒定电流场区域中也同时存在恒定电流。虽然恒定电流场的理论涉及不多，但其应用十分广泛。例如，电镀工艺、电力工程、地质勘探、油井测量以及超导技术中广泛应用了恒定电流场理论。此外，由于恒定电流场与静电场之间存在的相似性，可以利用恒定电流场

17、研究静电场。恒定电场基本矢量：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第32页/共124页第33页3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件一、基本方程电流连续性方程 电流连续性方程的微分形式 电场恒定电流不随时间改变电荷空间分布不随时间改变：恒定电场的基本方程 I 恒定电流连续性方程 恒定电流电荷分布不随时间改变恒定电场与静电场性质相同恒定电场基本方程 II 保守场 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第33页/共124页第34页恒定电场基本方程积分形

18、式 微分形式 本构关系均匀导电媒质(常数)中的电位满足拉普拉斯方程：推导：，得 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第34页/共124页第35页二、不同导体分界面上的边界条件不同导体：不同电导率的导体均匀导体中 ，表面上 ，经过表面时要发生突变 边界条件有两个：其推导过程与静电场完全一样：或 或 ，或 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第35页/共124页第36页导体边界面的折射关系推导：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边

19、值问题的解导电媒质分界面上的电荷面密度 边界条件矢量形式：媒质媒质2 2媒质媒质1 1第36页/共124页 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解漏 电 导：漏电流与电压之比 绝缘电阻：漏电导倒数 第37页/共124页第38页例 同轴线内外径分别为 a、b,外加电压 U，填充介质，有微小的漏电(电导率不为零，就具有导体性质)，求漏电介质

20、中的(单位长度电导)。解：介质中；内外导体中有 即轴向电流，也就有 ，只是，忽略，故漏电介质中的电位只是 的函数，故 边界条件：，代入上式，得 第38页/共124页第39页单位长度漏电流 单位长度漏电导 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第39页/共124页第40页例两层介质的平板电容器，求通过的电流和分界面上 。解：设通过电容器的电流为 I ，则 第40页/共124页第41页3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟-对应的物理量做替换对应的物理量做替换 恒定电场与静电场分析的方法完全一样，两者的场方程形式相同,如果

21、两个问题的边界条件相同，则这两个问题的解也一定相同 静电场 恒定电场 静电场 恒定电场 第41页/共124页第42页静电场中两导体间的电容 恒定电场中两个电极间的电导 例 单位长度的同轴电缆电容：解：用静电比拟法，单位长度的漏电导：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第42页/共124页第43页电导计算方法：假设两电极间流过电流I，则 假设两电极间电压为U，则 根据静电比拟，则 静电场与恒定电场的不同：静 电 场：静止电荷产生的场，带电体充有电荷后无需外电源能量 恒定电场：恒定流动的电荷产生的场，有外电源提供能量才能 维持电荷恒定流动

22、 静 电 场：导体内没有电场，导体是等位体 静电场(无源区域)与恒定电场(电源外)的相同：两种场的特性方程和边界条件具有相似形式，场量之间是对偶量 可静电比拟：两种场的边界条件相同，则有相同形式的解恒定电场：导体内有电场，存在恒定电流，各点电位不同，导体 不再是等位体，表面也不是等位面14-100419-3,4;几分钟第二章作业几分钟第二章作业第43页/共124页第44页第三节第三节 恒定磁场分析恒定磁场分析3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件由麦克斯韦方程组电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解一、基本

23、方程得 第44页/共124页第45页安 培 定 律 磁通连续性 积分形式 微分形式 本构关系 二、边界条件电磁场边界条件(1)(2)(3)恒定磁场基本方程：(4)恒定磁场的边界条件第45页/共124页第46页3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位一、矢量磁位磁通连续性:用矢量 的旋度表示 称为矢量磁位(矢量位)，单位为(特米)或 Wb/m指定 的值，称为一种规范 库仑规范：(在恒定磁场情形)二、矢量位的微分方程而 即，故矢量位的泊松方程：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解矢量位的拉普拉斯方程：无源()空间 第46页/共12

