D偏导数与全微分.pptx

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1、(一一)偏导数偏导数表示函数f(x)在x0处的变化率.对于二元函数f(x,y),可以保持两个自变量中的一个不变,来研究函数对于另一个变量的变化率.一元函数f(x)在点x0处的导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 回顾一元函数的导数概念:如在(x0,y0),保持y=y0,研究x从x0变到x0+x时函数关于x的变化率.这就引入了偏导数的概念.第1页/共42页引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是将中的 x 固定于求t 的一阶导数与二阶导数.x0 处,关于机动 目录 上页 下页 返回 结束 振幅第2页/共42页偏改变量或偏增量偏改变量或偏增量 全改变量或全增量全改变量或全增量 机动

2、 目录 上页 下页 返回 结束 在点 设函数 的某邻域内有定义,当x从x0变到x0+x,而y保持y0不变时,函数的改变量称为函数f(x,y)对于x的偏改变量或偏增量.类似地,函数的改变量称为函数f(x,y)对于y的偏改变量或偏增量.当x从x0变到x0+x,y从y0变到y0+y时,函数的改变量称为函数 f(x,y)的全改变量或全增量.第3页/共42页定义定义8.5在点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点同样,如果极限 存在,则称此极限为函数 设函数 的某邻域内有定义,如果当 时,极限存在,则称此极限为函数导数,处对x的偏在点 处对y的偏导数,记作记作第4页/共42页机动 目录 上页 下页

3、返回 结束 如果函数 在平面区域D内每一点(x,y)处对x(或y)的偏导数都存在,则称函数 x(或y)的偏导函数偏导函数,简称偏导数偏导数,在D内有对记作注意注意:记号是一个整体记号,将分子分母拆开就毫无意义.这和导数符号是不同的.第5页/共42页例如,若三元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处存在对x,y,z的偏导数,在点 则 在该点的偏类似地,可以定义一般的n(n2)元函数的偏导数.导数为第6页/共42页例例1解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的偏导数并求 求函数第7页/共42页例例2的偏导数 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数 例3 设证证:求证第8页/共4

4、2页例例4 求的偏导数.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以看出,就是该函数在点 即 处对于x和对于y的变化率,在点 函数处的偏导数，第9页/共42页偏导数的几何意义偏导数的几何意义切线M0Tx对x轴的斜率.机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示曲面 表示曲面 与平面 在空间中的点 的交线类似地，与平面 处切线M0Ty对y轴的斜率.的交线处在空间中的点第10页/共42页即使函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意注意：不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!在该点却即二元函数,偏导数存在 连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共42页课堂练习课

5、堂练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:1.作业作业:P362 4(1)(3)(5)(8),5(2)(4),P369 6,7 求下列函数的偏导数2.1.2.第12页/共42页(二二)高阶偏导数高阶偏导数 一般说来，机动 目录 上页 下页 返回 结束 还是x,y的二元函数，的偏导数也存在，导数，的偏导数 或函数如果这两个函数对自变量x和y则称这些偏导数为函数的二阶偏记作共4个.混合偏导数第13页/共42页仿此，仿此，机动 目录 上页 下页 返回 结束 等.可定义二元函数更高阶的偏导数，一共有 个.如二元函数的三阶偏导数有z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏

6、导数为第14页/共42页例例5解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的各二阶偏导数求例例6 求的各二阶偏导数解解:可以证明：当二阶混合偏导数 连续必有时,否则,二者不一定相等.第15页/共42页例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共42页机动 目录 上页 下页 返回 结束 v“若混合偏导数连续若混合偏导数连续,则混合偏导数与求导的则混合偏导数与求导的顺序顺序例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:的结论对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶混合偏导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函

7、数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等无关”第17页/共42页例例7证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证满足类似地,有类似地,有所以第18页/共42页例例8P+P时需求量Q的平均变化率，机动 目录 上页 下页 返回 结束 需求量Q对于价格P的偏改变量为 函数设某货物的需求量Q是其价格P及消费者收入Y的当消费者收入Y保持不变，P，价格P改变而比值 是价格由P变到格为P,消费者收入为Y时,需求量Q对于价格P的变化率，称为需求对价格的偏弹性.是当价第19页/共42页类似地，类似地，机动 目录 上页 下页 返回 结束 是当价格不变,消费者收入Y改变Y时,需求量Q对于对收入

8、Y的变化率。称为需求对收入的偏弹性。收入Y的偏改变量。是收入从Y改变到Y+Y时需求量Q的平均变化率.是当价格为P、收入为Y时,需求量Q第20页/共42页课堂练习课堂练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:1.求函数的二阶偏导数.第21页/共42页2.证明证明:证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 因所以设则第22页/共42页(三三)全微分全微分研究二元函数在所有自变量都有是的线性函数，而一般地,对二元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,矩形面积 函数改变量的变化有下述结论.微小变化时,(借助可证)情况。第23页/共42页定义定义8.6如果函数 z=f(x,y)在定义域 D

9、 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.记作第24页/共42页(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由全微分定义由全微分定义:得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即第25页/共42页定理定理8.1 证证:即全微分 f(x,y)在该点的偏导数偏导数 上式两端除以x,

10、并令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 且 在点(x,y)处可微可微,存在存在,令 在点(x,y)处可微,取极限,得 则即则函数且有 设存在,且(可微的必要条件可微的必要条件)第26页/共42页同理可证同理可证 或同理有 于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在,所以,全微分 不失一般性,则且令第27页/共42页定理定理8.2 可微可微.(证明略).在点(x,y)的某一邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 连续的偏导数连续的偏导数则 在点(x,y)处(可微的充分条件可微的充分条件)函数点(x,y)存在偏导数存在偏导数 在函数 在点(x,y)可微可微 函数(x,y)

11、存在连续的偏导数存在连续的偏导数 在点函数 在点(x,y)连续第28页/共42页二元函数二元函数例例9 如三元函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分的概念可以推广到一般的n(n2)元时全微分的值.函数.则全微分为 求函数 的全微分,所以由于全微分为 可微,并计算函数在 当时,第30页/共42页解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 求函数 的全微分.所以例例11 计算函数的全微分.解解:第31页/共42页可知当全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算

12、)第32页/共42页半径由 20cm 增大解解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例12 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱第33页/共42页例例13高为4米,厚度均为0.01米,解：解：因为圆柱的体积 所以需用材料为0.2立方米,0.200801立方米相当接近.机动 目录 上页 下页 返回 结束 要造一个无盖的圆柱形水槽,求需用材料多少立方米?与直接计算V的值其内半径为2米,第34页/共42页例例14 计计算算的近似值.解解:设,则取则机动 目录 上页 下

13、页 返回 结束 第35页/共42页课堂练习课堂练习 解解:2.求全微分的值1.求全微分机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:第36页/共42页内容小结内容小结1.全微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共42页3.微分应用微分应用 近似计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P363 6(1)(3)(4);8(2)(4)(5);9(1);12第38页/共42页在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,不连续,证证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数所以第39页/共42页同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共42页4)下面证明可微:说明说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共42页感谢您的欣赏！第42页/共42页