DI二阶线性微分方程解的结构.pptx

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1、据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共9页二阶线性微分方程时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共9页证毕二、二阶线性微分方程解的结构是二阶齐次线性方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共9页说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相

2、关与 线性无关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共9页定义定义是定义在区间 I 上的 两个函数,使得则称这 两个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共9页线性相关线性无关const机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共9页定理 2.是二阶齐次线性方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共9页是二阶非齐次线性方程的一个特解,是其对应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共9页感谢您的欣赏！第9页/共9页