24、4页第47页三、矢量位的计算在直角坐标中 可以分解为三个分量方程 分别都是标量，其中 是标量拉普拉斯算符，因而 合并后矢量位泊松方程的特解为 体电流 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解面电流 线电流 第47页/共124页第48页除直角坐标外，其余坐标系内 的计算都十分复杂；二维场情况，矢量位的计算较简单，比如无限长柱体电流产生的场：，或 ，而 ，或即矢量位只一个分量，实际上求 的问题就是一个标量 任意横截面柱体产生的 计算：求线电流的矢量位加起来(积分)线电流的矢量位与线电荷的电位公式对比得：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三

25、章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解问题了。都是矢量，但 的求解比 简单，故先求，再求 磁通由矢量位直接计算：第48页/共124页第49页例3.3.2 求无限长直线电流的 和 。zxyL/2-L/2电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 ，此时线电流的 即 为0 第49页/共124页第50页无限长的情形：，(相比之下可以)不计，则 即 ，其原因是 ，为此在 处取 ，即 的解加上任意常数不会影响 ，电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第50页/共124页电磁场

26、与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解例 求线间距为2a的双导线传输线的 和 。解：双导线传输线可以视为无限长通过相反 电流的平行直线，而由上例，可以得第51页/共124页第52页例3.3.1 计算通过电流 I半径为a 的小圆环在远离圆环处的 。解：取球坐标 ，圆环的场是轴对称的，与 无关。把场点 放在 即 面上，点的坐标为。如上左图，每两个 单元 在P点产生的 合成 沿 y方向，即 方向(圆的切向)在 解用余弦定理:第52页/共124页第53页求 ：如图，而球坐标中,则 在此例中，(场点在 面上)，而 轴与圆环轴相合，电流元在切线上，故 ，

27、故 或者，将 展开，再有，也可得 第53页/共124页第54页大,小 磁偶极子的矢量位 磁偶极子的场 磁偶极矩(磁偶极子的磁矩)：第54页/共124页第55页四、标量磁位在静磁场中，无自由电流的空间，引入标量函数 (标量磁位)：单位为安(A)由 而 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解的微分方程：的边界条件与 有相同形式：静电场：静磁场：第55页/共124页静电位 磁标位 磁标位与静电位的比较静电位静电位 0 P磁标位磁标位 m 0m第56页/共124页第57页3.3.3 电感电感一、自感和互感电流回路C，在空间任意点 磁通:，故 磁

28、链:，故自磁链：回路本身电流产生的磁链自感定义：设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为，则磁链 与回路C中的电流 I 有正比关系，其比值(亨，H)称为回路C的自感系数，简称自感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解(N-导线回路匝数)CI 细回路第57页/共124页互磁链：回路C1(C2)中I1(I2)产生的磁场与C2(C1)交链的磁链 互感定义：对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2,当回路C1中通过电流 I1时，不仅与回路C1 交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链 12也与I1成正比，其比例系数 (亨，

29、H)称为回路对回路的互感系数，简称互感同理，回路C2对回路C1的互感为 自感系数或自感：互感系数或互感：(亨，H)C1C2I1I2Ro第58页/共124页第59页二、互感的计算设 C1、C2的 N=1，则C2在 上的矢量位 C1C2I1I2Ro诺伊曼公式 同理 而 当 时，则 ，故 第59页/共124页第60页 例3.3.6 如图，求互感。解：由诺伊曼公式，先求 由于对称性，C2 上 A12 为常数，所以 的计算可利用例3.3.1(磁偶极子)的结果：，而（，）电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解两个平行且共轴的线圈第60页/共124页

30、第61页互感的特点：互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关；满足互易关系，即M12=M21；当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感 系数 M 为正值；反之，则互感系数 M 为负值。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感的特点：第61页/共124页由图中可知由图中可知长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I，根据根据安培环路定理，得到

31、安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第62页第62页/共124页因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为第63页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第63页/共124页第64页三、自感的计算 自感的计算也用诺伊曼公式，这时C1、C2变成一个回路，但是这时不能把 C1、C2看成线回路，必须考虑

32、导线的横截面为有限值。设 =外磁通+内磁通 =外自感+内自感 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 外外；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 内内。内CI 外粗回路第64页/共124页第65页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题

