3一元线性回归.pptx

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1、变量之间的关系大致有两种:1.函数关系函数关系:确定性关系2.相关关系相关关系：非确定性关系社会经济领域中,投入与产出;价格与需求的关系等.例如:人的身高与体重;人的年龄与血压;第1页/共63页(一一)一元线性回归一元线性回归x:普通变量,Y:随机变量,对Y 独立观察得到当x 取定一组不完全相同的值对应的样本值用样本来估计Y 关于x 的回归函数(x).第2页/共63页例1 为研究某化学反应过程中,温度x()对产品得率Y(%)的影响,测得数据如下：x()100 110120 130 140150160 170 180 190Y(%)45 51 54 61 66 70 74 78 85 89散点图

2、第3页/共63页称为一元线性回归模型一元线性回归模型,b 称为回归系数回归系数.其中未知参数a,b 和 都不依赖于x,一元线性回归一元线性回归假设对x 的每一个值有Y 有两部分组成:x 的线性函数随机误差记第4页/共63页(二二)a a,b b 的估计的估计作独立试验,得到样本当x 取一组不全相同的值相互独立,相互独立,它们的联合密度是第5页/共63页用最大似然估计法估计a,b.L最大,只需下式最小,第6页/共63页正规方程组:系数行列式有唯一解,第7页/共63页回归函数 的估计 称为Y Y 关于关于x x 的经验回归方程的经验回归方程,简称回归方程回归方程,其图形称为回归直线回归直线.第8页

3、/共63页第9页/共63页例2 例1中为研究某化学反应过程中,温度x()对产品得率Y(%)的影响,测得数据如下：x()100 110120 130 140150160 170 180 190Y(%)45 51 54 61 66 70 74 78 85 89计算第10页/共63页回归直线方程:或第11页/共63页 (三三)2 2 的估计的估计记称 为 处的残差.残差平方和是 与 处的观察值 的偏差的平方和.第12页/共63页Qe的分解：Qe的一个分解式:第13页/共63页2的无偏估计量:记可证明:第14页/共63页例3 求例2中2的无偏估计.第15页/共63页(四四)线性假设的显著性检验线性假设

4、的显著性检验提出假设可以证明,与Qe独立,第16页/共63页当H0为真时,拒绝域:第17页/共63页例4 检验例2中的回归效果是否显著,=0.05拒绝 认为回归效果是显著的.第18页/共63页*(*(五五)系数系数b b 的置信区间的置信区间b 的置信水平为1-的置信区间为=(0.45894,0.50712)例2中b 的置信水平为0.95的置信区间为第19页/共63页*(*(六六)回归函数回归函数(x x)=)=a a+bxbx 函数值的点估计和置信区间函数值的点估计和置信区间点估计：相应的估计量:可以证明,与 独立,第20页/共63页置信水平为1-的置信区间或第21页/共63页(七七)Y Y

5、 的观察值的点预测和预测区间的观察值的点预测和预测区间点预测：相互独立,第22页/共63页Y0的置信水平为1-的预测区间第23页/共63页1*该区间以 为中心,长度为是x0的函数;或2*在 处区间长度最短,x0越远离 ,则长度就越长,随n的增加,长度缩短;第24页/共63页3*置信区间的上限与下限的曲线对称地落在回归直线的两侧,成喇叭型.第25页/共63页例5 例2中(1)*求回归函数(x)在x=125处的值(125)的置信水平为0.95的置信区间,求在x=125处Y 的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;(2)求在x=x0处Y 的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;=57.64第

6、26页/共63页=0.84回归函数(x)在x=125处的值(125)的置信水平为0.95的置信区间为(57.640.84)=(56.80,58.48)第27页/共63页在x=125处得率Y0 的置信水平为0.95的预测区间(57.642.34)=(55.3059.98)(2)求在x=x0 处得率Y0 的置信水平为0.95的预测区间:=2.34第28页/共63页(八八)可化为一元线性回归的例子可化为一元线性回归的例子 变量之间的相关关系在实际中往往不一定是线性的，直接求解回归曲线往往比较困难,对一些特殊类型，可通过适当的变量替换化为线性回归问题来处理.通常需要用回归曲线来描述.第29页/共63页

7、常见的曲线方程及其图形如下：1.双曲线型原方程：变换方法：变换后方程：第30页/共63页2.指数曲线型（之一）原方程：变换方法：变换后方程：第31页/共63页原方程：变换方法：变换后方程：（之二）第32页/共63页3.幂函数型原方程：变换方法：变换后方程：第33页/共63页4.对数曲线型原方程：变换方法：变换后方程：第34页/共63页5.S 曲线型原方程：变换方法：变换后方程：第35页/共63页例6:为了解百货商店销售额x与流通费率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据见下表：i 销售额（销售额（x:万元）万元）流通费率（流

8、通费率（y:%）1 1.5 7.12 4.5 4.83 7.5 3.6410.5 3.1513.5 2.7616.5 2.5719.5 2.4822.5 2.3925.5 2.2第36页/共63页解：(1)x 与y 的散点图散点图：观察上述散点图可以发现,这九个点大致在一条曲线附近,因而宜用曲线去拟合这批数据,即建立回归曲线方程.第37页/共63页 回归曲线的形式确定,应尽可能地采用专业知识,此外也可以与典型的函数图象对照使用.此时可能有多种选择方案,对本例来讲可选用(2)确定回归曲线类型(3)对原始数据作相应的变量替换，变换后的数据列表数据列表第38页/共63页 1 1.5 7.0 0.40

