随机变量的方差.pptx

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1、Feb-23常用计算公式常用计算公式：D(X)E(X2)E(X)2证证 明明 重要分布的方差计算重要分布的方差计算证证 明明 见见P110例例4.2.51.XP(l),则 E(X)=l,D(X)=l;2.XB(n,p),则 E(X)=np;D(X)=np(1p)第1页/共26页Feb-23典型分布的数学期望与方差：典型分布的数学期望与方差：5.均匀分布均匀分布E(X)=(b+a)/2 ，D(X)=(ba)2/12 1.XP(l),则 E(X)=D(X)=l;2.XB(n,p),则 E(X)=np;D(X)=np(1p)4.XN(m,s 2),则 E(X)=m;D(X)=s s 2 2 证证 明

2、明3.XN(m,s 2),则 E(X)=m;D(X)=s s 2 2 6.指数分布指数分布第2页/共26页Feb-23例例 4.2.1例例 4.2.3例例 4.2.2三三.随机变量的方差的性质随机变量的方差的性质设设X,X1,X2,.,Xn 是随机变量是随机变量，c,b 是常数是常数1）E(c)=c，2）E(c X)=cE(X)，D(c)=0；D(c X)=c2 D(X)；练习练习第3页/共26页Feb-23若若X1,X2,.,Xn 相互独立相互独立，则，则第4页/共26页Feb-23证明证明:若若Xi,i=1,2,n 相互独立，则相互独立，则第5页/共26页Feb-23例例 4.2.4例例

3、4.2.5例例 4.2.64）D(X)=0P X=E(X)=1.第6页/共26页Feb-23证明证明第7页/共26页Feb-23方差刻划了随机变量方差刻划了随机变量 X 相对数学期望相对数学期望的平均偏离程度！的平均偏离程度！方差是随机变量方差是随机变量 X 关于任何值的关于任何值的偏离程度的最小值！偏离程度的最小值！第8页/共26页Feb-23谁的技术水平发挥的更高？谁的技术水平发挥的更高？已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)05678910 X00.10.10.030.020.050.7P(Y=yk

4、)05678910 Y甲甲乙乙E(X)=100.5+90.2+80.1+70.1+6 0.05+50.05=8.85(环环）E(Y)=100.7+90.05+80.02+70.03+6 0.1+5 0.1=8.92(环环）第9页/共26页Feb-23从从平均水平平均水平来看，乙的技术水平略高些来看，乙的技术水平略高些.考虑其平方偏差值的平均值考虑其平方偏差值的平均值甲：甲：乙乙：说明甲的技术水平发挥的更稳定一些说明甲的技术水平发挥的更稳定一些.第10页/共26页Feb-23证明证明D(X)=EXE(X)2=EX22XE(X)+E(X)2=E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)E(

5、X)2D(X)=E(X 2)E(X)2第11页/共26页Feb-231.XP(l),则 E(X)=l,D(X)=l;第12页/共26页Feb-233.XN(m,s 2),则 E(X)=m，第13页/共26页Feb-23 随机变量随机变量X关于自身数学期望的偏离程度比关于自身数学期望的偏离程度比相对其它任何值的偏离程度都小相对其它任何值的偏离程度都小.第14页/共26页Feb-23例例4.2.2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X101P1/21/31/61)求求D(X).2)Y=X 2+1,求求D(Y).解 1)E(X)=(1)1/2+01/3+11/6=1/3,E(X2)=(1)2

6、1/2+021/3+121/6=2/3,D(X)=E(X2)E(X)2=5/9.第15页/共26页Feb-23 2)E(Y)=(1)2+11/2+02+11/3 +12+11/6=5/3,E(Y2)=E(X4+2X2+1)=3,D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=2/9.第16页/共26页Feb-23例例4.2.3第17页/共26页Feb-23练习练习：设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p,进行进行100次独次独立重复试验，当立重复试验，当p=时，成功次数的时，成功次数的标准差的值最大，其值为标准差的值最大，其值为 .1/25第18页/共26页Feb-23第19页/共26页Feb-23

7、例例4.2.4第20页/共26页Feb-23称称X*为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.第21页/共26页Feb-23 例例4.2.5第22页/共26页Feb-23分布.的服从自由度为2222cYX+第23页/共26页Feb-23 例例3.3.6 假设进行了假设进行了n次独立试验，事件次独立试验，事件A在在第第k次试验时出现的概率为次试验时出现的概率为pk,求事件求事件A在在n次次独立试验中出现的总次数独立试验中出现的总次数 X 的期望和方差的期望和方差.解解 设事件设事件A在第在第k次试验时出现的次数为次试验时出现的次数为Xk，则则相互独立，且总出现次数为相互独立，且总出现次数为第24页/共26页Feb-23特别对于特别对于n重贝努里试验，有重贝努里试验，有从而从而二项分布的数学期望和方差第25页/共26页Feb-23感谢您的观看！第26页/共26页