33、的解 时的磁感应线包围的电流是I 的小数倍，由安培环定律，有 面元上的磁通为 第65页/共124页第66页面元包围的电流为 ，即包围的匝数为 ，故 这就是把磁通理解为磁感应线包围的匝数，因而磁链为电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解(亨)单位长度的内自感 第66页/共124页第67页 例3.3.4 求双线传输线单位长度的自感，导线半径为a，间距为 解：导线流过电流I,由安培定律:总的 为两者迭加，即 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解PII第67页/共124页第68页两根导

34、线单位长度的内自感为：平行双线传输线单位长度的自感为：比较：例3.1.5平行双线传输线单位长度的电容电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解PII第68页/共124页第69页当 ：时，电源给一个回路的能量，即 磁场能量 两个回路磁场能量 回路C1的自有能，回路C2的自有能，C1和C2的互能 当 时，电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，全部转化成磁场能量。第69页/共124页第70页N

35、 个载流回路磁场能量(J，焦耳)对于体分布电流 磁场能量用场量表示 积分是对整个空间取的，凡是场不等于零的空间对积分都有贡献磁能密度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电、磁场能量对应：第70页/共124页第71页例3.3.7 求同轴线单位长度内储存的磁场能量。解：如图所示，同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，外导体的外半径为 c。内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率均为 ,设电流为 I，根据安培环路定律求出磁场分布 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第71页

36、/共124页第72页由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为同轴线单位长度储存的总磁场能量为单位长度的总自感 第72页/共124页第73页3.3.5 磁场力磁场力(略略)恒定磁场解题一、求解磁场分布 直接用磁感应计算公式 用安培环路定理 由矢量磁位 由标量磁位电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解二、电流的计算 已知磁场或矢量磁位分布，由 或 计算 由边界条件 计算 三、求电感 假设回路 C 中流过的电流 I，则 利用诺伊曼公式 计算互感 利用磁场能量 计算自感第73页/共124页第74页第四节第四节 静态场的边值问题及解的惟一性

37、定理静态场的边值问题及解的惟一性定理边值问题：在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程边界条件：在有限空间的边界上已知的条件l 周期边界条件 l 自然边界条件(无界空间)电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解l 衔接条件不同媒质分界面上的边界条件第74页/共124页第75页3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型（括号内是导体为边界的情况括号内是导体为边界的情况）1.狄利克莱问题：已知整个边界上的电位函数，求(已知表面电位函数)2.诺伊曼问题：已知整个边界上的电位法向导数，求(已知导体总电量，因为 )3.混合问题：已知边界上一部分电位

38、和另一部分电位的 法向导数，求(已知一部分导体电位；另一部分导体电量)电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第75页/共124页例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第76页第76页/共124页3.4.2 惟一性定理惟一性定理 在场域V的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯 方程在场域V 具有惟一值 用反证法证明拉普拉斯方程，即 的解的惟一性定理 设有两个解,满足 和给定的边界条件，

39、因为拉普拉斯方程是线性的，故 也是拉普拉斯方程的解，即；对第一类边值问题，在 S上，则 ；对第二类边值问题，在 S上，给定值，则 。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解惟一性定理的表述：在给定的边界条件下(上述三类条件之一),泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的第77页第77页/共124页第78页在格林第一恒等式中，令 ,则恒等式为 而 (在 S上),故对两类边值问题都有 因为 非负，即 常数。对于第一类边值问题，在S上为零，故 ,即解是唯一的；对于第二类边值问题，常数，即 只差一个常数，解也是唯一的；对于混合边值问题，只要把第一格林恒

40、等式右边闭合面积分写成各部分表面积分之和，对每部分表面用如上结论，便可得证，对于泊松方程解唯一性的证明类似。惟一性定理意义：只要解满足边界条件，这个解就是正确的 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第78页/共124页第79页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解惟一性定理说明：静电场的边值问题能够用解析法直接求解的不多；满足边界条件的解就是正确的；不能在同一点出既给定电位值又给定电荷分布；两个边值问题在给定的场域内有相同的电荷分布 和相同的边界条件，则场域内的场分布一定相同，

41、而不管场域外的电荷分布如何，这是镜像法的基本原理；第二类边值问题(诺伊曼问题)的解可以相差一个常数 (但若指定电位的参考点，则解是唯一的)第79页/共124页第80页边值问题的求解方法：解析法和数值法解 析 法：分离变量法 镜象法 复变函数法 格林函数法数字方法：有限差分法 有限单元法电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理意义：只要解满足边界条件，这个解就是正确的第80页/共124页 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，

