D三极限的运算法则四无穷小与无穷大.pptx

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1、特别：特别：若若则有则有第1页/共25页解运用法则解运用法则1 1、2 2及推论可得及推论可得:例例1 第2页/共25页一般地，有一般地，有因此因此 即即多项式函数在多项式函数在 x x0 0 处的极限等于该函数在处的极限等于该函数在 x x0 0 处的函数值处的函数值.第3页/共25页解因解因 x 1 时所给函数的分子和分母的极时所给函数的分子和分母的极 限都存在，限都存在，且分母极限且分母极限例例 2第4页/共25页所以所以第5页/共25页解解例例 3第6页/共25页例例4 求求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式第7页/共25页结论：结论：

2、若若 an 0，bm 0，m、n 为正整数，则为正整数，则第8页/共25页 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例例 5第9页/共25页2、无穷大量无穷大量 3、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 1、无穷小量无穷小量 四、无穷小与无穷大4、无穷小的比较、无穷小的比较第10页/共25页当当1、无穷小量无穷小量定义定义1.若若时时,函数函数则称函数则称函数例如例如 :函数函数 当当时为无穷小时为无穷小;函数函数 时为无穷小时为无穷小;为为时的无穷小时的无穷小 量量.简称无穷小简称无穷小第11页/共25页其中其中 为为时的

3、无穷小量时的无穷小量 .定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系)注：时结论也成立。第12页/共25页定理定理3.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理2.有限个无穷小的代数和还是无穷小有限个无穷小的代数和还是无穷小说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!第13页/共25页例例1.求求解解:利用定理利用定理 3 可知可知说明说明:y=0 是是的渐近线

4、的渐近线 .第14页/共25页当当2、无穷大量无穷大量定义定义2.若若时时,函数函数的绝对值无限增大，的绝对值无限增大，例如例如 :函数函数 时为无穷大时为无穷大为为时的无穷小时的无穷小大量量.简称无穷大简称无穷大则称则称记为记为：第15页/共25页3、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系若若为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小;若若为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则据此定理据此定理 ,关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理4.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:第16页/共25页例：例：求求解解(由无

5、穷与无穷大的关系由无穷与无穷大的关系)x=1 时分母分母=0,分子分子0,因因第17页/共25页都是无穷小都是无穷小,引例引例 .但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.4、无穷小的比较、无穷小的比较第18页/共25页定义：定义：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小的等价无穷小 是是 的的 k 阶无穷小阶无穷小第19页/共25页例如例如,当当时时注：注：换为换为也成立。也成立。第20页/共25页例例1：设：设试讨

6、论它们之间的关系试讨论它们之间的关系解：解：第21页/共25页例例2：设：设解：解：例例2 2：求：求解：解：第22页/共25页内容小结内容小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)时时,对对型型,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”3.无穷小的比较无穷小的比较第23页/共25页思考及练习思考及练习1.是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在.否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.问问第24页/共25页感谢您的欣赏！第25页/共25页