随机过程课件第六章.pptx

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1、严平稳过程的定义设X(t),t T是随机过程，如果对任意常数和正整数n n，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),t T为严平稳过程或侠义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。第1页/共23页宽平稳过程的定义设设X(t),t T是随机过程，如果是随机过程，如果1.X(t),t T是二阶矩过程；是二阶矩过程；2.对任意对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；常数；3.对任意对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(

2、s-t)则称则称X(t),t T为广义平稳过程，简称为宽平稳过程。为广义平稳过程，简称为宽平稳过程。第2页/共23页均值：mX(t)=EX(t);均方值：X X(t)=EX(t)=EX2 2(t)(t)；方差：DX(t)=EXDX(t)=EX2 2(t)-E(X(t)(t)-E(X(t)2 2=X(t)-mX2(t);自相关函数：RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)；协方差函数：Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征第3页/共23页对于严平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+)，若令=-t1，则F1(X1,t1)

3、=F1(X1,0)=F1(X1)因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。第4页/共23页对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+,t2+)，若令=-t1，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1=，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;)随机随机过程程X(t)的自相关函数的自相关函数平稳过程的自相关函数是时间的单变量函数。第5页/共23页例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的

4、平稳性。例题2：设Xn，n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。第6页/共23页例题3：设S(t)是一周期为T的函数，在(0,T)(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+X(t)=S(t+)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。第7页/共23页联合平稳过程设X(t),t T和Y(t),t T是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与有关，而与t t无关，则称X(t)X(t)和Y(t)Y(t)是联合平稳随机过程。当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。第8页/共23页设设x(t),t T为平稳过程，则其相关函数具

5、有下列性质：为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：1.2.3.4.RX()是非负定的，即对任意实数是非负定的，即对任意实数t1,t2,tn及复数及复数a1,a2,an，有，有5.若若X(t)是周期为是周期为T的周期函数，即的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则，则RX()=RX(+T+T)；6.若若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当是不含周期分量的非周期过程，当|时，时，X(t)与与X(t+)相互独立，相互独立，则则平稳过程自相关函数的性质第9页/共23页收敛性概念对于概率空间(,F,P)上的随机序列Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满

6、足称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即或称Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，及作称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给0，有记作第10页/共23页设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有成立，则称Xn均方收敛于X，记作称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(x)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有记作a.em.sPd不收敛第11页/共23页定理定理6.3设设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，为二阶矩随机变量，Cn为常数为常数序列，序列，a

7、,b,c为常数，令为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z，则有则有1.2.3.4.5.6.第12页/共23页定理6.2设Xn为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：定义6.6设有二阶矩过程X(t),t T，若对每一个t T，有则称X(t)在t点均方连续，记作若T中一切点都均方连续，则称Xt在T上均方连续。定理6.5二阶矩过程X(t)，t T在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。第13页/共23页均方导数定义6.7设X(t),t T为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作定

8、理6.6二阶矩过程X(t),t T在t点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶矩导数记作第14页/共23页均方积分定义6.8设X(t),t T为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=a,b，如果当n n0时，Sn均方收敛于S，即则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记作定理6.7f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为存在。二阶矩过程X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在a,ba,b上可积。第15页/共23页定理定理6.8设设f(t)X(t)在区间在区间a,b上均

9、方可积，则有上均方可积，则有1.2.定理6.9设X(t),t T为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。第16页/共23页时间平均和集合平均概念集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。对于一个确定的样本时间平均集合平均第17页/共23页大数定理设独立同分布的随机变量序列Xn,n=1,2,，具有EXn=m,DXn=2,(n=1,2,)，则随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于

10、过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能的状态。例题：随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为(0,2(0,2)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)X(t)集合平均和时间平均值。第18页/共23页定义6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义6.11如果均方连续的平稳过程X(t),t T的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。第19页/共23页定理6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为证明第20页/共23页定理6.11设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为其中第21页/共23页各态历经定理的意义：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即若样本函数X(t)只在有限区间0,T上给出，则对于实平稳过程有下列估计式第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页