D112数项级数及审敛法44039.pptx

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1、都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共36页(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共36页例例1.讨论讨论 p 级级数数(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共36页因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共36页调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级是两个常用的比较级数数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共36页证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共36页定理定理3.(比较审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证:据极限定义,设两正项级数满

3、足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共36页由定理 2 可知同时收敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共36页P257 题题4.设级数设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共36页P257 题题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性敛性:提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共36页因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共36页因所以原级数绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共36页感谢您的欣赏！第36页/共36页