D重积分的应用.pptx

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1、一、平面区域的面积设 D 是 xy 平面上的有界区域，则其面积对直角坐标，若D是 x 型区域：y1(x)y y2(x),a x b ,则有若在极坐标下D表示为：第1页/共33页二、立体体积二、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共33页任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共33页例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积

2、.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共33页三、曲面的面积三、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共33页故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共33页若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页例例3.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.机动 目录 上

3、页 下页 返回 结束 第8页/共33页例例4.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.（P137例例4）解:设球面方程为 球面面积元素为方法2 利用直角坐标方程.(见书 P138)方法1 利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页四、物体的质量具有面密度的平面薄板的总质量 M 为类似地，若一立体 V 的密度为则其总质量 M 可表示为第10页/共33页例5.设 V 是曲面所围区域，V 中任一点的密度等于该点到 z 轴的距离，求其质量 M。（P 139例6）解:由题设知密度函数为在柱面坐标下，V的边界曲面为 z=r 与 z=6 r2,r=6 r2 解出r=2，

4、于是有第11页/共33页五、物体的质心五、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共33页将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共33页同理可得同理可得则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页若物体为占有xoy 面上区域 D 的平

5、面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页例例6.求位于两圆求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共33页例例7.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁剖面壁线线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解:利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共

6、33页四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共33页类似可得类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共33页如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共33页例例8.求半径为求半径为 a 的均

7、匀半圆薄片对其的均匀半圆薄片对其直径直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共33页解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例9.9.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯的转动惯量量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共33页 G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在 上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页对

8、 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共33页更一般地，设立体的密度一质量为m的质点位于点 P0(x0,y0,z0),则立体对质点的引力为第26页/共33页例例10.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共33页例例11.求半径求半径 R 的均的均匀球匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共33页为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题第30页/共33页提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共33页由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共33页感谢您的欣赏！第33页/共33页