D定积分概念与性质.pptx

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1、何谓曲边梯形？请看下列的图形：平面封闭图形均可理解成数个曲边梯形的集合。一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积第1页/共42页由连续曲线,两直线 所围成的图形称为曲边梯形,求其面积 A.曲线弧称为曲边，线段称为底边。第2页/共42页abxyoab（四户村民）（九户村民）xyo第3页/共42页显然，村民户数越多，分的越细，测量得到的总面积越接近土地精确面积第4页/共42页解决步骤解决步骤:1)分割.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;第5页/共42页2)常代变.在第i 个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替

2、相应小曲边梯形面积得3)求和.第6页/共42页4)取极限.令则曲边梯形面积第7页/共42页解决问题的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值求近似以常（直）代变（曲）取极限第8页/共42页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体n 个小段经过的路程为设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度第9页/共42页4)取极限.得2)常代变.3)求和.第10页/共42页上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割，常代变，求和，取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1 1.曲边梯形的面积2 2.变速直线运动的路程

3、第11页/共42页二、定积分定义二、定积分定义任取在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点把区间 a,b 分成n 个小区间做函数值与小区间长度的乘积1)分割.3)求和.2)常代变.第12页/共42页总趋于确定的极限 I,即如果不论对 a,b 怎样划分，也不论在小区间上的定积分则称此极限 I 为函数在区间(简称积分)，记作即4)取极限.上 怎样选取，,第13页/共42页积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和第14页/共42页1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程第15页/共42页注意：(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即(1)定积分是一个确定的

4、数值.(3)定积分又被称为Riemann 积分,简称 R 积分。第16页/共42页(4)在定义中，当所有子区间的长度的最大值 d趋近于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不能用(5)定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点的选取都是任意的.如果对区间的两种不同分割或的不同选择，得到的和式的极限不同，或者存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上不可积。例如：Dirichlet 函数 x 为有理数x 为无理数在区间0,1上不可积！第17页/共42页(6)定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值第18页/共42页各部分面积的代数和第19页/共42页三、定积分的存在

5、条件1.1.可积的必要条件定理1.1若函数 f 在a,b上可积,则 f 在a,b上有界.注:可积函数必有界,有界不一定可积.如Dirichlet函数.证明:(反证法)若 f 在 a,b 上无界，则对任意分割,必存在子区间，使 f 在该子区间上无界。因此，对任意正数 M，总存在使得可大于任给的常数。故其极限不存在,即 f 在a,b 不可积。证毕！第20页/共42页定义:设 f 为a,b上的有界函数,将区间a,b任意分2、可积的充分条件割为 n 个子区间取称为 f 在子区间上的振幅.第21页/共42页和式分别称为 f 关于该分割的反之亦然!即有：DarbouxDarboux大和大和与Darboux

6、小和小和.2.如果 f 在区间a,b 上可积，则易知：1.对同一分割，唯一确定，且第22页/共42页定理1.2 设函数 f 在a,b上有界，则 f 在a,b可即对任意的 0，总存在相应的某一分割,使得当积的充要条件是：当时，分割出的所有子区间的长度的最大值时,（*）（*）式成立。（证明略.）第23页/共42页定理1.33、可积函数类若 则 f 在a,b上可积.解释：对 a,b 的任意分割，当d 充分小时，f 在每个子区间上的振幅都能任意小。定理1.4设 f 在区间a,b上有界，若 f 在a,b上只有有限个第一类间断点或者在a,b上单调,则 f 在a,b上可积.解释：当 d 充分小时，虽不能保证

7、 f 在每个子区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子区间长度之和可以任意小。函数也可积。第24页/共42页取例1.利用定义计算定积分解:1)分割将 0,1 n 等分,分点为则3)求和则2)常代变第25页/共42页4)取极限第26页/共42页例例2.用定积分表示下列极用定积分表示下列极限限:解:第27页/共42页四、定积分的性质四、定积分的性质规定:性质1.2 1.2（线性性质）若则并且性质1.1记在区间a,b 上可积.第28页/共42页性质性质1.3 若若则证:推论1（单调性）若则第29页/共42页推论推论2.若若且则性质1.4 若则且（#）注:性质1.4的逆命题不一定成立,例如为有理

8、数,为无理数.第30页/共42页例例3.试证试证:证:设则在上,有即故即第31页/共42页证:由定理1.2知 f 在 I 的所有子区间可积.下证(1)式。所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点，于是性质1.5（区间可加性）设 I 为有限区间,若 f 在 I 上可积,则 f 在 I 的任一子区间上都可积,且上可积,时,因在当（1）第32页/共42页 当当 a,b,c 的相对位置任意的相对位置任意时时,例如例如则有令有证毕！第33页/共42页性质1.6（乘积性质）设 则性质1.7（积分中值定理）且 g 在a,b 上不变号.则至少存在一点使证明：设在a,b 上则 从而因此（*）第34页/共42页若

9、上式两边同除以则不等式（*）亦若得由连续函数的介值定理可得（*）成立。成立。证毕！则至少存在一点使推论3.第35页/共42页 说明说明:通常称故它是有限个数的算术平均值概念的推广.因积分中(均)值.当时，推论 3 有如图的几何意义。第36页/共42页例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度第37页/共42页定积分的定义：定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分取极限内容小结内容小结求近似以常（直）代变（曲）第38页/共42页4.定积分的性质线性性质，单调性，区间及积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式.3.定积分的存在条件必要条件充要条件可积函数类.可加性第39页/共42页思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或第40页/共42页思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0!第41页/共42页感谢您的欣赏！第42页/共42页