9、55 1.9459 7.1665 0.1665 2 4.5 4.8 1.5041 1.5686 4.4885 0.3115 3 7.5 3.6 2.0149 1.2809 3.6109 0.0109 4 10.5 3.1 2.3514 1.1314 3.1288 0.0228 5 13.5 2.7 2.6027 0.9933 2.8112 0.1112 6 16.5 2.5 2.8034 0.9163 2.5809 0.0809 7 19.5 2.4 2.9704 0.8755 2.4037 0.0037 8 22.5 2.3 3.1135 0.8329 2.2616 0.0384 9 25.

10、5 2.2 3.2387 0.7885 2.1442 0.0558变换后的数据及拟合值与残差值第39页/共63页(4)计算过程如下：第40页/共63页在上述方程中用原变量代入，有：第41页/共63页可见,回归效果还是较好的.第42页/共63页回归分析中应注意的问题:1.定性分析与定量分析相结合;2.检验假设的条件是否符合(可利用残差图);3.回归方程一般不宜外推,实际工作中往往需要外推,必须在理论上分析其是否可行.4.关于时间序列资料的回归.第43页/共63页思考题：1.在线性模型 中，x 是什么变量？Y是什么变量？对固定的x，Y 服从什么分布？2.一元线性回归系数 与样本相关系数 R 有什么

11、关系？第44页/共63页思考题答案：1.x是普通变量,Y 是随机变量,第45页/共63页练习题：2.在一元线性回归模型 中,假定随机变量服从（）(1)两点分布(1)0 (2)6 (3)2 (4)61.已知一元线性回归直线方程 ,且第46页/共63页3.在一元线性回归中,式子()是正确的.4.在线性模型 的相关性检验中,如果原 假设 没有被否定,则表明()(4)不存在一条曲线 能近似地描述两变量间的关系.(1)两个变量之间没有任何相关关系；(2)两个变量之间不存在显著的线性相关关系；(3)两个变量之间存在显著的线性相关关系；第47页/共63页5.对下表所给的数据,建立水稻产量 y 对化肥用量 x

12、 的回归直线.6.考察硫酸铜在水中的溶解度 y 与温度 x 的关系时,作了9次试验得数据如下,求 y 对 x 的线性回归方程.第48页/共63页7.某商品的价格与供给量的观察数据见下表：x(元元)2 3 4 5 6 8101214 16Y(吨吨)152025303545608080110(1)求 y 对 x 的线性回归方程;(2)作相关性检验.8.求下表中营业税税收总额Y对某商品零售总额x的线性回归方程;并作回归效果的显著性检验;当x=300时,对营业税税收总额作出预测.第49页/共63页序号序号 社会商品零售额社会商品零售额 税收总额税收总额 1 142.08 3.93 2 177.30 5

13、.96 3 204.68 7.85 4 242.88 9.82 5 316.24 12.50 6 341.99 15.55 7 332.69 15.79 8 389.29 16.39 9 453.40 18.45第50页/共63页9.随机地抽取50位妇女为样本,调查其年龄x与 胆固醇浓度y 的关系.现得到样本信息：一元回归平方和 试求y对x的线性回归方程.10.某化工厂生产一种油漆,其含杂质率 与搅拌速 度x有关,现抽取12桶,检验结果经计算得，试求y对x的线性回归方程.第51页/共63页11.为研究一化学过程中,温度 对产品得率y(%)的影响,观测到10对数据,经计算得，能否据此断定x与y

14、间存在显著的线性关系？(1)求y 关于x 的线性回归方程 ；(2)对所建立线性回归方程进行相关性检验;(3)当销售额95元时,利润的95%的预测区间.12.某种商品的销售额x(元)与利润y(元)的统计数据如下：销售额 54.5 61.0 67.5 74.0 80.5 87.0利 润 6.54 7.22 8.55 9.61 10.53 11.46第52页/共63页13.设x,y分别表示我国农民人均年纯收入与人均年消费支出（单位：元）,统计了1978至1987年十年数据后计算得 求y对x的线性回归方程.假设1988年农民人均收入为550元,预测1988年的农民人均消费支出是多少？第53页/共63页

15、14.工厂在若干年内收集的资料说明,一批产品的成本 y(元)与生产件数 x(千件)的关系：x千件千件 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200Y 元元10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15(1)求y 关于x 的回归方程；(2)对所建立回归方程进行显著性检验；(3)当产量为100时,成本 y 的置信度95%的预测区间.第54页/共63页练习题答案：1.4；2.3;3.3;4.2;7.散点图第55页/共63页第56页/共63页(2)认为该商品的价格与供给量之间存在线性关系.(1)回归方程第57页/共63页8.散点图散点图第58页/共63页回归方程回归效果显著.第59页/共63页点预测:区间预测:第60页/共63页11.回归效果显著.(2)回归效果显著.农民人均收入为550元,预测农民人均消费支出是474.09元.第61页/共63页(2)回归效果显著.(3)（1.156，1.262）14.第62页/共63页谢谢大家观赏！第63页/共63页