D74重积分的应用.pptx

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1、一、平面区域的面积与立体体一、平面区域的面积与立体体积积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 占有平面有界域 D 的平面的面积为第1页/共32页例1.求由所围图形的面积.yx解：则所围图形的面积D1第2页/共32页例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例3.求曲

2、面求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共32页故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 则有第6页/共32页例例4.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解:取上半球面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 则它在xoy平面上的投影为第7页/共32页例例5.求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)部分的表面积.解

3、:设由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页在球面 内部的面积最大？例6.设半径为R的球面 的球心在球面解：如图建立直角坐标系，则的方程为球面 在球面 内部曲面 S 在xoy面上的投影为S 的方程为上，问 R 取何值时，球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页则则令得到驻点由于得当时，曲面S的面积达到最大值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共32页三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共32页同理可得同理可得则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共32页例例7 7.求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成

5、的立体的质心.(密度为1)解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第15页/共32页利用对称性可知而机动 目录 上页 下页 返回 结束 所求质心坐标为第16页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8.求位于两圆和的质心,其中解:利用对称性可知而第17页/共32页四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页类似可得类似可得:对

6、 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页例例9.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其的均匀半圆薄片对其直径直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共32页解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例10.10.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动的转动惯量惯量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上

7、页 下页 返回 结束 第22页/共32页例11.求半径 R，母线2h 的均匀圆柱体关于中间位置的截面圆某直径的转动惯量.解:以z轴为对称轴，截面圆直径为 x 轴建立坐标系第23页/共32页 G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页例例12.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称

8、性知引力处的单位质量质点的引力.。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共32页例例13.求半径求半径 R 的均的均匀球匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题第29页/共32页提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共32页由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共32页感谢您的欣赏！第32页/共32页