2022年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（理）参考答案.doc

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1、2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B A B B D A D D A B C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）1 313150 14 - 115 20p 16， e 2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】(1) 当 n =1时， 1 = 1 = -S = 1 ，解得： 2= a (a -1)(a + 2)1

2、a 或者 a 1，2 分 1 12 因为 a 0 ，故 2a1 = 3 分 nn n(a1 + a ) = (a + 2)方法一：因为 S = n n ，所以n2 2n(a + = - +n 2) (a 1)(an n2 22)，又 a 0 ，即可得 a = n +1nn 6 分方法二：当 n = 2时，= a a a( -1)( + 2)S 2 + = 2 2 ，易得： 3a2 = 2 22因为数列 n 6 分a 是等差数列，故 a = n +1n8 8(2) 由(1)知，b ( +1)( )n bn+1 = n + )( ) n = n ，故 2 1( +n9 9 8 7 - nQ- =

3、( ) ，8 分 b + bn n 1 n9 9当 n n+1 b ；n当 n = 7时，b =n+1 b ；n高三数学（理）参考答案 第 1 页（共 7 页）当 n 7时，b 0时，可得3 2a 6 + + 13 1 a 32(当且仅当 a1 时等号成立). 10 分又当 a 0时，易知不符合题意. 11 分所以 PD 与平面 QAB 所成角的正弦值的最大值为6312 分20【解析】高三数学（理）参考答案 第 3 页（共 7 页）(1)f (x)1 2x x 1 ( 1- 2 + + = -2x - )(x -1)= -2x +1= 2 分x x x故 f (x) 在 ( 0,1) 上是单调

4、增加的，在 (1,+) 上是单调减少的. 3 分所以 ( )max = f (1) = 0f x ，即 f (x) 0.4 分(2)当 a = 0时， f (x) = -x2 ，不存在零点 . 5 分当 a 0时，由 f (x) = 0 得1aln x + x= ， x(0,+) .7 分x2设g(x)ln x + x= ，则x2g(x)1- 2ln x - x= 8 分x3令 h(x) =1- 2 ln x - x ，易知 h(x) 在 ( 0，+ ) 上是单调减少的，且 h(1) = 0 .故 g(x) 在 ( 0,1) 上是单调增加的，在 (1,+) 上是单调减少的. 9 分1-1+1e

5、由于 ( ) 0g = 1时， g(x) 0 .10 分1 e( )2e1 = 1 0P x ，则 ( x , ) y 1 2 2设直线 PM 的方程为 x = my -1，联立 = -x my 1 得， (3m2 + 4)y2 -6my-9 = 0 ，x2 y2+ =1 4 36my + y = 1 +223m 49y y = - 8 分1 +223m 4又QF = ，得 y1 = -2y2 1M 2PFF = ，得 y1 = -2y2 12 5m = 9 分 由得，5得直线 PM 的方程为2 5x = y - ，即 5x - 2y + 5 = 0 ，15设 F2 到直线 PM 的距离为 d

6、 ，则由距离公式得：d5 5 2 5+= =5+ 4 3，10 分又由弦长公式得： PM = 1+ m2 y - y = 1+ m2 (y + y )2 - 4y y1 2 1 2 1 2 6m 9= + 2 2 - - 2 + 2 +1 m ( ) 4( )3m 4 3m 4高三数学（理）参考答案 第 5 页（共 7 页）将2 5m = 代入上式得527PM = ，11 分8设四边形 F1F2 NM 的面积为 S ,易知 1 1 27 2 5 9 5S = PM d = = .12 分2 2 8 3 8【选做题】22【解析】x（1）因为 y=2 cosjsinj，x2所以曲线C 的直角坐标方

7、程为 =1+ y24因为 x = r cosq, y = r sinq ，所以，曲线C 的极坐标方程为：4r2 .5 分=3sin q +12（2）由于OA OB ，故可设 ( )A r1,q ，1, + p B 2,r q 2 4r 2 = ，1 +3sin2q 13sin 14r ，2 =2 +3 cos q 121 1 1 1+ = +所以 2 2 2 2| OA| | OB | r r1 2=(3 cos2 q + + 2 q + = 5 1) (3sin 1)4 4即|1 1+ 为定值OA|2 | OB |254.10 分高三数学（理）参考答案 第 6 页（共 7 页）23. 【解析

8、】(1)由题知：| x + a | - | x - 2b | (x + a) - (x - 2b) |=| a + 2b |= a + 2b ，因为存在 x R0 ，使得| x0 + a | -| x0 -2b| 4 ，所以只需 a + 2b 4 ，即 a + 2b 的取值范围是4,+)5 分（2）方法一：由（1）知 a + 2b 4 ，因为a,b R ，不妨设t = a2 +b2 ，+当 b 2 时，t = a2 + b2 4 ，当 0 b 2时，有t -b2 = a2 (4-2b)2 , 8 16 16整理得，t 5b2 -16b +16 = 5(b - )2 + ，此时t 的最小值为 5 5 5；16 5综上： a2 + b2 的最小值为.10 分方法二：令 t2 = a2 + b2 ，不妨设 a = tcosq,b = tsinq ，因为 a + 2b 4 ，所以t4 4 cosq + 2 sinq 52 16t ，所以：516 5即 a2 + b2 的最小值为.10 分高三数学（理）参考答案 第 7 页（共 7 页）