42、导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可以用等效电荷的电位替代可以用等效电荷的电位替代问题的提出几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷第五节第五节 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第81页第81页/共124页 接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代

43、 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效 电荷为线电荷。q q非均匀感应电荷qq等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第82页第82页/共124页第83页3.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像一、点电荷对无限大接地导体平面的镜像例有一无限大导体平面，在距平面 z=h 处有一电荷q，导体表面 ，求上半空间的场。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边

44、值问题的解q q第83页/共124页第84页解：镜像电荷的个数、位置、电量大小的确定 ；假设导体平面不存在，+q与-q 产生的场使z=0平面为等位面，上半空间的场就是+q与-q 产生的电场的迭加，可以得出 (只适用于 z 0的空间)，式中，q q有效区域q q验证：z=0 时，满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的第84页/共124页第85页 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解二、线电荷对无限大接地导体平面的镜像 如果导体平面上方是线电荷，也可放置等值异号的线电荷作为镜像来求解场(例3.5.2)。自学例3.5.1-导体平面的例子；

45、3.5.2 有效区域第85页/共124页三、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处,表面为等位面，求I象限的场。显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平面 1 均不能满足边界条件。对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2)只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第86页d1qd2212第86页/共124页第87页所有相交成/n 的两个 平面(n=2,3，)都可

46、用有限个镜像来满足所给出的边界条件。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第87页/共124页第88页3.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像一、点电荷对接地导体球面的镜像例 半径为 a 的接地导体球，与 球心o 相距d 有一点电荷 q，求球外的电位函数。解：球接地，球表面电位为零，电荷q在球外，镜像q在球内，且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解问题：PqarRdoqPaqrRRddo第88页/共124页方法：利用球面上电位为零确定

47、和对球面任意一点 p,有 通过oq的直线在圆周上取两点x1、x2,有 x2点(左)x1点(右)qPqaRRddox2x1 +镜像电荷的电量-镜像电荷的位置 第89页/共124页第90页当 或 和 时，球面的 ，镜像电荷的大小和位置都确定了，则球外任意点的电位为qPqaRRddo球面上感应电荷密度为：球面上总感应电荷为：说明：镜像电荷代替了球的感应电荷量。qPaqrRRddo第90页/共124页第91页二、点电荷对不接地导体球面的镜像（1）球没有接地的情况：球不但有 感应负电荷，也有感应正电荷 (但总的感应电荷为零）。这时镜像电荷有两个，比接地的 情况多在球心加一个 ，且 ，放在球心是因为原来球

48、面已是 等位面。所以球外任意P点的电位为：(*)电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解PqarRdoqPaqrRRddqo第91页/共124页第92页注意，这时球的电位不再为零，它等于在球面的电位，因为 在球面的电位为零，即(2)再给球另外充电 Q ,Q 一定均匀分布在球表面，即等于在球心放置了Q 的电荷，这时的表达式形式上不变，只是在(*)式括号中加上 即可。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解qPaqrRRddqo(*)第92页/共124页第93页三、点电荷对接地空心导体球

49、壳的镜像导体球壳中有一点电荷q距球心为 d,电荷在球内，镜像在球外，则|q|q|，可见镜像电荷的电荷量 大于点电荷的电荷量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解qrRRaqdOd第93页/共124页第94页3.5.3 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 一、线电荷对导体圆柱面的镜像例圆柱接地，半径为a，一根线电荷与之平行，相距d,密度为 ,求空间的电位。分析：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。确定：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值

50、问题的解静态电磁场及其边值问题的解线电荷与导体圆柱解：(1)圆柱接地，则表面只有感应负电荷，在柱内放置镜像线电荷 ，则柱面上某点的电位为(分别为 到场点的距离)线电荷与导体圆柱的镜像第94页/共124页第95页取试探解 ，在柱面上取 x1、x2 两点x2点(左)：代入 到上两式，再相减，得 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解线电荷与导体圆柱的镜像x2x1x1点(右)：于是，圆柱外任意一点的电位为 第95页/共124页第96页（2）圆柱不接地，则应在轴线上加一 镜像电荷 ，这样仍保持圆柱面 净电荷为零，圆柱面为等位面。（3）如果圆柱不