Boltzmann统计学习教程.pptx

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1、t1=C41 =4!/(1!3!)=4 t2=C43 =4!/(3!1!)=4 t3=C41 C31 =4!/(2!1!1!)=12第1页/共50页 就一种分布而言，分布的微态数 N 总粒子数 Ni 分布于各能级上的粒子数 体系总的微态数为 第2页/共50页对于由大量粒子组成的体系,=Boltzmann认为，在所有求和项中，有一项最大，用tm 表示，(若只有一种分布时tm=）则 n 求和项数 对于由大量粒子组成的体系,据摘取最大项原理:第3页/共50页则 问题：tm=？解决方法：第4页/共50页两边取对数：对式(1)t 是粒子数的函数，对t 求全微分 第5页/共50页(2)定位独立粒子体系，限

2、制条件：或者(3)第6页/共50页或者(4)(3)+(4)+(2)=(5)(5)第7页/共50页、Lagrange系数 据Lagrange乘因子法,选择、使公式中任两个括号中值为零，则余下所有括号中值也都为零：(6)第8页/共50页式中方程形式都相同，以第一个为例求解：对N1 求偏导：由式代入第一个方程 得到第9页/共50页类推得通式：（7）（8）第10页/共50页用数学方法可证明:kBoltzmann常数(9)Boltzmann最概然分布公式 第11页/共50页Stirling公式第12页/共50页由第13页/共50页由(10)(11)第14页/共50页二、Boltzmann公式的讨论 1.

3、简并度 量子力学中，每个能级可能由若干不同的量子态,称同一能级（能量相同）的不同量子态数目为简并度,用g表示。比如气体分子的平动能:第15页/共50页nx、ny、nz 分别是x、y、z轴向的平动量子数 取值为1，2，3正整数 能级 nx,ny,nz 可以取值：(1,2,1)、(1,1,2)、(2,1,1)第16页/共50页 能量相同的三种取值,有三种不同的微观状态,则简并度 当能级有简并时定位体系的Bolzmann最概然分布的分布数：能级 1 2 i简并度 g1 g2 gi粒子数 N1 N2 Ni第17页/共50页假设：每个量子态上分布的粒子数不受限制 则简并度为gi 的i能级上,每个粒子都有

4、gi 个状态可选，则Ni 个粒子的总微态数为：某种分布的微态数为 第18页/共50页第19页/共50页定位体系能级有简并度时，某分布的微态数 则体系的总微态数(12)第20页/共50页求和的限制条件仍为：仍采用最概然分布处理方法：第21页/共50页可以得到能级有简并度时定位体系 Bolzmann最概然分布公式 采用和上面相同的处理方法可得到(14)(13)第22页/共50页2.非定位体系的Bolzmann最概然分布粒子等同性的修正 对非定位体系，由于粒子不可分辨，当体系中粒子有一套确定的状态分布数即有一个确定的状态分布时，体系只有一种微观状态。如前面讲过的一个例子：(15)第23页/共50页

5、若4个相同的不可分辨的粒子在不同能级上分布，体系总能量为3h,可能的分布如下：t1=1 t2=1 t3=1第24页/共50页a)当各能级皆非简并时，某分布ti拥有的微观状态数 恒为1。如上例b)若能级是简并的，并当同一能级各量子态上 容纳的粒子数不受限制时，则Ni个粒子在gi个量子态 上分布的方式数为第25页/共50页 好比Ni个不记姓名的人（同类粒子）入住同一层上gi个相连的房间中，各房间能容纳的人数不受限制，则居住方式数是由Ni个人与分隔gi个房间的(gi-1)个隔墙一起进行排列的方式数（Ni+gi-1）！，但由于Ni个人不可分辨，gi-1个隔墙互换不影响居住方式，所以能实现的居住方式数为

6、第26页/共50页 如2个人分派在某一层的3个房间中，相当于 Ni=2,gi=3 则:第27页/共50页第28页/共50页某种分布ti的微态数(16)非定位体系某一分布的分布数当gi=1即各能级均非简并时，由上式知ti=1；若Nigi 则由式化简可得:第29页/共50页(17)大量粒子非定位体系某分布的分布数第30页/共50页由(17)式与(12)式对比:(12)(17)第31页/共50页比较可知：粒子数相同的定位体系与非定位体系，在同一套分布数与能级简并度条件下，定位体系因粒子可分辨而比非定位体系的微态数大N!倍。采用Stirling公式和Lagrange待定系数法同样可求知(17)式tm最

7、大时的分布数：第32页/共50页(18)(18)式与(13)式相同，即定位体系与非定位体系Boltzmann最概然分布的分布数形式完全相同。同上述相同处理方法,可得：第33页/共50页(19)(20)第34页/共50页3.Boltzmann公式的其它形式(21)由则第35页/共50页 例如已知基态能级0,简并度g0,分布数N0,则简并度为gi,能级i上分布的粒子数为(22)第36页/共50页若不考虑简并度时：设基态能级0，粒子数N0，则i 能级上分布的粒子数第37页/共50页如粒子在重力场中的分布：4、截取最大项法原理理解以下几个问题：体系所有的分配方式中，有一种分配的微观状态 数最多，即热力

8、学概率最大-最概然分布第38页/共50页 最概然分布基本上可以代替总的微观状态数即 最概然分布的数学概率很小，但偏离最概然分 布很小的那些分配方式的数学概率之和加上最 概然分布的数学概率近似为1。因此，最概然分 布可代表平衡分布。第39页/共50页 宏观体系的热力学平衡态在微观上看就是体系处于宏观体系的热力学平衡态在微观上看就是体系处于最概然分布的状态。最概然分布的状态。例如讲熵的统计意义时的一个例子：第40页/共50页 抽开板后气体向真空膨胀，抽开板后气体向真空膨胀，A A气体再集中到原来体气体再集中到原来体积中的概率并不为零积中的概率并不为零,只是由于其值非常小，宏观上觉只是由于其值非常小，宏观上觉察不到，宏观上看整个容器一直都充满红色。察不到，宏观上看整个容器一直都充满红色。第41页/共50页感谢您的观赏！第50页/共50页