高三数学寒假课程第7讲-三角函数的图象和性质.doc

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1、第七讲 三角函数的图象和性质【知识回顾】1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；2.求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域；化为求的值域；化为关于（或）的二次函数式；3.三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）4.为奇函数；函数为偶函数为偶函数；函数为奇函数5.函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出； 函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出.6.对称性:（1）函

2、数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.（ 即整体代换法）（2）函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.（ 即整体代换法）（3）函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.【考点剖析】考点一 三角函数性质的简单应用例1、函数是（ ） （A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为的奇函数 （D）最小正周期为的偶函数选题意图：本题考查三角函数的周期性和奇偶性答案：C解析：因为f （x）=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为，且为奇函数，选C.例2、下列函数中，周期为，且在上为

3、减函数的是 （ ）（A） （B）（C） （D）选题意图：本题考查三角函数的单调性、周期性答案： A解析：C、D中函数周期为2，所以错误；当时，函数为减函数，而函数为增函数，所以选A.变式训练：函数的最小正周期是 . 选题意图：本题考查函数的周期性，属于简单题.答案： 解析：对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小正周期为，本题主要考查了二倍角余弦公式的灵活运用.考点二 三角函数性质的综合应用例3、设函数，且以为最小正周期（1）求；w_w（2）求的解析式；（3）已知，求的值.选题意图：本题考查三角函数的周期性，特殊三角函数值答案解析：（1）（2） （3）故.例4、已知函数，（1）求函数的最小正周

4、期.（2） 求函数的最大值及取最大值时x的集合.选题意图：本题考查三角函数的周期性、三角函数的最值答案解析：（1）因为 所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，当，即时，取得最大值.因此函数取最大值时的集合为.变式训练：已知函数（1）若，求；（2）若，求的取值范围选题意图：本题主要考查三角函数的公式化简与求值、三角函数的最值、范围的求解问题，在能力上主要考查运算能力和数形结合能力.答案解析：（1） ，由得，所以（2）由（1）得，由得，所以，从而【点评】三角函数的考查主要有：（1）化简求值；（2）三角函数图象和性质的考查；（3）三角函数图象的变换；（4）三角形内的三角函数问题.考点三 三角函数

5、的图象及其变换例5 、“”是“”成立的 （ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.选题意图：本题考查正切函数的图象和性质答案：A解析：，所以充分；但反之不成立，如例6、设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D） 3选题意图：本题考查三角函数图象的变换答案：选C.解析：由已知，周期例7、将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）（A） （B）（C） （D）选题意图：本题考查三角函数图象的变换答案：C解析：将函

6、数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin（x），再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.变式训练1：如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ）答案：C解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C变式训练2：已经函数（）函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的

7、集合.选题意图：本题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.答案解析：（1）所以要得到的图象只需要把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可.（2）当时，取得最小值.所以当取得最小值时，对应的的集合为考点四 求三角函数的解析式例8、下图是函数，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 （ ）（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变（B） 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（C） 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变（D） 向左平移

8、个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变选题意图：本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力.答案：A解析：由给出的三角函数图象知，A=1，解得，又，所以，即原函数解析式为，所以只要将的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数的图象，选A.考点五 向量与三角函数的综合例9 、已知向量，.（1）若，试判断与能否平行？（2）若，求函数的最小值.选题意图：本题考查向量的平行和数量积答案解析：（1）若与平行，则有，因为，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.（2）由于，又因为，所以， 于是，当，即

9、时取等号.故函数的最小值等于.例10 、设函数，其中向量，. （1）求函数的最大值和最小正周期；（2）将函数的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.选题意图：本题考查向量的数量积、三角函数的性质.答案解析：（）由题意得，所以，的最大值为2+，最小正周期是.（）由得，即x，kZ，于是，kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时即为所求.【课后作业】1.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是（ ）2.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 3.函数的值

10、域为 （ ）A -2 ，2 B.-， C.-1，1 D.- ， 4.设则“”是“为偶函数”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件5.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.6.设函数.（）求函数的最小正周期；（）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式.7已知ABC的面积为3，且满足06，设和的夹角为.（）求的取值范围；（）求函数的最大值与最小值.8. 如图，函数，（其中）的图象与轴交于点. （） 求的值；（） 设P是图象上的最高点，M、

11、N是图象与x轴的交点，求夹角的余弦值.9. 已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域【参考答案】1.【答案】A【解析】据题设条件得到变化后的函数为，结合函数图象可知选项A符合要求.故选A.2.【答案】A【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，又，所以有，解得，即，选A.3.【答案】B【解析】，值域为-，.【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.4.【答案】A【解析】函数若为偶函数，则有，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，选A.5.【解析】（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故， 由，有，所以，得，故函数在上的取值范围为. 6.【解析】 ，（）函数的最小正周期（）当时，当时， ；当时， ，.故在上的解析式为7.【解析】（）设ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由.（）.即当时，当时，.8.【解析】（）因为函数图象过点，所以即因为，所以.（）由函数及其图象，得所以从而 ，9.【解析】（1）由函数图象的对称轴方程为 （2）因在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值 1，又，所以当时，取最小值，所以 函数 在区间上的值域为.