CH傅里叶级数实用.pptx

《CH傅里叶级数实用.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《CH傅里叶级数实用.pptx（40页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、定理定理 1.组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系证证:同理可证同理可证:正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在第1页/共40页上的积分不等于上的积分不等于 0.且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第2页/共40页二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2.设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分,则有则有证证:由定理条件由定理条件,对对在在逐项积分逐项积分,得得第3页/共40页(利用正交性利用正交

2、性)类似地类似地,用用 sin k x 乘乘 式两边式两边,再逐项积分可得再逐项积分可得第4页/共40页叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数;由公式由公式 确定的确定的以以的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数称为函数 简介简介 第5页/共40页定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个

3、极值点,则则 f(x)的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛,且有且有 x 为间断点为间断点其中其中(证明略证明略)为为 f(x)的傅的傅里里叶系数叶系数.x 为连续点为连续点注意注意:函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.简介简介 第6页/共40页例例1.设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期的周期函数函数,它在它在 上的表达式为上的表达式为解解:先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.第7页/共40页第8页/共40页1)根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时,级数收敛于级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼

4、近傅氏级数的部分和逼近说明说明:f(x)的情况见右图的情况见右图.第9页/共40页例例2.设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期的周期函数函数,上的表达式为上的表达式为将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.解解:它在它在 第10页/共40页说明说明:当当时时,级数收敛于级数收敛于第11页/共40页周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅上的傅里里叶级数叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展的傅氏级数展开法开法其它其它第12页/共40页例例3.将函数将函数则则解解:将将 f(x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.2 为为周期周期的函数的函数 F(x

5、),第13页/共40页当当 x=0 时时,f(0)=0,得得说明说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的利用此展式可求出几个特殊的级数的和和.第14页/共40页设设已知已知又又第15页/共40页三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4.对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f(x),其傅里叶其傅里叶级数为级数为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f(x),其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为第16页/共40页例例4.设设的的

6、表达式为表达式为 f(x)x,将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.f(x)是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在解解:若不计若不计周期为周期为 2 的奇函数的奇函数,因此因此第17页/共40页n1根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数的正弦级数:级数的部分和级数的部分和 逼近逼近 f(x)的情况见右图的情况见右图.n2n3n4n5第18页/共40页例例5.将周期函数将周期函数展成傅里叶级数展成傅里叶级数,其中其中E 为正常数为正常数.解解:是周期为是周期为2 的的周期偶函数周期偶函数,因此因此 为便于计算为便于计算,将周期将周期取为取为2 第19页/共40页第

7、20页/共40页2.定义在定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦上的函数展成正弦级数与余弦级数级数周期延拓周期延拓 F(x)f(x)在在 0,上展成上展成周期延拓周期延拓 F(x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f(x)在在 0,上展成上展成第21页/共40页例例6.将函数将函数分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数.解解:先求正弦级数先求正弦级数.去掉端点去掉端点,将将 f(x)作奇周期延拓作奇周期延拓,第22页/共40页注意注意:在端点在端点 x=0,级数的和为级数的和为0,与给定函数与给定函数因此得因此得 f(x)=x+1 的值不同的值不同.第23页

8、/共40页再求余弦级数再求余弦级数.将将则有则有作偶周期延拓作偶周期延拓,第24页/共40页说明说明:令令 x=0 可得可得即即第25页/共40页一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数第28页/共40页一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶的周期函数的傅里叶级数级数周期为周期为 2l 的函数的函数 f(x)周期为周期为 2 的函数的函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式第29页/共40页狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一

9、个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶级数展开式为则它的傅里叶级数展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中定理定理.第30页/共40页说明说明:其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数都收敛于都收敛于

10、如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 第31页/共40页例例1.把把展开成展开成(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则有则有在在 x=2 k 处级数收敛处级数收敛于何值于何值?第32页/共40页(2)将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,则有则有第33页/共40页说明说明:此式对此式对也成立也成立,由此还可导出由此还可导出据此有据此有第34页/共40页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时,方法方法1令令即即在在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶

11、级数 其展开方法为其展开方法为:第35页/共40页方法方法2 2令令在在上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式在在即即上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 第36页/共40页例例2.将函数将函数展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令设设将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理理条件条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故则它满足收敛定则它满足收敛定第37页/共40页期的傅立叶级数期的傅立叶级数,并由此求级数并由此求级数(1991 考考研研)解解:为偶函数为偶函数,因因 f(x)偶延拓后在偶延拓后在展开成以展开成以2为周为周的和的和.故得故得 第38页/共40页得得故故第39页/共40页感谢您的欣赏！第40页/共40页