二阶常系数线性微分方程课件.ppt

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1、1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解2.思考：为什么思考：为什么的的通解可以表示成通解可以表示成其中其中是是的的通解通解是是(2)的通解的通解一、一、型的微分方程型的微分方程连续积分连续积分 n 次次复习：复习：几种特殊类型的高阶方程几种特殊类型的高阶方程二、二、型的微分方程型的微分方程设设求解求解积分积分三、三、型的微分方程型的微分方程1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解q10.5 二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程q一、二阶线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结

2、构二阶齐次方程解的结构:注意注意:特别地特别地:2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理解的叠加原理-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程1.1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解所以通解为所以通解为特征根为特征根为例例1 1 求微分方程求微分方程的通解的通解2.2.有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为1.是否为根？是否为根？2.线性无关？线性无关？例例2 2

3、 求微分方程求微分方程满足条件满足条件的的特解。特解。例例2 2 求微分方程求微分方程满足条件满足条件的的特解。特解。解：特征方程为解：特征方程为特征根特征根特解为特解为通解为通解为3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为欧拉公式欧拉公式解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3q三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式为为常数常数不是常函数不是常函数 0通解通解通解通解特解特解特征方程法特征方程法待定系数法，常数变易法待定系数法，常数变易法解的叠

4、加原理解的叠加原理(1)多项式多项式(2)(3)正正(余余)弦函数弦函数(4)(5)特解问题特解问题(4)设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程综上讨论综上讨论上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.相当于相当于为为0次多项式的情况次多项式的情况相当于相当于的情况的情况解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为特解特解e.g.为多项式为多项式设设特例特例为为特例特例(5)例例1 1不是对应齐次方程的特征方程的根不是对应齐次方程的特征方程的根代入方程代入方程对应齐次方程通解对应齐次方程通解原方程通解为原方程通解为例例2 2 写出方程写出方程的的一个特解的形式一个特解的形式(不必求出常数不必求出常数)的特征方程的特征方程为为正正(余余)弦函数弦函数,特例特例(5)是特征根是特征根(5)例例3 3 写出下列方程的一个特解的形式写出下列方程的一个特解的形式(不必求出常数不必求出常数)注意解的叠加原理注意解的叠加原理1.求解下列微分方程求解下列微分方程解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解例例5 5常数变易法常数变易法原方程通解为原方程通解为